§8## ή. Εἴ κα ἐν κύκλῳ εὐθεῖά τις ΑΒ προσαρμοσμένα ᾖ, ἐκβληθῇ δὲ κατὰ τὸ Γ σαμεῖον, ὥστε τὰν ΒΓ εὐθεῖαν τᾷ ἐκ τοῦ κέντρου ἴσαν εἶμεν, διαχθῇ δὲ εὐθεῖά τις ἀπὸ τοῦ Γ διὰ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου ἐπὶ τὸ Ε σαμεῖον, ἐσσεῖται περιφέρεια ἁ ΑΕ περιφερείας τᾶς ΒΖ τριπλασίων.
## ή. 如果圆中有一条直线 ΑΒ［作为弦］安置其中，并延长到点 Γ，使得直线 ΒΓ 等于该圆的半径，且有一条直线自 Γ 点穿过圆心引到点 Ε，则弧 ΑΕ 将是弧 ΒΖ 的三倍。
Ἄχθω γὰρ ἁ ΕΗ παρὰ τὰν ΑΒ καὶ ἐπεζεύχθων αἱ △Β, △Η. Ἐπεὶ οὖν γωνίαι αἱ ὑπὸ ΒΓ△, Β△Γ, △ΕΗ, △ΗΕ ἴσαι ἀλλάλαις ἐντί, γωνία δὲ ἁ ὑπὸ Γ△Η γωνίας τᾶς ὑπὸ △ΕΗ ἐστὶ διπλασίων, ἐσσεῖται ἄρα γωνία ἁ ὑπὸ Β△Η γωνίας τᾶς ὑπὸ Β△Γ τριπλασίων.
令 ΕΗ 平行于 ΑΒ 引出，且连结 ΔΒ, ΔΗ。 因为，角 ΒΓΔ、ΒΔΓ、ΔΕΗ、ΔΗΕ 彼此相等，且角 ΓΔΗ 是角 ΔΕΗ 的两倍，所以角 ΒΔΗ 将是角 ΒΔΓ 的三倍。
Ἐσσεῖται ἄρα περιφέρεια ἁ ΒΗ, τουτέστιν ἁ ΑΕ, περιφερείας τᾶς ΒΖ τριπλασίων·
因此，弧 ΒΗ（即弧 ΑΕ）将是弧 ΒΖ 的三倍。
δέδεικται οὖν τὸ προτεθέν.
故所求证者已毕。
§9## θ΄. Εἴ κα ἐν κύκλῳ δύο εὐθεῖαι τέμνωντι ἀλλάλας ποτʼ ὀρθὰς μὴ διὰ τοῦ κέντρου οὖσαι, δύο αἱ ἀπεναντίον περιφέρειαι δυσὶ ταῖς ἀπεναντίον ἴσαι ἀλλάλαις ἐντί.
## θ΄. 如果圆内有两条不经过圆心的直线以直角相交，则两个相对的弧［之和］等于另两个相对的弧［之和］。
Ἔστω κύκλος ὁ ΑΒΓ καὶ δύο εὐθεῖαι αἱ ΑΒ, Γ△ τέμνουσαι ἀλλάλας ποτʼ ὀρθάς, μὴ διὰ τοῦ κέντρου οὖσαι· φαμὶ δή, δύο αἱ ἀπεναντίον περιφέρειαι αἱ Α△, ΓΒ δυσὶ ταῖς ἀπεναντίον ταῖς ΑΓ, Β△ ἴσαι ἀλλάλαις ἐντί.
设有圆 ΑΒΓ，其内有两条不经过圆心的直线 ΑΒ, ΓΔ 以直角相交；我断言，两个相对的弧 ΑΔ, ΓΒ［之和］等于另两个相对的弧 ΑΓ, ΒΔ［之和］。
Τετμάσθω γὰρ δίχα ἁ Γ△ κατὰ τὸ H σαμεῖον καὶ διὰ τοῦ H διάχθω διάμετρος τοῦ κύκλου ἁ ΕΖ παρὰ τὰν ΑΒ.
Ἐπεὶ οὖν περιφέρεια ἁ ΕΓ περιφερείαις ταῖς ΕΑ, Α△ ἴσα ἐστίν, ἐσσοῦνται ἄρα περιφέρειαι αἱ ΓΖ, ΕΑ, Α△ ἁμικυκλίῳ ἴσαι·
令 ΓΔ 于点 Η 处被平分，且穿过 Η 作圆的直径 ΕΖ 平行于 ΑΒ。 因为，既然弧 ΕΓ 等于弧 ΕΑ, ΑΔ［之和］，所以弧 ΓΖ, ΕΑ, ΑΔ［之和］将等于半圆。
ἔστι δὲ περιφέρεια ἁ ΕΑ περιφερείᾳ τᾷ ΒΖ ἴσα· συναμφότερος ἄρα περιφέρεια ἁ ΓΒ, Α△ ἁμικυκλίῳ ἐστὶν ἴσα·
又因为弧 ΕΑ 等于弧 ΒΖ，所以合起来的弧 ΓΒ, ΑΔ［之和］等于半圆。
λοιπὴ ἄρα περιφέρεια ἁ ΑΓ, △Β ἁμικυκλίῳ ἐστὶν ἴσα δέδεικται οὖν τὸ προτεθέν.
因此，剩余的弧 ΑΓ, ΔΒ［之和］亦等于半圆。 故所求证者已毕。
§10## ι΄. Εἴ κα ᾖ κύκλος καὶ δύο εὐθεῖαι αἱ △Α, △Γ ἐπιψαύουσαι αὐτοῦ κατὰ τὰ Α, Γ σαμεῖα, τέμνουσα δὲ εὐθεῖα ἁ △Β, ἀχθῇ δὲ ἁ ΕΓ παρὰ τὰν Β△, ἐπιζευχθῇ δὲ ἁ ΕΑ τέμνουσα τὰν △Β κατὰ τὸ Ζ, καὶ ἀπὸ τοῦ Ζ ποτʼ ὀρθὰς τᾷ ΕΓ ἀχθῇ ἁ ΖΗ, ἁ ἀγμένα τὰν ΕΓ δίχα τέμνει.
## ι΄. 设有一圆，有两条直线 ΔΑ, ΔΓ 于点 Α, Γ 处与该圆相切，且有一割线 ΔΒ；令 ΕΓ 平行于 ΒΔ 引出，连结 ΕΑ 且与 ΔΒ 交于点 Ζ，自 Ζ 向 ΕΓ 作垂线 ΖΗ，则所引之线［ΖΗ］平分 ΕΓ。
Ἐπεζεύχθω γὰρ ἁ ΑΓ. Ἐπεὶ οὖν εὐθεῖα ἁ △Α ἐπιψαύουσα τοῦ κύκλου ἐστίν, ἁ δὲ ΑΓ τέμνουσα αὐτόν, γωνία ἁ ὑπὸ △ΑΓ τᾷ ἐν τῷ ἐναλλὰξ τμάματι τοῦ κύκλου γωνίᾳ τᾷ ὑπὸ ΑΕΓ, τουτέστι τᾷ ὑπὸ ΑΖ△, ἐστὶν ἴσα.
连结 ΑΓ。 因为，既然直线 ΔΑ 是圆的切线，且 ΑΓ 割圆，则角 ΔΑΓ 等于圆的交错弓形中的角 ΑΕΓ，即 ΑΖΔ。
Ἔστι γὰρ ἁ ΓΕ παρὰ τὰν Β△.
因为 ΓΕ 平行于 ΒΔ。
Καὶ ἐπεὶ ἐν δυσὶ τριγώνοις τοῖς △ΑΖ, ΑΘ△ δύο γωνίαι αἱ ὑπὸ ΑΖ△, ΘΑ△ ἴσαι ἀλλάλαις ἐντί, γωνία δὲ ἁ πρὸς τῷ △ κοινά, τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν Ζ△, △Θ περιεχόμενον ὀρθογώνιον τῷ ἀπὸ τᾶς △Α, τουτέστι τῷ ἀπὸ τᾶς △Γ τετραγώνῳ, ἐστὶν ἴσον ἐπεὶ οὖν ὃν λόγον ἔχει ἁ Ζ△ ποτὶ τὰν △Γ, τοῦτον ἔχει καὶ ἁ △Γ ποτὶ τὰν △Θ, γωνία δὲ ἁ ποτὶ τὸ △ σαμεῖον κοινά ἐστιν, τρίγωνα ἄρα τὰ △ΖΓ, △ΓΘ ἐστὶν ὅμοια καὶ γωνίαι αἱ ὑπὸ △ΖΓ, △ΓΘ, △ΑΘ, ΑΖ△ ἴσαι ἀλλάλαις ἐντί·
又因为在两个三角形 ΔΑΖ, ΑΘΔ 中，两个角 ΑΖΔ, ΘΑΔ 彼此相等，且在 Δ 处的角公共，所以由 ΖΔ, ΔΘ 所包围的矩形等于 ΑΔ 上的正方形，即等于 ΔΓ 上的正方形。 因为，既然 ΖΔ 对 ΔΓ 的比，等于 ΔΓ 对 ΔΘ 的比，且在点 Δ 处的角公共，所以三角形 ΔΖΓ, ΔΓΘ 相似，且角 ΔΖΓ, ΔΓΘ, ΔΑΘ, ΑΖΔ 彼此相等。
ἔστι δὲ καὶ γωνία ἁ ὑπὸ △ΖΓ τᾷ ὑπὸ ΖΓΕ ἴσα· ἦν δὲ καὶ ἁ ὑπὸ △ΖΑ τᾷ ὑπὸ ΑΕΓ ἴσα ἐν δυσὶ τριγώνοις ἄρα τοῖς ΕΗΖ, ΓΗΖ δύο γωνίαι αἱ ὑπὸ ΗΕΖ, ΗΓΖ ἴσαι ἀλλάλαις ἐντὶ καὶ αἱ ποτὶ τῷ Η σαμείῳ γωνίαι ὀρθαί·
又因为角 ΔΖΓ 等于角 ΖΓΕ，且角 ΔΖΑ 也等于角 ΑΕΓ。 所以在两个三角形 ΕΗΖ, ΓΗΖ 中，两个角 ΗΕΖ, ΗΓΖ 彼此相等，且在点 Η 处的角为直角；而边 ΗΖ 为公共边。
ἔστι ὲ πλευρὰ ἁ ΗΖ κοινά ἔστιν ἄρα ἁ ΕΗ τᾷ ΗΓ ἴσα·
因此，ΕΗ 等于 ΗΓ。
δέδεικται οὖν τὸ προτεθέν.
故所求证者已毕。