§15## ιε΄. Ἔστω ἁμικύκλιον τὸ ΑΒ καὶ ἁ ΑΓ πλευρὰ τοῦ ἐγγεγραμμένου ἰσοπλεύρου τε καὶ ἰσογωνίου πενταγώνου, τετμάσθω δὲ περιφέρεια ἁ ΑΓ δίχα κατὰ τὸ △, ἐπιζευχθεῖσα δὲ ἁ Γ△ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Ε, καὶ ἀπὸ τοῦ △ σαμείου διάχθω ἁ △Β τέμνουσα πλευρὰν τὰν ΑΓ κατὰ τὸ Ζ, καὶ ἀπὸ τοῦ Ζ ἄχθω τᾷ ΑΒ ποτʼ ὀρθὰς ἁ ΖΗ φαμὶ δή, εὐθεῖα ἁ ΕΗ τᾷ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου ἴσα ἐστίν.
## ιε΄. 设有半圆 ΑΒ，且令 ΑΓ 为内接等边且等角五边形的一边。 令弧 ΑΓ 在点 △ 处被二等分，连结 Γ△ 并使其延长至点 Ε。 且自点 △ 引出 △Β 与边 ΑΓ 相交于点 Ζ，自点 Ζ 向 ΑΒ 引出垂线 ΖΗ。 我断言，直线 ΕΗ 等于该圆的半径。
Ἐπεζεύχθω γὰρ ἁ ΓΒ, καὶ ἔστω κέντρον τοῦ κύκλου τὸ Θ σαμεῖον, καὶ ἄχθωσαν αἱ Θ△, △Η, Α△ εὐθεῖαι.
连结 ΓΒ，令圆心为点 Θ，引出直线 Θ△, △Η, Α△。
Ἐπεὶ οὖν γωνία ἁ ὑπὸ ΑΒΓ δύο πέμπτα ὀρθᾶς ἐστιν, γωνία ἁ ὑπὸ ΓΒ△, τουτέστι ἁ ὑπὸ △ΒΑ, ἓν πεμπταμόριον ὀρθᾶς ἐστιν· γωνία ἄρα ἁ ὑπὸ △ΘΑ δύο πέμπτα ὀρθᾶς ἐστιν.
因为，既然角 ΑΒΓ 是直角的五分之二，则角 ΓΒ△（即角 △ΒΑ）是直角的五分之一；因此，角 △ΘΑ 是直角的五分之二。
Καὶ ἐπεὶ ἐν δυσὶ τριγώνοις τοῖς ΓΒΖ, ΗΒΖ δύο γωνίαι αἱ ποτὶ τῷ Β ἴσαι ἀλλάλαις ἐντί, ὀρθαὶ δὲ αἱ ποτὶ τὰ Η, Γ σαμεῖα, κοινὰ δὲ πλευρὰ ἁ ΒΖ, ἐσσεῖται ἄρα καὶ βάσις ἁ ΒΓ βάσει τᾷ ΒΗ ἴσα.
并且，在两个三角形 ΓΒΖ, ΗΒΖ 中，在 Β 处的两个角彼此相等，而在点 Η, Γ 处的角是直角，边 ΒΖ 是公共的，因此底边 ΒΓ 也将等于底边 ΒΗ。
Πάλιν ἐπεὶ ἐν δυσὶ τριγώνοις τοῖς ΓΒ△, ΗΒ△ δύο πλευραὶ αἱ ΓΒ, ΒΗ ἴσαι ἀλλάλαις ἐντί, γωνίαι δὲ αἱ ποτὶ τῷ Β ἴσαι, κοινὰ δὲ πλευρὰ ἁ Β△, ἐσσεῖται ἄρα γωνία ἁ ὑπὸ ΒΓ△ γωνίᾳ τᾷ ὑπὸ ΒΗ△, τουτέστιν ἐπιπέμπτῳ ὀρθᾶς, ἴσα·
再次，在两个三角形 ΓΒ△, ΗΒ△ 中，两边 ΓΒ, ΒΗ 彼此相等，且在 Β 处的角相等，边 Β△ 是公共的，因此角 ΒΓ△ 将等于角 ΒΗ△（即直角的一又五分之一）。
ἔστι BD δὲ ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΒΓ△, ΒΗ△ γωνιῶν γωνίᾳ τᾷ ἐκτὸς τοῦ ἐν τῷ κύκλῳ τετραπλεύτοῦ ῥοῦ ΒΑ△Γ, τουτέστι τᾷ △ΑΕ, ἴσα γωνία ἄρα ἁ ὑπὸ △ΑΒ γωνίᾳ τᾷ ὑπὸ △ΗΑ ἔστιν ἴσα, καὶ πλευρὰ ἁ △Α τᾷ △Η. Καὶ ἐπεὶ γωνία ἁ ὑπὸ △ΘΗ βε΄ ὀρθᾶς ἐστι καὶ ἁ ὑπὸ △ΗΘ ἐπίπεμπτος ὀρθᾶς, γωνία ἄρα ἁ ὑπὸ Θ△Η βέ ὀρθᾶς ἐστιν πλευρὰ ἄρα ἁ △ Η πλευρᾷ τᾷ ΗΘ ἐστὶν ἴσα.
而角 ΒΓ△, ΒΗ△ 的每一个，都等于圆内接四边形 ΒΑ△Γ 的外角（即角 △ΑΕ）。 因此，角 △ΑΒ 等于角 △ΗΑ，且边 △Α 等于 △Η。 并且，因为角 △ΘΗ 是直角的五分之二，且角 △ΗΘ 是直角的一又五分之一，因此角 Θ△Η 是直角的五分之二；所以，边 △Η 等于边 ΗΘ。
Πάλιν, ἐπεὶ γωνία ἁ ὑπὸ Α△Ε τοῦ ἐν τῷ κύκλῳ τετραπλεύρου τοῦ Α△ΓΒ ἐκτός ἐστιν, ἐσσεῖται ἄρα γωνία ἁ ὑπὸ Α△Ε γωνίᾳ τᾷ ὑπὸ ΑΒΓ ἴσα· ἔστι δὲ γωνία ἁ ὑπὸ ΑΒΓ βγ΄ ὀρθᾶς γωνία ἄρα ἁ ὑπὸ Α△Ε γωνίᾳ τᾷ ὑπὸ Η△Θ ἐστὶν ἴσα.
再次，因为角 Α△Ε 是圆内接四边形 Α△ΓΒ 的外角，因此角 Α△Ε 将等于角 ΑΒΓ；而角 ΑΒΓ 是直角的五分之二，所以角 Α△Ε 等于角 Η△Θ。
Καὶ ἐπεὶ ἐν δυσὶ τριγώνοις τοῖς Ε△Α, Θ△Η δύο γωνίαι αἱ ὑπὸ Ε△Α, △ΑΕ δυσὶ ταῖς ὑπὸ Θ△Η. △ΗΘ ἑκατέρα ἑκατέρᾳ ἴσαι ἐντί, βάσις δὲ ἁ △Α βάσει τᾷ △Η ἴσα, πλευρὰ ἄρα ἁ ΕΑ πλευρᾷ τᾷ ΘΗ ἴσα ἐστίν.
并且，在两个三角形 Ε△Α, Θ△Η 中，两个角 Ε△Α, △ΑΕ 分别等于两个角 Θ△Η, △ΗΘ，且底边 △Α 等于底边 △Η，所以边 ΕΑ 等于边 ΘΗ。
Κοινὰ ποτικείσθω ἁ ΑΗ εὐθεῖα ἄρα ἁ ΕΗ εὐθείᾳ τᾷ ΑΘ, τουτέστι τᾷ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου, ἴσα ἐστίν·
令公共的 ΑΗ 相加；因此，直线 ΕΗ 等于直线 ΑΘ（即该圆的半径）。
δέδεικται οὖν τὸ προτεθέν.
故所求证者已明。
ΠΟΡΙΣΜΑ
Ἐκ τούτου δὴ φανερὸν ὅτι εὐθεῖα ἁ △Ε τᾷ ἐκ τοῦ κέντρου τοῦ κύκλου ἐστὶν ἴσα.
推论由此显然，直线 △Ε 等于该圆的半径。
Ἐπεὶ γὰρ γωνία ἁ ὑπὸ △ΑΕ γωνίᾳ τᾷ ὑπὸ △ΗΘ ἴσα ἐστίν, ἐσσεῖται καὶ πλευρὰ ἁ △Θ πλευρᾷ τᾷ △Ε, τουτέστι τᾷ ΑΘ, ἴσα.
因为，既然角 △ΑΕ 等于角 △ΗΘ，则边 △Θ 也将等于边 △Ε（即 ΑΘ）。
ΠΟΡΙΣΜΑ
Καὶ ἔτι δῆλον ὅτι εὐθεῖα ἁ ΑΓ ἄκρον καὶ μέσον τέτμαται κατὰ τὸ △ σαμεῖον τμᾶμα δὲ τὸ △Ε τὸ μεῖζόν ἐστιν, ἐπεὶ ἁ Ε△ πλευρὰ τοῦ ἑξαγώνου, ἁ δὲ △Γ πλευρὰ τοῦ δεκαγώνου τῶν ἐν τῷ κύκλῳ ἐγγραφομένων.
推论此外显然，直线 ΑΓ 在点 △ 处被分成外中比（黄金比），且线分 △Ε 是较大的一部分，因为 Ε△ 是内接于圆的六边形的一边，而 △Γ 是十边形的一边。