§1.prop.42τῷ δοθέντι τριγώνῳ ἴσον παραλληλόγραμμον συστήσασθαι ἐν τῇ δοθείσῃ γωνίᾳ εὐθυγράμμῳ.
在给定的直边角内，作一个平行四边形等于给定的三角形。
ἔστω τὸ μὲν δοθὲν τρίγωνον τὸ ΑΒΓ, ἡ δὲ δοθεῖσα γωνία εὐθύγραμμος ἡ Δ· δεῖ δὴ τῷ ΑΒΓ τριγώνῳ ἴσον παραλληλόγραμμον συστήσασθαι ἐν τῇ Δ γωνίᾳ εὐθυγράμμῳ.
设给定的三角形为 ΑΒΓ，给定的直边角为 Δ；必须在直边角 Δ 内作一个平行四边形等于三角形 ΑΒΓ。
τετμήσθω ἡ ΒΓ δίχα κατὰ τὸ Ε, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΕ, καὶ συνεστάτω πρὸς τῇ ΕΓ εὐθείᾳ καὶ τῷ πρὸς αὐτῇ σημείῳ τῷ Ε τῇ Δ γωνίᾳ ἴση ἡ ὑπὸ ΓΕΖ, καὶ διὰ μὲν τοῦ Α τῇ ΕΓ παράλληλος ἤχθω ἡ ΑΗ, διὰ δὲ τοῦ Γ τῇ ΕΖ παράλληλος ἤχθω ἡ ΓΗ·
将 ΒΓ 在点 Ε 处平分，连接 ΑΕ，并在直线 ΕΓ 及在其上的点 Ε 处作等于角 Δ 的角 ΓΕΖ；且通过 Α 作平行于 ΕΓ 的 ΑΗ，通过 Γ 作平行于 ΕΖ 的 ΓΗ。
παραλληλόγραμμον ἄρα ἐστὶ τὸ ΖΕΓΗ. καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ΒΕ τῇ ΕΓ, ἴσον ἐστὶ καὶ τὸ ΑΒΕ τρίγωνον τῷ ΑΕΓ τριγώνῳ· ἐπί τε γὰρ ἴσων βάσεών εἰσι τῶν ΒΕ, ΕΓ καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς παραλλήλοις ταῖς ΒΓ, ΑΗ·
因此 ΖΕΓΗ 是一个平行四边形。 并且因为 ΒΕ 等于 ΕΓ，所以三角形 ΑΒΓ 也等于三角形 ΑΕΓ；因为它们在相等的底边 ΒΕ、ΕΓ 上，且在相同的平行线 ΒΓ、ΑΗ 之间。
διπλάσιον ἄρα ἐστὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τοῦ ΑΕΓ τριγώνου.
因此三角形 ΑΒΓ 是三角形 ΑΕΓ 的两倍。
ἔστι δὲ καὶ τὸ ΖΕΓΗ παραλληλόγραμμον διπλάσιον τοῦ ΑΕΓ τριγώνου· βάσιν τε γὰρ αὐτῷ τὴν αὐτὴν ἔχει καὶ ἐν ταῖς αὐταῖς ἐστιν αὐτῷ παραλλήλοις·
而平行四边形 ΖΕΓΗ 也是三角形 ΑΕΓ 的两倍；因为它与三角形有相同的底边，且在相同的平行线之间。
ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΖΕΓΗ παραλληλόγραμμον τῷ ΑΒΓ τριγώνῳ.
因此平行四边形 ΖΕΓΗ 等于三角形 ΑΒΓ。
καὶ ἔχει τὴν ὑπὸ ΓΕΖ γωνίαν ἴσην τῇ δοθείσῃ τῇ Δ.
τῷ ἄρα δοθέντι τριγώνῳ τῷ ΑΒΓ ἴσον παραλληλόγραμμον συνέσταται τὸ ΖΕΓΗ ἐν γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΓΕΖ, ἥτις ἐστὶν ἴση τῇ Δ· ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.
且它具有等于给定角 Δ 的角 ΓΕΖ。 因此，在等于 Δ 的角 ΓΕΖ 中，作出了等于给定三角形 ΑΒΓ 的平行四边形 ΖΕΓΗ；这就是所要做的事。
§1.prop.43παντὸς παραλληλογράμμου τῶν περὶ τὴν διάμετρον παραλληλογράμμων τὰ παραπληρώματα ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν.
在任意平行四边形中，关于对角线的平行四边形的余形彼此相等。
ἔστω παραλληλόγραμμον τὸ ΑΒΓΔ, διάμετρος δὲ αὐτοῦ ἡ ΑΓ, περὶ δὲ τὴν ΑΓ παραλληλόγραμμα μὲν ἔστω τὰ ΖΘ, ΖΗ, τὰ δὲ λεγόμενα παραπληρώματα τὰ ΒΚ, ΚΔ· λέγω, ὅτι ἴσον ἐστὶ τὸ ΒΚ παραπλήρωμα τῷ ΚΔ παραπληρώματι.
设平行四边形为 ΑΒΓΔ，其对角线为 ΑΓ，关于 ΑΓ 的平行四边形为 ΖΘ、ΖΗ，所谓的余形为 ΒΚ、ΚΔ；我说，余形 ΒΚ 等于余形 ΚΔ。
ἐπεὶ γὰρ παραλληλόγραμμόν ἐστι τὸ ΑΒΓΔ, διάμετρος δὲ αὐτοῦ ἡ ΑΓ, ἴσον ἐστὶ τὸ ΑΒΓ τρίγωνον τῷ ΑΓΔ τριγώνῳ.
因为，既然 ΑΒΓΔ 是平行四边形，且 ΑΓ 是其对角线，那么三角形 ΑΒΓ 等于三角形 ΑΓΔ。
πάλιν, ἐπεὶ παραλληλόγραμμόν ἐστι τὸ ΕΘ, διάμετρος δὲ αὐτοῦ ἐστιν ἡ ΑΚ, ἴσον ἐστὶ τὸ ΑΕΚ τρίγωνον τῷ ΑΘΚ τριγώνῳ.
再次，既然 ΕΘ 是平行四边形，且 ΑΚ 是其对角线，那么三角形 ΑΕΚ 等于三角形 ΑΘΚ。
διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ τὸ ΚΖΓ τρίγωνον τῷ ΚΗΓ ἐστιν ἴσον.
基于同样的原因，三角形 ΚΖΓ 也等于 ΚΗΓ。
ἐπεὶ οὖν τὸ μὲν ΑΕΚ τρίγωνον τῷ ΑΘΚ τριγώνῳ ἐστὶν ἴσον, τὸ δὲ ΚΖΓ τῷ ΚΗΓ, τὸ ΑΕΚ τρίγωνον μετὰ τοῦ ΚΗΓ ἴσον ἐστὶ τῷ ΑΘΚ τριγώνῳ μετὰ τοῦ ΚΖΓ·
因此，因为三角形 ΑΕΚ 等于三角形 ΑΘΚ，且 ΚΖΓ 等于 ΚΗΓ，所以三角形 ΑΕΚ 加上 ΚΗΓ 等于三角形 ΑΘΚ 加上 ΚΖΓ。
ἔστι δὲ καὶ ὅλον τὸ ΑΒΓ τρίγωνον ὅλῳ τῷ ΑΔΓ ἴσον·
而整个三角形 ΑΒΓ 也等于整个 ΑΔΓ。
λοιπὸν ἄρα τὸ ΒΚ παραπλήρωμα λοιπῷ τῷ ΚΔ παραπληρώματί ἐστιν ἴσον.
因此，剩下的余形 ΒΚ 等于剩下的余形 ΚΔ。
παντὸς ἄρα παραλληλογράμμου χωρίου τῶν περὶ τὴν διάμετρον παραλληλογράμμων τὰ παραπληρώματα ἴσα ἀλλήλοις ἐστίν· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
因此，在任意平行四边形面积中，关于对角线的平行四边形的余形彼此相等；这就是所要证明的。
§1.prop.44παρὰ τὴν δοθεῖσαν εὐθεῖαν τῷ δοθέντι τριγώνῳ ἴσον παραλληλόγραμμον παραβαλεῖν ἐν τῇ δοθείσῃ γωνίᾳ εὐθυγράμμῳ.
在给定的直线上，作一个平行四边形等于给定的三角形，且其一角等于给定的直边角。
ἔστω ἡ μὲν δοθεῖσα εὐθεῖα ἡ ΑΒ, τὸ δὲ δοθὲν τρίγωνον τὸ Γ, ἡ δὲ δοθεῖσα γωνία εὐθύγραμμος ἡ Δ· δεῖ δὴ παρὰ τὴν δοθεῖσαν εὐθεῖαν τὴν ΑΒ τῷ δοθέντι τριγώνῳ τῷ Γ ἴσον παραλληλόγραμμον παραβαλεῖν ἐν ἴσῃ τῇ Δ γωνίᾳ.
设给定的直线为 ΑΒ，给定的三角形为 Γ，给定的直边角为 Δ；必须在给定的直线 ΑΒ 上，作一个平行四边形等于给定的三角形 Γ，且其角等于角 Δ。
συνεστάτω τῷ Γ τριγώνῳ ἴσον παραλληλόγραμμον τὸ ΒΕΖΗ ἐν γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΕΒΗ, ἥ ἐστιν ἴση τῇ Δ· καὶ κείσθω ὥστε ἐπʼ εὐθείας εἶναι τὴν ΒΕ τῇ ΑΒ, καὶ διήχθω ἡ ΖΗ ἐπὶ τὸ Θ, καὶ διὰ τοῦ Α ὁποτέρᾳ τῶν ΒΗ, ΕΖ παράλληλος ἤχθω ἡ ΑΘ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΘΒ. καὶ ἐπεὶ εἰς παραλλήλους τὰς ΑΘ, ΕΖ εὐθεῖα ἐνέπεσεν ἡ ΘΖ, αἱ ἄρα ὑπὸ ΑΘΖ, ΘΖΕ γωνίαι δυσὶν ὀρθαῖς εἰσιν ἴσαι.
作平行四边形 ΒΕΖΗ 等于三角形 Γ，使其角 ΕΒΗ 等于角 Δ；并使其放置得使 ΒΕ 与 ΑΒ 在同一直线上，将 ΖΗ 延长到 Θ，并通过 Α 作平行于 ΒΗ、ΕΖ 之一的 ΑΘ，且连接 ΘΒ。 并且因为直线 ΘΖ 落在平行线 ΑΘ、ΕΖ 上，所以角 ΑΘΖ、ΘΖΕ 之和等于两直角。
αἱ ἄρα ὑπὸ ΒΘΗ, ΗΖΕ δύο ὀρθῶν ἐλάσσονές εἰσιν· αἱ δὲ ἀπὸ ἐλασσόνων ἢ δύο ὀρθῶν εἰς ἄπειρον ἐκβαλλόμεναι συμπίπτουσιν· αἱ ΘΒ, ΖΕ ἄρα ἐκβαλλόμεναι συμπεσοῦνται.
因此，角 ΒΘΗ、ΗΖΕ 小于两直角；而从小于两直角处无限延长的直线必相交；因此 ΘΒ、ΖΕ 延长后必相交。
ἐκβεβλήσθωσαν καὶ συμπιπτέτωσαν κατὰ τὸ Κ, καὶ διὰ τοῦ Κ σημείου ὁποτέρᾳ τῶν ΕΑ, ΖΘ παράλληλος ἤχθω ἡ ΚΛ, καὶ ἐκβεβλήσθωσαν αἱ ΘΑ, ΗΒ ἐπὶ τὰ Λ, Μ σημεῖα.
设它们延长并在点 Κ 处相交，通过点 Κ 作平行于 ΕΑ、ΖΘ 之一的 ΚΛ，并将 ΘΑ、ΗΒ 延长至点 Λ、Μ。
παραλληλόγραμμον ἄρα ἐστὶ τὸ ΘΛΚΖ, διάμετρος δὲ αὐτοῦ ἡ ΘΚ, περὶ δὲ τὴν ΘΚ παραλληλόγραμμα μὲν τὰ ΑΗ, ΜΕ, τὰ δὲ λεγόμενα παραπληρώματα τὰ ΛΒ, ΒΖ· ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ΛΒ τῷ ΒΖ. ἀλλὰ τὸ ΒΖ τῷ Γ τριγώνῳ ἐστὶν ἴσον· καὶ τὸ ΛΒ ἄρα τῷ Γ ἐστιν ἴσον.
因此 ΘΛΚΖ 是一个平行四边形，ΘΚ 是其对角线，关于 ΘΚ 的平行四边形是 ΑΗ、ΜΕ，所谓的余形是 ΛΒ、ΒΖ；因此 ΛΒ 等于 ΒΖ。 但是 ΒΖ 等于三角形 Γ；因此 ΛΒ 也等于 Γ。
καὶ ἐπεὶ ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΗΒΕ γωνία τῇ ὑπὸ ΑΒΜ, ἀλλὰ ἡ ὑπὸ ΗΒΕ τῇ Δ ἐστιν ἴση, καὶ ἡ ὑπὸ ΑΒΜ ἄρα τῇ Δ γωνίᾳ ἐστὶν ἴση.
并且因为角 ΗΒΕ 等于角 ΑΒΜ，而角 ΗΒΕ 等于 Δ，所以角 ΑΒΜ 也等于角 Δ。
παρὰ τὴν δοθεῖσαν ἄρα εὐθεῖαν τὴν ΑΒ τῷ δοθέντι τριγώνῳ τῷ Γ ἴσον παραλληλόγραμμον παραβέβληται τὸ ΛΒ ἐν γωνίᾳ τῇ ὑπὸ ΑΒΜ, ἥ ἐστιν ἴση τῇ Δ· ὅπερ ἔδει ποιῆσαι.
因此，在给定的直线 ΑΒ 上，已经作出了等于给定三角形 Γ 的平行四边形 ΛΒ，且其角为 ΑΒΜ，它等于 Δ；这就是所要做的事。