§8.2#2καὶ πεποιήσθω, ὡς ἡ ΥΣ πρὸς τὴν ΣΤ, οὕτως ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΗ, πεποιήσθω δὲ καί, ὡς ἡ ΡΤ πρὸς τὴν ΤΣ, οὕτως ἡ ΑΘ πρὸς τὴν ΘΒ, καὶ γεγράφθω περὶ ἄξονα τον ΘΗ ἐπὶ μὲν τῆς πρώτης πτώσεως ἔλλειψις, ἐπὶ δὲ τῆς δευτέρας ὑπερβολή, ὥστε, οἷον ἐὰν ἐπ᾿ αὐτῆς ληφθῇ σημεῖον ὡς τὸ Γ, καὶ κάθετος ἀχθῇ ἡ Γ∠, λόγον εἶναι τοῦ ὑπὸ τῶν Θ∠Η πρὸς τὸ ἀπὸ ∠Γ τὸν συνημμένον ἔκ τε τοῦ, ὄν ἔχει ἡ ΤΣ πρὸς ΣΥ, καὶ ἐξ οὗ ὅν ἔχει ἡ ΤΣ πρὸς ΣΡ καὶ ἐξ οὗ ὄν ἔχει ὁ δοθεὶς λόγος, ὅς ἐστιν ὁ τοῦ ἀπὸ ΡΤ πρὸς τὸ ἀπὸ ΤΣ, καὶ ἤχθω ὀρθὴ ἡ ΒΚ. λέγω, ὅτι ἡ Θ Κ ποιεῖ τὸ ἐπίταγμα.
そして、ΥΣのΣΤに対する比が、ΑΒのΒΗに対する比と同じになるように（比を）作れ。 また、ΡΤのΤΣに対する比が、ΑΘのΘΒに対する比と同じになるようにも作れ。 そして、軸ΘΗについて、第一の場合においては楕円が、第二の場合においては双曲線が描かれ、それは、たとえばその上にΓのような点が取られ、かつ垂線Γ∠が引かれるならば、Θ, ∠, Ηによる矩形の、∠Γ上の正方形に対する比が、ΤΣのΣΥに対する比、およびΤΣのΣΡに対する比、および与えられた比（すなわちΡΤ上の正方形の、ＴΣ上の正方形に対する比）から合成された比になるようなものとする。 そして、垂線 ΒΚ が引かれるようにせよ。 私は、ΘΚ［という曲線］が指示された性質を持つと主張する。
ἤχθω γὰρ κάθετος ἡ Γ∠, καὶ πεποιήσθω, ὡς μὲν ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΗ, οὕτως ἡ ΖΒ πρὸς τὴν Β∠, ὡς δὲ ἡ ΑΘ πρὸς τὴν ΘΒ, οὕτως ἡ Ε∠ πρὸς τὴν ∠Β ὥστε ἔσται ὁ μὲν τῆς ∠Η πρὸς τὴν ΑΖ λόγος ὁ αὐτὸς τῷ τῆς ΗΒ πρὸς τὴν ΒΑ, τουτέστιν τῷ τῆς ΤΣ πρὸς ΣΥ ὁ δὲ τῆς Θ∠ πρὸς ΑΕ λόγος ὁ αὐτός ἐστιν τῷ τῆς ΤΣ πρὸς ΣΡ τὸ αὐτὸ γὰρ ἐν τῇ ἀναλύσει ἀπεδείχθη·
なぜなら、垂線Γ∠が引かれ、ΑΒのΒΗに対する比がΖΒのΒ∠に対する比と同じになり、かつΑΘのΘΒに対する比がΕ∠の∠Βに対する比と同じになるように作れ。 したがって、 ∠ΗのΑΖに対する比は、ΗΒのΒΑに対する比と同じ、すなわちΤΣのΣΥに対する比と同じになり、Θ∠のΑΕに対する比は、ΤΣのΣΡに対する比と同じになるであろう。 なぜなら、これと同じことが分析において証明されたからである。
ὥστε τοῦ ὑπὸ Θ∠Η πρὸς τὸ ὑπὸ ΖΑΕ λόγος συνῆπται ἐξ οὗ ὃν ἔχει ἡ ΤΣ πρὸς ΣΥ καὶ ἡ ΤΣ πρὸς ΣΡ. ἀλλʼ ἐπεὶ τὸ ὑπὸ Θ∠Η πρὸς τὸ ἀπὸ ∠Γ τὸν συνημμένον ἔχει λόγον ἐξ οὗ ὃν ἔχει ἡ ΤΣ πρὸς Σ καὶ ἡ ΤΣ πρὸς ΣΡ καὶ ἔτι ὁ δοθεὶς λόγος ὁ τοῦ ἀπὸ ΡΤ πρὸς τὸ ἀπὸ ΤΣ. καὶ τὸ ὑπὸ Θ∠Η πρὸς τὸ ἀπὸ ∠Γ συνῆπται ἐξ οὗ ὃν ἔχει τὸ ὑπὸ Θ∠ πρὸς τὸ ὑπὸ ΖΑΕ καὶ τὸ ὑπὸ ΖΑΕ πρὸς τὸ ἀπὸ ΔΓ, καί ἐστιν ὁ τοῦ ὑπὸ τῶν Θ∠Η πρὸς τὸ ὑπὸ ΖΑΕ λόγος ὁ αὐτὸς τῷ συνημμένῳ ἐξ οὗ ὃν ἔχει ἡ ΤΣ πρὸς ΣΥ καὶ ἡ ΤΣ πρὸς ΣΡ λοιπὸς ἄρα τοῦ ὑπὸ ΖΑΕ πρὸς τὸ ἀπὸ ∠Γ λόγος ὁ αὐτός ἐστιν τῷ τοῦ ἀπὸ ΡΤ πρὸς τὸ ἀπὸ ΤΣ, τουτέστι τῷ τοῦ ἀπὸ Ε∠ πρὸς τὸ ἀπὸ ∠Β. καὶ πάντα πρὸς πάντα·
したがって、Θ, ∠, Ηによる矩形の、Ζ, Α, Εによる矩形に対する比は、 ΤΣのΣΥに対する比と、ΤΣのΣΡに対する比から合成される。 しかし、Θ, ∠, Ηによる矩形の、∠Γ上の正方形に対する比は、ΤΣのΣ［Υ］に対する比と、ΤΣのΣΡに対する比、さらに与えられた比であるΡΤ上の正方形の、ＴΣ上の正方形に対する比から合成された比を持つ。 そして、Θ, ∠, Ηによる矩形の、∠Γ上の正方形に対する比は、Θ, ∠［, Η］による矩形の、Ζ, Α, Εによる矩形に対する比と、Ζ, Α, Εによる矩形の、ΔΓ上の正方形に対する比から合成される。 そして、Θ, ∠, Ηによる矩形の、Ζ, Α, Εによる矩形に対する比は、ΤΣのΣΥに対する比と、ΤΣのΣΡに対する比から合成される比と同じであるから、したがって残りの、 Ζ, Α, Εによる矩形の、∠Γ上の正方形に対する比は、ΡΤ上の正方形の、ＴΣ上の正方形に対する比と同じであり、すなわち、Ε∠上の正方形の、∠Β上の正方形に対する比と同じである。 そして、全体に対する全体も同じ。
ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ Α∠ πρὸς τὰ ἀπὸ Γ∠, ∠Β, οὕτως ἐστὶν τὸ ἀπὸ ΡΤ πρὸς τὸ ἀπὸ ΤΣ, τουτέστιν ὁ δοθεὶς λόγος·
したがって、Α∠上の正方形の、Γ∠および∠Β上の正方形（の和）に対する比は、ΡΤ上の正方形の、ＴΣ上の正方形に対する比、すなわち与えられた比と同じである。
ὥστε τὸ ΘΚ μέρος τῆς τομῆς ποιεῖ τὸν τόπον.
したがって、その（円錐）曲線の一部としてのΘΚが軌跡を作る。
Τούτων οὕτως ἐχόντων ἐλευσόμεθα ἐπὶ τὸ ἐξ ἀρχῆς.
これらのことがこのようであるので、我々は当初の問題へと進もう。
ἔστω θέσει εὐθεῖα ἡ ΑΒ καὶ δοθὲν τὸ Γ ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ, καὶ διήχθω ἡ ∠Γ καὶ κάθετος ἡ ∠Ε, λόγος δὲ ἔστω τῆς Γ∠ πρὸς ∠Ε. λέγω, ὅτι τὸ ∠ ἅπτεται κώνου τομῆς, καὶ ἐὰν μὲν ὁ λόγος ᾖ ἴσος πρὸς ἴσον, παραβολῆς, ἐὰν δὲ ἐλάσσων πρὸς μείζονα, ἐλλείψεως,\ ἐὰν δὲ μείζων πρὸς ἐλάσσονα, ὑπερβολῆς.
位置において与えられた直線をΑΒとし、同じ平面上で与えられた点をΓとし、∠Γが引かれ、かつ∠Εが垂直であるとし、比が Γ∠の∠Εに対する比であるとする。 私は、∠は円錐曲線に接し、比が等しいものに対する等しいものであるならば放物線に、小さいものに対する大きいものであるならば楕円に、大きいものに対する小さいものであるならば双曲線に接すると主張する。
ἔστω πρότερον ὁ λόγος ἴσος πρὸς ἴσον, τουτέστιν ἔστω πρότερον ἴση ἡ Γ∠ τῇ ∠Ε. δεῖξαι, ὅτι τὸ ∠ ἅπτεται παραβολῆς.
まず、その比が等しいものに対する等しいものである、すなわち、まず Γ∠が∠Εに等しいとせよ。 ∠が放物線に接することを示す必要がある。
ἤχθω κάθετος ἡ ΓΖ θέσει ἄρα ἐστί·
垂線ΓΖが引かれるとせよ。 したがってそれは位置において与えられている。
τῇ δὲ ΑΒ παράλληλος ἡ ∠Η. καὶ ἐπεὶ τὸ ἀπὸ Ε∠ ἴσον τῷ ἀπὸ ΔΓ. ἴση δὲ ἡ μὲν Ε∠ τῇ ΖΗ, το δὲ ἀπὸ ∠Γ ἴσον τοῖς ἀπὸ ∠Η, ΗΓ, τὸ ἄρα ἀπὸ ΖΗ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ ∠Η, ΗΓ. καὶ ἔστιν θέσει ἡ ΖΓ, καὶ δύο δοθέντα τὰ Ζ, Γ·
そしてΑΒに平行な∠Ηが引かれるとせよ。 そして、Ε∠上の正方形が ΔΓ上の正方形に等しいので。 また、Ε∠はΖΗに等しく、∠Γ上の正方形は∠ΗおよびΗΓ上の正方形（の和）に等しいので、したがってΖΗ上の正方形は∠ΗおよびΗΓ上の正方形（の和）に等しい。 そして、ΖΓは位置において与えられており、Ζ, Γは二つの与えられた（点）である。
τὸ ∠ ἄρα ἅπτεται παραβολῆς·
したがって、∠は放物線に接する。
τοῦτο γὰρ προδέδεικται.
なぜなら、このことはすでに示されているからである。
συντεθήσεται δὴ οὕτως·
そこで、次のように構成されるであろう。
ἔστω ἡ τῇ θέσει ἡ ΑΒ, τὸ δὲ δοθὲν τὸ Γ, καὶ ἤχθω κάθετος ἡ ΓΖ, καὶ θέσει οὔσης τῆς ΓΖ καὶ δύο δοθέντων των τῶν Ζ, Γ εὑρήσθω παραβολὴ ἡ ΔΘ, ὥστε, οἷον ἐὰν ληφθῇ σημεῖον ὡς τὸ ∠, ἀχθῇ δὲ κάθετος ἡ ∠Η, ἴσον ἐστὶν τὸ ἀπὸ ΖΗ τοῖς ἀπὸ ∠Η, ΗΓ. λέγω, ὅτι ἡ ∠Θ γραμμὴ τὸν τόπον ποιεῖ, τουτέστιν ὅτι, οἵα τις ἐὰν διαχθῇ ὡς ἡ Γ∠ καὶ κάθετος ἡ ∠Ε, ἴση ἐστὶν ἡ Γ∠ τῇ ∠Ε.
ἤχθω κάθετος ἡ ∠Η·
位置において与えられた（直線）をΑΒとし、与えられた点をΓとし、垂線ΓΖが引かれるとせよ。 そして、ΓΖが位置において与えられており、かつΖ, Γが二つの与えられた（点）であるとき、たとえばもし∠のような点が取られ、かつ垂線∠Ηが引かれるならば、 ΖΗ上の正方形が、∠ΗおよびΗΓ上の正方形（の和）に等しくなるような放物線ΔΘが見出されるとせよ。 私は、線∠Θがその軌跡を作る、すなわち、どのようなΓ∠が引かれ、かつ垂線∠Εが引かれようとも、Γ∠は∠Εに等しいと主張する。 垂線∠Ηが引かれるとせよ。
διὰ ἄρα τῆς παραβολῆς ἴσον ἐστὶν τὸ ἀπὸ ΖΗ τοῖς ἀπὸ ∠Η, ΗΓ. καί ἐστιν τῇ μὲν ΖΗ ἴση ἡ Ε∠, τοῖς δὲ ἀπὸ ∠Η, ΗΓ ἴσον τὸ ἀπὸ ∠Γ·
したがって、放物線（の性質）によって、 ΖΗ上の正方形は∠ΗおよびΗΓ上の正方形（の和）に等しい。 そして、ΖΗにはΕ∠が等しく、∠ΗおよびΗΓ上の正方形（の和）には∠Γ上の正方形が等しい。
τὸ ἄρα ἀπὸ ∠Γ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ ∠Ε. ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ Γ∠ τῇ ∠Ε·
したがって、∠Γ上の正方形は∠Ε上の正方形に等しい。 したがって、Γ∠は∠Εに等しい。
ἡ ἄρα ∠Θ γραμμὴ ποιεῖ τὸν τόπον.
したがって、線∠Θが軌跡を作る。