§8.2#2καὶ πεποιήσθω, ὡς ἡ ΥΣ πρὸς τὴν ΣΤ, οὕτως ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΗ, πεποιήσθω δὲ καί, ὡς ἡ ΡΤ πρὸς τὴν ΤΣ, οὕτως ἡ ΑΘ πρὸς τὴν ΘΒ, καὶ γεγράφθω περὶ ἄξονα τον ΘΗ ἐπὶ μὲν τῆς πρώτης πτώσεως ἔλλειψις, ἐπὶ δὲ τῆς δευτέρας ὑπερβολή, ὥστε, οἷον ἐὰν ἐπ᾿ αὐτῆς ληφθῇ σημεῖον ὡς τὸ Γ, καὶ κάθετος ἀχθῇ ἡ Γ∠, λόγον εἶναι τοῦ ὑπὸ τῶν Θ∠Η πρὸς τὸ ἀπὸ ∠Γ τὸν συνημμένον ἔκ τε τοῦ, ὄν ἔχει ἡ ΤΣ πρὸς ΣΥ, καὶ ἐξ οὗ ὅν ἔχει ἡ ΤΣ πρὸς ΣΡ καὶ ἐξ οὗ ὄν ἔχει ὁ δοθεὶς λόγος, ὅς ἐστιν ὁ τοῦ ἀπὸ ΡΤ πρὸς τὸ ἀπὸ ΤΣ, καὶ ἤχθω ὀρθὴ ἡ ΒΚ. λέγω, ὅτι ἡ Θ Κ ποιεῖ τὸ ἐπίταγμα.
并且使ΥΣ对ΣΤ之比，如ΑΒ对ΒΗ之比，并使ΡΤ对ΤΣ之比，如ΑΘ对ΘΒ之比，且以轴ΘΗ作图，在第一种情况下为椭圆，在第二种情况下为双曲线，使得，比如若在其上取任意点如Γ，并引垂线Γ∠，则以Θ、∠、Η为边的矩形对∠Γ上的正方形之比，是由ΤΣ对ΣΥ之比、ΤΣ对ΣΡ之比、以及给定的比（即ΡΤ上的正方形对ΤΣ上的正方形之比）所合成的。 并引垂线ΒΚ。 我说，曲线ΘΚ满足所求。
ἤχθω γὰρ κάθετος ἡ Γ∠, καὶ πεποιήσθω, ὡς μὲν ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΗ, οὕτως ἡ ΖΒ πρὸς τὴν Β∠, ὡς δὲ ἡ ΑΘ πρὸς τὴν ΘΒ, οὕτως ἡ Ε∠ πρὸς τὴν ∠Β ὥστε ἔσται ὁ μὲν τῆς ∠Η πρὸς τὴν ΑΖ λόγος ὁ αὐτὸς τῷ τῆς ΗΒ πρὸς τὴν ΒΑ, τουτέστιν τῷ τῆς ΤΣ πρὸς ΣΥ ὁ δὲ τῆς Θ∠ πρὸς ΑΕ λόγος ὁ αὐτός ἐστιν τῷ τῆς ΤΣ πρὸς ΣΡ τὸ αὐτὸ γὰρ ἐν τῇ ἀναλύσει ἀπεδείχθη·
因为引垂线Γ∠，并使ΑΒ对ΒΗ之比，如ΖΒ对Β∠之比，并使ΑΘ对ΘΒ之比，如Ε∠对∠Β之比，从而 ∠Η对ΑΖ之比将与ΗΒ对ΒΑ之比相同，即与ΤΣ对ΣΥ之比相同；而Θ∠对ΑΕ之比与ΤΣ对ΣΡ之比相同，因为这在分析中已被证明；因此以Θ、∠、Η为边的矩形对以Ζ、Α、Ε为边的矩形之比，是由 ΤΣ对ΣΥ之比与ΤΣ对ΣΡ之比所合成的。
ὥστε τοῦ ὑπὸ Θ∠Η πρὸς τὸ ὑπὸ ΖΑΕ λόγος συνῆπται ἐξ οὗ ὃν ἔχει ἡ ΤΣ πρὸς ΣΥ καὶ ἡ ΤΣ πρὸς ΣΡ. ἀλλʼ ἐπεὶ τὸ ὑπὸ Θ∠Η πρὸς τὸ ἀπὸ ∠Γ τὸν συνημμένον ἔχει λόγον ἐξ οὗ ὃν ἔχει ἡ ΤΣ πρὸς Σ καὶ ἡ ΤΣ πρὸς ΣΡ καὶ ἔτι ὁ δοθεὶς λόγος ὁ τοῦ ἀπὸ ΡΤ πρὸς τὸ ἀπὸ ΤΣ. καὶ τὸ ὑπὸ Θ∠Η πρὸς τὸ ἀπὸ ∠Γ συνῆπται ἐξ οὗ ὃν ἔχει τὸ ὑπὸ Θ∠ πρὸς τὸ ὑπὸ ΖΑΕ καὶ τὸ ὑπὸ ΖΑΕ πρὸς τὸ ἀπὸ ΔΓ, καί ἐστιν ὁ τοῦ ὑπὸ τῶν Θ∠Η πρὸς τὸ ὑπὸ ΖΑΕ λόγος ὁ αὐτὸς τῷ συνημμένῳ ἐξ οὗ ὃν ἔχει ἡ ΤΣ πρὸς ΣΥ καὶ ἡ ΤΣ πρὸς ΣΡ λοιπὸς ἄρα τοῦ ὑπὸ ΖΑΕ πρὸς τὸ ἀπὸ ∠Γ λόγος ὁ αὐτός ἐστιν τῷ τοῦ ἀπὸ ΡΤ πρὸς τὸ ἀπὸ ΤΣ, τουτέστι τῷ τοῦ ἀπὸ Ε∠ πρὸς τὸ ἀπὸ ∠Β. καὶ πάντα πρὸς πάντα·
但是，由于以Θ、∠、Η为边的矩形对∠Γ上的正方形之比，是由ΤΣ对Σ[Υ]之比与ΤΣ对ΣΡ之比，以及给定的比（即ΡΤ上的正方形对ΤΣ上的正方形之比）所合成的。 且以Θ、∠、Η为边的矩形对∠Γ上的正方形之比，是由以Θ、∠[、Η]为边的矩形对以Ζ、Α、Ε为边的矩形之比，与以Ζ、Α、Ε为边的矩形对ΔΓ上的正方形之比所合成的，且以Θ、∠、Η为边的矩形对以Ζ、Α、Ε为边的矩形之比，与由ΤΣ对ΣΥ之比与ΤΣ对ΣΡ之比所合成之比相同；因此，剩余的以Ζ、Α、Ε为边的矩形对∠Γ上的正方形之比，与ΡΤ上的正方形对ΤΣ上的正方形之比相同，即与Ε∠上的正方形对∠Β上的正方形之比相同。
ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ Α∠ πρὸς τὰ ἀπὸ Γ∠, ∠Β, οὕτως ἐστὶν τὸ ἀπὸ ΡΤ πρὸς τὸ ἀπὸ ΤΣ, τουτέστιν ὁ δοθεὶς λόγος· ὥστε τὸ ΘΚ μέρος τῆς τομῆς ποιεῖ τὸν τόπον.
并且全体对全体；因此，Α∠上的正方形对Γ∠、∠Β上的正方形[之和]之比，如ΡΤ上的正方形对ΤΣ上的正方形之比，即给定的比；因此，作为该截线一部分的ΘΚ构成了该轨迹。
Τούτων οὕτως ἐχόντων ἐλευσόμεθα ἐπὶ τὸ ἐξ ἀρχῆς.
既然这些情况如此，我们将进行到最初的问题。
ἔστω θέσει εὐθεῖα ἡ ΑΒ καὶ δοθὲν τὸ Γ ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ, καὶ διήχθω ἡ ∠Γ καὶ κάθετος ἡ ∠Ε, λόγος δὲ ἔστω τῆς Γ∠ πρὸς ∠Ε. λέγω, ὅτι τὸ ∠ ἅπτεται κώνου τομῆς, καὶ ἐὰν μὲν ὁ λόγος ᾖ ἴσος πρὸς ἴσον, παραβολῆς, ἐὰν δὲ ἐλάσσων πρὸς μείζονα, ἐλλείψεως,\ ἐὰν δὲ μείζων πρὸς ἐλάσσονα, ὑπερβολῆς.
设AB为位置给定的直线，且Γ为同一平面内的给定点，并引出∠Γ，并引垂线∠Ε，设比为 Γ∠对∠Ε之比。 我说，∠落在圆锥曲线截线上，且如果该比是等量对等量，则落在抛物线上，如果较小量对较大量，则落在椭圆上，如果较大量对较小量，则落在双曲线上。
ἔστω πρότερον ὁ λόγος ἴσος πρὸς ἴσον, τουτέστιν ἔστω πρότερον ἴση ἡ Γ∠ τῇ ∠Ε. δεῖξαι, ὅτι τὸ ∠ ἅπτεται παραβολῆς.
首先，设该比为等量对等量，即首先设Γ∠等于∠Ε。 需要证明∠落在抛物线上。
ἤχθω κάθετος ἡ ΓΖ θέσει ἄρα ἐστί· τῇ δὲ ΑΒ παράλληλος ἡ ∠Η. καὶ ἐπεὶ τὸ ἀπὸ Ε∠ ἴσον τῷ ἀπὸ ΔΓ. ἴση δὲ ἡ μὲν Ε∠ τῇ ΖΗ, το δὲ ἀπὸ ∠Γ ἴσον τοῖς ἀπὸ ∠Η, ΗΓ, τὸ ἄρα ἀπὸ ΖΗ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ ∠Η, ΗΓ. καὶ ἔστιν θέσει ἡ ΖΓ, καὶ δύο δοθέντα τὰ Ζ, Γ· τὸ ∠ ἄρα ἅπτεται παραβολῆς· τοῦτο γὰρ προδέδεικται.
引垂线ΓΖ；因此它在位置上是给定的；并引∠Η平行于ΑΒ。 且由于Ε∠上的正方形等于 ΔΓ上的正方形。 且Ε∠等于ΖΗ，而∠Γ上的正方形等于∠Η、ΗΓ上的正方形[之和]，因此ΖΗ上的正方形等于∠Η、ΗΓ上的正方形[之和]。 且ΖΓ在位置上是给定的，Ζ、Γ为两个给定点；因此∠落在抛物线上；因为这已经预先证明。
συντεθήσεται δὴ οὕτως· ἔστω ἡ τῇ θέσει ἡ ΑΒ, τὸ δὲ δοθὲν τὸ Γ, καὶ ἤχθω κάθετος ἡ ΓΖ, καὶ θέσει οὔσης τῆς ΓΖ καὶ δύο δοθέντων των τῶν Ζ, Γ εὑρήσθω παραβολὴ ἡ ΔΘ, ὥστε, οἷον ἐὰν ληφθῇ σημεῖον ὡς τὸ ∠, ἀχθῇ δὲ κάθετος ἡ ∠Η, ἴσον ἐστὶν τὸ ἀπὸ ΖΗ τοῖς ἀπὸ ∠Η, ΗΓ. λέγω, ὅτι ἡ ∠Θ γραμμὴ τὸν τόπον ποιεῖ, τουτέστιν ὅτι, οἵα τις ἐὰν διαχθῇ ὡς ἡ Γ∠ καὶ κάθετος ἡ ∠Ε, ἴση ἐστὶν ἡ Γ∠ τῇ ∠Ε.
ἤχθω κάθετος ἡ ∠Η·
该轨迹将如下予以作图（合成）：设AB在位置上是给定的，Γ为给定点，并引垂线ΓΖ，且由于ΓΖ在位置上是给定的，Ζ、Γ为两个给定点，设求得抛物线ΔΘ，使得，比如若取任意点如∠，并引垂线∠Η，则 ΖΗ上的正方形等于∠Η、ΗΓ上的正方形[之和]。 我说，曲线∠Θ构成了该轨迹，即，无论引出怎样的Γ∠和垂线∠Ε，Γ∠都等于∠Ε。
διὰ ἄρα τῆς παραβολῆς ἴσον ἐστὶν τὸ ἀπὸ ΖΗ τοῖς ἀπὸ ∠Η, ΗΓ. καί ἐστιν τῇ μὲν ΖΗ ἴση ἡ Ε∠, τοῖς δὲ ἀπὸ ∠Η, ΗΓ ἴσον τὸ ἀπὸ ∠Γ· τὸ ἄρα ἀπὸ ∠Γ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ ∠Ε. ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ Γ∠ τῇ ∠Ε· ἡ ἄρα ∠Θ γραμμὴ ποιεῖ τὸν τόπον.
因为，引垂线∠Η；因此根据抛物线， ΖΗ上的正方形等于∠Η、ΗΓ上的正方形[之和]。 且Ε∠等于ΖΗ，而∠Γ上的正方形等于∠Η、ΗΓ上的正方形[之和]；因此∠Γ上的正方形等于∠Ε上的正方形。 因此Γ∠等于∠Ε；所以曲线∠Θ构成了该轨迹。