§4## δ΄. Εἴ κα ἐν ἁμικυκλίῳ σαμεῖόν· τι ἐπὶ τᾶς διαμέτρου ᾖ, γραφέωντι δὲ ἀπὸ τῶν τμαμάτων τᾶς διαμέτρου δύο ἁμικύκλια ἐντός, ἀναστακῇ δὲ ἀπὸ τοῦ λαφθέντος σαμείου εὐθεῖα ποτὶ τᾷ περιφερείᾳ τᾷ διαμέτρῳ ποτʼ ὀρθάς, σχῆμα τὸ ὑπὸ τῶν τριῶν περιφερειῶν περιεχόμενον ἴσον ἐστὶ κύκλῳ, οὗ διάμετρος ἁ ἀναστακεῖσα κάθετος.
## δ΄. 如果半圆的直径上任意取一点，自该直径的各分段向内画两个半圆，且自该点作垂直于直径并达圆周的直线，则由这三个圆周所围成的图形，等于以该垂线为直径的圆。
Ἔστω ἁμικύκλιον τὸ ΑΒΓ καὶ σαμεῖόν τι ἐπὶ διαμέτρου τᾶς ΑΓ τὸ △, καὶ ἀπὸ διαμέτρων τῶν Γ△, △Α ἁμικύκλια ἀναγεγράφθων ἐντός, ἀπὸ δὲ τοῦ △ σαμείου ἀνεστακέτω ποτʼ ὀρθὰς τᾷ ΑΓ ἁ △Β φαμὶ δή, σχῆμα τὸ ὑπὸ τῶν τριῶν περιφερειῶν περιεχόμενον, τουτέστι τοῦ μείζονος ἁμικυκλίου καὶ τῶν δύο ἀναγραφέντων ἐντός, ὅπερ Et ἄρβηλος καλείσθω, κύκλῳ, οὗ διάμετρος ἁ △Β, ἴσον ἐστίν.
设有半圆 ABΓ，其直径 AΓ 上有任意一点 Δ，自直径 ΓΔ, ΔA 向内画半圆，且自点 Δ 作 ΔB 垂直于 AΓ。 我断言，由这三个圆周围成的图形，即由较大的半圆和向内画的两个半圆所围成的图形（这被称为“鞋刀形”或“阿贝尔罗”），等于以 ΔB 为直径的圆。
Ἐπεὶ γὰρ εὐθεῖαι αἱ △Α, △Β, △Γ ἑξῆς ἀνάλογόν ἐντι, ἐσσεῖται τὸ ὑπὸ τῶν Α△, △Γ τῷ ἀπὸ τᾶς Β△ ἴσον·
因为，既然直线 ΔA, ΔB, ΔΓ 连比例，所以 AΔ 与 ΔΓ 构成的矩形等于以 BΔ 为边的正方形。
κοινὸν ποτικείσθω τὸ ὑπὸ τῶν Α△, △Γ καὶ τὰ ἀπὸ τῶν Α△, △Γ·
加上公共的以 AΔ, ΔΓ 构成的矩形，以及以 AΔ, ΔΓ 为边的正方形。
τὸ ἄρα ἀπὸ τᾶς ὅλας τετράγωνον, τουτέστι τὸ ἀπὸ τᾶς ΑΓ, τοῖς ἀπὸ τῶν τμαμάτων τῶν ἀπὸ τῶν Α△, △Γ τετραγώνοις καὶ τῷ δὶς τοῦ ἀπὸ τᾶς Β△ ἐστὶν ἴσον.
因此，整体（AΓ）上的正方形，等于分段 AΔ, ΔΓ 上的正方形与以 BΔ 为边的正方形的两倍之和。
Καὶ ἐπεὶ οἱ κύκλοι πρὸς ἀλλάλους ὡς τὰ ἀπὸ τᾶν διαμέτρων τετράγωνά ἐντι, ἐσσεῖται δὴ κύκλος, οὗ διάμετρος ἁ ΑΓ, δυσὶ κύκλοις, ὧν διάμετρος ἁ △Β, καὶ δυσὶ κύκλοις, ὧν διάμετροι αἱ Α△, △Γ, ἴσος, τουτέστιν ἁμικύκλιον τὸ ΑΓ ἴσον κύκλῳ, οὗ διάμετρος ἁ △Β, καὶ δυσὶν ἁμικυκλίοις, ὧν διάμετροι αἱ Α△, △Γ·
又因为圆彼此之比等于其直径上的正方形之比，所以以 AΓ 为直径的圆，等于以 ΔB 为直径的两个圆，以及以 AΔ, ΔΓ 为直径的两个圆（之和）；也就是说，半圆 AΓ 等于以 ΔB 为直径的圆，与以 AΔ, ΔΓ 为直径的两个半圆（之和）。
κοινὸν ἀφαιρήσθω ἁμικύκλια τὰ Α△, △Γ·
减去公共的半圆 AΔ, ΔΓ。
λοιπὸν ἄρα χωρίον τὸ περιεχόμενον ὑπὸ περιφερειῶν τᾶν ΑΓ, Α△, △Γ, ὅπερ ἄρβηλος καλεῖται, κύκλῳ, οὗ διάμετρος ἁ △Β, ἐστὶν ἴσον·
因此，其余的由圆周 AΓ, AΔ, ΔΓ 围成的区域（这被称为阿贝尔罗），等于以 ΔB 为直径的圆。
δέδεικται οὖν τὸ προτεθέν.
故所求证者已毕。
§5## ε΄. Εἴ κα ἐν ἁμικυκλίῳ σαμεῖόν τι ἐπὶ τᾶς διαμέτρου ᾖ, καὶ γραφέωντι ἀπὸ τῶν τμαμάτων τᾶς διαμέτρου δύο ἁμικύκλια ἐντός, ἀναστακῇ δὲ ἀπὸ τοῦ σαμείου εὐθεῖα τᾷ διαμέτρῳ ποτ᾿ ὀρθάς, καὶ δύο κύκλοι γραφέωντι ἐπʼ ἀμφότερα τᾶς ἀνεστακούσας ἐπιψαύοντες αὐτᾶς καὶ τῶν ἁμικυκλίων, οἱ γραφέντες κύκλοι ἐσσοῦνται ἀλλάλοις ἴσοι.
## ε΄. 如果半圆的直径上任意取一点，自该直径的各分段向内画两个半圆，且自该点作垂直于直径的直线，并在该垂线的两侧画两个圆，使其分别与该垂线及各半圆相切，则所画的两个圆彼此相等。
Ἔστω ἁμικύκλιον, οὗ διάμετρος ἁ ΑΒ, σαμεῖον δέ τι ἐπʼ αὐτᾶς τὸ Γ·
设有半圆，其直径为 AB，其上有任意一点 Γ。
ἀναγεγράφθω δὲ ἀπὸ τμαμάτων τῶν ΑΓ, ΓΒ ἁμικύκλια ἐντός, καὶ ἀπὸ τοῦ Γ σαμείου ἀνεστακέτω ποτʼ ὀρθὰς διαμέτρω τᾷ ΑΒ ἁ Γ△, γεγράφθων δὲ δύο κύκλοι ἐπʼ ἀμφότερα τᾶς ἀνεστακούσας εὐθείας ἐπιψαύοντες τᾶς τε ἀνεστακούσας καὶ τῶν ἁμικυκλίων·
自分段 AΓ, ΓB 向内画半圆，且自点 Γ 作 ΓΔ 垂直于直径 AB，并在垂线两侧画两个圆，使其既与该垂线相切，又与各半圆相切。
φαμὶ δή, οἱ γραφέντες κύκλοι ἴσοι ἀλλάλοις ἐντί.
我断言，所画的圆彼此相等。
Ἔστω γὰρ πρότερον κύκλος ὁ ἐπιψαύων τᾶς Γ△ κατὰ τὸ Ε σαμεῖον καὶ ἁμικυκλίου μὲν τοῦ ΑΓ κατὰ τὸ H, ἁμικυκλίου δὲ τοῦ ΑΒ κατὰ τὸ Ζ, ἄχθω δὲ διάμετρος τοῦ κύκλου ἁ ΘΕ·
因为，首先设有一个圆，在点 E 处与 ΓΔ 相切，在 H 处与半圆 AΓ 相切，在 Z 处与半圆 AB 相切，并设该圆的直径为 ΘE。
ἐπιζευχθεῖσαι δὴ αἱ ΑΘ, ΘΖ εὐθεῖαι ἐσσοῦνται ἀλλάλαις ἐπʼ εὐθείας, ἐκβληθεῖσαι δὲ αἱ ΑΖ, ΓΕ εὐθεῖαι συμβαλέτωσαν κατὰ τὸ △ σαμεῖον ὁμοίως δὴ ἐπιζευχθεῖσαι αἱ ΖΕ, ΕΒ ἐσσοῦνται ἀλλάλαις ἐπʼ εὐθείας, καὶ αἱ ΘΗ, ΗΓ, καὶ αἱ ΕΗ. ΗΑ, ἐκβεβλήσθω δὲ ἁ ΑΕ ἐπὶ τὸ Ι σαμεῖον, ἄχθω δὲ ἁ ΒΙ εὐθεῖα καὶ ἁ Ζ△.
因此，连结的直线 AΘ, ΘZ 将在同一直线上，并令延长的直线 AZ, ΓE 相交于点 Δ。 同样地，连结的 ZE, EB 将在同一直线上，且 ΘH, HΓ，以及 EH, HA 亦然。 令 AE 延长至点 I，并作直线 BI 与 ZΔ。
Ἐπεὶ οὖν αἱ Α△, ΑΒ εὐθεῖαί ἐντι καὶ ἀπὸ τοῦ △ σαμείου τᾷ ΑΒ ἆκται ποτʼ ὀρθὰς ἁ △Γ, καὶ ἀπὸ τοῦ Β ποτʼ ὀρθὰς τᾷ △Α ἁ ΒΖ τέμνουσα τὰν △Γ Bl, κατὰ τὸ Ε, εὐθεῖα δὲ ἁ ΑΕΙ ποτʼ ὀρθὰς τᾷ ΒΙ ἐστίν, ἐσσοῦνται ἄρα εὐθεῖαι αἱ ΒΙ, Ι△ ἀλλάλαις ἐπʼ εὐθείας, ὡς παῤ ἡμῶν ἐν τοῖς Περὶ ὀρθογωνίων τριγώνων δέδεικται Καὶ ἐπεὶ εὐθεῖα ἁ Β△ παρὰ τὰν ΓΗ ἐστίν, τὸν αὐτὸν λόγον ἔχει ἁ Α△ ποτὶ τὰν △Θ, ὃν ἔχει ἁ ΑΓ ποτὶ τὰν ΘΕ, τουτέστιν ἁ ΑΒ ποτὶ τὰν ΒΓ τὸ ἄρα ὑπὸ τᾶν ΑΓ, ΓΒ τῷ ὑπὸ τᾶν ΑΒ, ΘΕ ἐστὶν ἴσον·
既然 AΔ, AB 是直线，且自点 Δ 已作 ΔΓ 垂直于 AB，并自 B 作 BZ 垂直于 ΔA，在 E 处切断 ΔΓ（Bl），且直线 AEI 垂直于 BI，因此直线 BI, IΔ 将在同一直线上，如我们在《论直角三角形》中所证明的那样。 又因为直线 BΔ 平行于 ΓH，所以 AΔ 对 ΔΘ 的比等于 AΓ 对 ΘE 的比，即等于 AB 对 BΓ 的比。 因此，由 AΓ, ΓB 围成的矩形等于由 AB, ΘE 围成的矩形。
ὅμοίως δὴ δείξομες ὅτι ἐν κύκλῳ τῷ ΛΜΝ τὸ ὑπὸ τᾶν ΑΓ, ΓΒ τῷ ὑπὸ ΑΒ καὶ τᾶς διαμέτρου τοῦ ΛΜΝ κύκλου ἴσον ἐστίν·
同理，我们将证明，在圆 ΛΜΝ 中，由 AΓ, ΓB 围成的矩形等于由 AB 与圆 ΛΜΝ 的直径围成的矩形。
αἱ διάμετροι ἄρα κύκλων τῶν ἴσαι ἐντί, τουτέστιν οἱ δύο κύκλοι ἴσοι ἐντί·
所以，这些圆的直径相等，即这两个圆相等。
δέδεικται οὖν τὸ προτεθέν.
故所求证者已毕。