§11## ιά. Εἴ κα ἐν κύκλῳ δύο εὐθεῖαι τέμνωντι ἀλλάλας ποτʼ ὀρθὰς μὴ διὰ τοῦ κέντρου οὖσαι, τὰ ἀπὸ τῶν τμαμάτων τῶν εὐθειῶν τετράγωνα τῷ ἀπὸ τᾶς διαμέτρου τοῦ κύκλου ἴσα ἐντί.
## ια΄. 如果圆内有两条不经过圆心的直线以直角相交，则这些直线的各线段上的正方形［之和］等于圆的直径上的正方形。
Ἔστω γὰρ κύκλος ὁ ΑΒΓ, καὶ δύο εὐθεῖαι αἱ ΑΒ, Γ△ τετμάσθων ποτʼ ὀρθὰς κατὰ τὸ Ε σαμεῖον· φαμὶ δή, τὰ ἀπὸ τῶν τμαμάτων τῶν ΑΕ, ΕΒ, ΓΕ, Ε△ τετράγωνα τῷ ἀπὸ τᾶς διαμέτρου τοῦ κύκλου ἴσα ἐστίν.
设有圆 ΑΒΓ，其内有两条直线 ΑΒ, ΓΔ 于点 Ε 处以直角相交；我断言，线段 ΑΕ, ΕΒ, ΓΕ, ΕΔ 上的正方形［之和］等于圆的直径上的正方形。
Ἄχθω γὰρ διάμετρος τοῦ induoκύκλου ἁ ΑΖ καὶ ἐπεζεύχθων αἱ ΑΓ, Α△, ΓΖ, △Β εὐθεῖαι.
令圆的直径 ΑΖ 引出，且连结直线 ΑΓ, ΑΔ, ΓΖ, ΔΒ。
Ἐπεὶ οὖν ἐν δυσὶ τριγώνοις τοῖς Α△Ε, ΑΖΓ γωνίαι αἱ ὑπὸ ΑΕ△, Α△Ε, καὶ ΑΓΖ, ΑΖΓ ἴσαι ἀλλάλαις ἐντὶ ἑκατέρα ἑκατέρᾳ, λοιπαὶ ἄρα γωνίαι αἱ ὑπὸ ΓΑΖ, △ΑΕ ἐσσοῦνται ἀλλάλαις ἴσαι·
因为，既然在两个三角形 ΑΔΕ, ΑΖΓ 中，角 ΑΕΔ, ΑΔΕ 以及［角］ ΑΓΖ, ΑΖΓ 彼此分别对应相等，所以其余的角 ΓΑΖ, ΔΑΕ 将彼此相等。
περιφέρειαι ἄρα αἱ ΓΖ, △Β ἴσαι ἀλλάλαις ἐντί, καὶ αἱ ταύτας ὑποτείνουσαι εὐθεῖαι αἱ ΓΖ, △Β ἔστι δὲ καὶ τὰ ἀπὸ τῶν △Ε, ΕΒ τῷ ἀπὸ τᾶς △Β, τουτέστι τῷ ἀπὸ τᾶς ΓΖ, ἴσον, καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΑΕ, ΕΓ τῷ ἀπὸ τᾶς ΓΑ, καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΓΖ, ΓΑ τῷ ἀπὸ τᾶς ΖΑ, τουτέστι τῷ ἀπὸ τᾶς διαμέτρου, ἴσα·
因此，弧 ΓΖ, ΔΒ 彼此相等，且张着它们的直线 ΓΖ, ΔΒ 也［彼此相等］。 又因为在 ΔΕ, ΕΒ 上的正方形［之和］等于在 ΔΒ 上的正方形，即等于在 ΓΖ 上的正方形，且在 ΑΕ, ΕΓ 上的正方形［之和］等于在 ΓΑ 上的正方形，并且在 ΓΖ, ΓΑ 上的正方形［之和］等于在 ΖΑ 上的正方形，即等于直径上的正方形。
ἐσσοῦνται ἄρα τὰ ἀπὸ τῶν τμαμάτων τῶν ΑΕ, ΕΒ, ΓΕ, Ε△ τετράγωνα τῷ ἀπὸ τᾶς διαμέτρου ἴσα δέδεικται οὖν τὸ προτεθέν.
因此，线段 ΑΕ, ΕΒ, ΓΕ, ΕΔ 上的正方形［之和］将等于直径上的正方形。 故所求证者已毕。
§12## ιβ΄. Εἴ κα ἐκ σαμείου ἐκτὸς ἁμικυκλίου δύο εὐθεῖαι ἀχθέωντι ἐπιψαύουσαι αὐτοῦ, ἀχθέωντι δὲ ἐκ τῶν σαμείων ἁφᾶς δύο εὐθεῖαι ποτὶ τὰ ἀπεναντίον πέρατα τᾶς διαμέτρου τέμνουσαι ἀλλάλας, ἁ ἐκ τοῦ ἐκτὸς σαμείου ποτὶ τὸ σαμεῖον τομᾶς τῶν δύο εὐθειῶν ἀχθεῖσα καὶ ἐκβληθεῖσα ποτὶ τὰν διάμετρον ἐσσεῖται ταύτᾳ ποτʼ ὀρθάς.
## ιβ΄. 如果从半圆外的一点，向半圆引出两条切线，且自接点向直径的相反两端引出两条直线使其相交，则从外点引向这两条直线交点并延长至直径的直线，将与直径垂直。
Ἔστω ἁμικύκλιον τὸ ΑΒ, σαμεῖον δὲ τι ἐκτὸς αὐτοῦ τὸ Γ, καὶ ἐκ τοῦ Γ ἄχθων δύο εὐθεῖαι αἱ Γ△, ΓΕ ἐπίψαύουσαι αὐτοῦ κατὰ τὰ △, Ε σαμεῖα, ἐπεζεύχθων δὲ ἐκ τῶν σαμείων ἁφᾶς ποτὶ τὰ ἀπεναντίον πέρατα τᾶς διαμέτρου τὰ Α, Β εὐθεῖαι αἱ ΕΑ, △Β τέμνουσαι ἀλλάλας κατὰ τὸ Ζ, καὶ ἀχθεῖσα ἁ ΓΖ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Η σαμεῖον φαμὶ δή, εὐθεῖα ἁ ΓΗ διαμέτρῳ τᾷ ΑΒ ἐσσεῖται ποτʼ ὀρθάς.
设有半圆 ΑΒ，其外有一点 Γ。 令自 Γ 引出两条直线 ΓΔ, ΓΕ 分别于点 Δ, Ε 处与半圆相切；令自接点向直径的相反两端 Α, Β 连结直线 ΕΑ, ΔΒ，且使其在点 Ζ 处相交，连结并引出的 ΓΖ 延长至点 Η。 我断言，直线 ΓΗ 将与直径 ΑΒ 垂直。
Ἐπεζεύχθων γὰρ αἱ Α△, ΕΒ. Ἐπεὶ οὖν τριγώνου τοῦ △ΑΒ γωνία ἁ ὑπὸ Α△Β ὀρθά ἐστιν, λοιπαὶ ἄρα γωνίαι αἱ ὑπὸ △ΑΒ, △ΒΑ μιᾷ ὀρθᾷ ἴσαι ἐντί ἔστι δὲ καὶ γωνία ἁ ὑπὸ ΑΕΒ μιᾷ ὀρθᾷ ἴσα κοινὰ ποτικείσθω ἁ ὑπὸ ΖΒΕ συναμφότερος ἄρα ἁ ὑπὸ △ΑΒ, ΑΒΕ συναμφοτέρῳ τᾷ ὑπὸ ΖΒΕ, ΖΕΒ, τουτέστιν ἐξωτερικᾷ γωνίᾳ τᾷ ὑπὸ △ΖΕ τριγώνου τοῦ ΖΒΕ ἐστὶν ἴσα.
连结 ΑΔ, ΕΒ。 因为，既然三角形 ΔΑΒ 的角 ΑΔΒ 是直角，所以其余的角 ΔΑΒ, ΔΒΑ ［之和］等于一个直角。 又因为角 ΑΕΒ 也等于一个直角；令 ΖΒΕ 作为公共角加上。 因此，角 ΔΑΒ, ΑΒΕ 的合角等于角 ΖΒΕ, ΖΕΒ 的合角，即等于三角形 ΖΒΕ 的外角 ΔΖΕ。
Καὶ ἐπεὶ εὐθεῖα ἁ Γ△ ἐπιψαύουσα τοῦ κύκλου ἐστίν, διᾶκται δὲ ἀπὸ τοῦ σαμείου ἁφᾶς τοῦ κλου ἁ △Β τέμνουσα τὸν κύκλον, ἐσσεῖται γωνία ἁ ὑπὸ Γ△Β γωνίᾳ τᾷ ὑπὸ △ΑΒ ἴσα διὰ τὰ αὐτὰ δὴ καὶ γωνία ἁ ὑπὸ ΓΕΖ τᾷ ὑπὸ ΕΒΑ ἐστὶν ἴσα καὶ συναμφότερος ἄρα γωνία ἁ ὑπὸ ΓΕΖ, Γ△Ζ τᾷ ὑπὸ △ΖΕ ἐστὶν ἴσα καὶ δέδεικται παῤ ἡμῶν ἐν τοῖς Περὶ τετραπλεύρων ὅτι εἴ κα μεταξὺ δύο ἰσᾶν εὐθειᾶν τεμνομενᾶν, οἷον τᾶν Γ△, ΓΕ, δύο εὐθεῖαι ἀχθέωντι τεμνόμεναί, οἷον αἱ △Ζ, ΕΖ, γωνία δὲ ἁ ὑπὸ τούτων περιεχομὲνα, ὡς ἁ ποτὶ τῷ Ζ, συναμφοτέρῳ τᾷ ὑπὸ τῶν δύο τεμνομενᾶν εὐθειᾶν περιεχομένᾳ, ὡς αἱ ποτὶ τοῖς Ε, △ σαμείοις, ἴσα ἐστίν, ἁ ἐπιζευγνυμένα ἐκ τοῦ σαμείου καθʼ ὃ αἱ δύο εὐθεῖαι συμβάλλοντι ἐπὶ τὸ σαμεῖον καθʼ ὃ αὗται τὲμνοντι ἀλλάλας, ὡς ἁ ΓΖ εὐθεῖα, ἑκατέρᾳ τᾶν τεμνομενᾶν εὐθειᾶν, ὡς αἱ Γ△, ΓΕ, ἐστὶν ἴσα·
又因为直线 ΓΔ 是圆的切线，且自接点引出了割圆的 ΔΒ，所以角 ΓΔΒ 将等于角 ΔΑΒ。 基于完全相同的理由，角 ΓΕΖ 也等于角 ΕΒΑ。 因此，合角 ΓΕΖ, ΓΔΖ 也等于角 ΔΖΕ。 而且我等已在《论四边形》中证明：如果在两条相交的相等直线（如 ΓΔ, ΓΕ）之间，引出两条相交的直线（如 ΔΖ, ΕΖ），且由它们所包围的角（如在 Ζ 处的角）等于由这两条相交直线所包围的两个合角（如在点 Ε, Δ 处的角），则从这两条相交相等的直线的交会点引向它们相交之点的连线（如直线 ΓΖ），等于这两条相交直线的每一条（如 ΓΔ, ΓΕ）。
ἁ ΓΖ εὐθεῖα ἄρα τᾷ Γ△ ἐστὶν ἴσα καὶ γωνία ἁ ὑπὸ ΓΖ△ γωνίᾳ τᾷ ὑπὸ Γ△Ζ, τουτέστι τᾷ ὑπὸ △ΑΗ·
因此，直线 ΓΖ 等于 ΓΔ。 且角 ΓΖΔ 也等于角 ΓΔΖ，即等于 ΔΑΗ。
γωνίαι δὲ αἱ ὑπὸ ΓΖ△, △ΖΗ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι ἐντί·
又因为角 ΓΖΔ, ΔΖΗ 等于两个直角。
συναμφότερος ἄρα γωνία ἁ ὑπὸ △ΑΗ, △ΖΗ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσα ἐστίν·
因此，合角 ΔΑΗ, ΔΖΗ 也等于两个直角。
λοιπαὶ ἄρα γωνίαι τετραπλεύρου τοῦ Α△ΖΗ αἱ ὑπὸ Α△Ζ, ΑΗΖ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι ἐντί·
因此，四边形 ΑΔΖΗ 的其余角 ΑΔΖ, ΑΗΖ ［之和］等于两个直角。
ἔστι δὲ γωνία ἁ ὑπὸ Α△Β μιᾷ ὀρθᾷ ἴσα γωνία ἄρα ἁ ὑπὸ ΑΗΓ μιᾷ ὀρθᾷ ἴσα ἐστίν·
又因为角 ΑΔΒ 等于一个直角，所以角 ΑΗΓ 等于一个直角。
ἔστιν ἄρα εὐθεῖα ἁ △Η διαμέτρῳ τᾷ ΑΒ ποτʼ ὀρθάς·
因此，直线 ΔΗ 与直径 ΑΒ 垂直。
δέδεικται οὖν τὸ προτεθέν.
故所求证者已毕。