§8.2#2καὶ πεποιήσθω, ὡς ἡ ΥΣ πρὸς τὴν ΣΤ, οὕτως ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΗ, πεποιήσθω δὲ καί, ὡς ἡ ΡΤ πρὸς τὴν ΤΣ, οὕτως ἡ ΑΘ πρὸς τὴν ΘΒ, καὶ γεγράφθω περὶ ἄξονα τον ΘΗ ἐπὶ μὲν τῆς πρώτης πτώσεως ἔλλειψις, ἐπὶ δὲ τῆς δευτέρας ὑπερβολή, ὥστε, οἷον ἐὰν ἐπ᾿ αὐτῆς ληφθῇ σημεῖον ὡς τὸ Γ, καὶ κάθετος ἀχθῇ ἡ Γ∠, λόγον εἶναι τοῦ ὑπὸ τῶν Θ∠Η πρὸς τὸ ἀπὸ ∠Γ τὸν συνημμένον ἔκ τε τοῦ, ὄν ἔχει ἡ ΤΣ πρὸς ΣΥ, καὶ ἐξ οὗ ὅν ἔχει ἡ ΤΣ πρὸς ΣΡ καὶ ἐξ οὗ ὄν ἔχει ὁ δοθεὶς λόγος, ὅς ἐστιν ὁ τοῦ ἀπὸ ΡΤ πρὸς τὸ ἀπὸ ΤΣ, καὶ ἤχθω ὀρθὴ ἡ ΒΚ. λέγω, ὅτι ἡ Θ Κ ποιεῖ τὸ ἐπίταγμα.
그리고 ΥΣ의 ΣΤ에 대한 비율이 ΑΒ의 ΒΗ에 대한 비율과 같도록 만들고, 또한 ΡΤ의 ΤΣ에 대한 비율이 ΑΘ의 ΘΒ에 대한 비율과 같도록 만들자. 그리고 축 ΘΗ에 관하여, 첫 번째 경우에는 타원을, 두 번째 경우에는 쌍곡선을 그리되, 그 위에 Γ와 같은 임의의 점을 잡고 수선 Γ∠을 내릴 때, Θ, ∠, Η가 이루는 직사각형의 ∠Γ 위의 정사각형에 대한 비율이, ΤΣ의 ΣΥ에 대한 비율과, ΤΣ의 ΣΡ에 대한 비율과, 주어진 비율(즉 ΡΤ 위의 정사각형의 ΤΣ 위의 정사각형에 대한 비율)로부터 합성된 비율이 되도록 하라. 그리고 수직인 ΒΚ를 그리자. 나는 ΘΚ가 지시된 성질을 만족한다고 주장한다.
ἤχθω γὰρ κάθετος ἡ Γ∠, καὶ πεποιήσθω, ὡς μὲν ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΗ, οὕτως ἡ ΖΒ πρὸς τὴν Β∠, ὡς δὲ ἡ ΑΘ πρὸς τὴν ΘΒ, οὕτως ἡ Ε∠ πρὸς τὴν ∠Β ὥστε ἔσται ὁ μὲν τῆς ∠Η πρὸς τὴν ΑΖ λόγος ὁ αὐτὸς τῷ τῆς ΗΒ πρὸς τὴν ΒΑ, τουτέστιν τῷ τῆς ΤΣ πρὸς ΣΥ ὁ δὲ τῆς Θ∠ πρὸς ΑΕ λόγος ὁ αὐτός ἐστιν τῷ τῆς ΤΣ πρὸς ΣΡ τὸ αὐτὸ γὰρ ἐν τῇ ἀναλύσει ἀπεδείχθη·
왜냐하면 수선 Γ∠을 내리고, ΑΒ의 ΒΗ에 대한 비율이 ΖΒ의 Β∠에 대한 비율과 같게 하고, ΑΘ의 ΘΒ에 대한 비율이 Ε∠의 ∠Β에 대한 비율과 같게 만들자. 그리하여 ∠Η의 ΑΖ에 대한 비율은 ΗΒ의 ΒΑ에 대한 비율과 같고, 즉 ΤΣ의 ΣΥ에 대한 비율과 같을 것이며, Θ∠의 ΑΕ에 대한 비율은 ΤΣ의 ΣΡ에 대한 비율과 같을 것이다. 왜냐하면 분석에서 이와 같은 일이 증명되었기 때문이다.
ὥστε τοῦ ὑπὸ Θ∠Η πρὸς τὸ ὑπὸ ΖΑΕ λόγος συνῆπται ἐξ οὗ ὃν ἔχει ἡ ΤΣ πρὸς ΣΥ καὶ ἡ ΤΣ πρὸς ΣΡ. ἀλλʼ ἐπεὶ τὸ ὑπὸ Θ∠Η πρὸς τὸ ἀπὸ ∠Γ τὸν συνημμένον ἔχει λόγον ἐξ οὗ ὃν ἔχει ἡ ΤΣ πρὸς Σ καὶ ἡ ΤΣ πρὸς ΣΡ καὶ ἔτι ὁ δοθεὶς λόγος ὁ τοῦ ἀπὸ ΡΤ πρὸς τὸ ἀπὸ ΤΣ. καὶ τὸ ὑπὸ Θ∠Η πρὸς τὸ ἀπὸ ∠Γ συνῆπται ἐξ οὗ ὃν ἔχει τὸ ὑπὸ Θ∠ πρὸς τὸ ὑπὸ ΖΑΕ καὶ τὸ ὑπὸ ΖΑΕ πρὸς τὸ ἀπὸ ΔΓ, καί ἐστιν ὁ τοῦ ὑπὸ τῶν Θ∠Η πρὸς τὸ ὑπὸ ΖΑΕ λόγος ὁ αὐτὸς τῷ συνημμένῳ ἐξ οὗ ὃν ἔχει ἡ ΤΣ πρὸς ΣΥ καὶ ἡ ΤΣ πρὸς ΣΡ λοιπὸς ἄρα τοῦ ὑπὸ ΖΑΕ πρὸς τὸ ἀπὸ ∠Γ λόγος ὁ αὐτός ἐστιν τῷ τοῦ ἀπὸ ΡΤ πρὸς τὸ ἀπὸ ΤΣ, τουτέστι τῷ τοῦ ἀπὸ Ε∠ πρὸς τὸ ἀπὸ ∠Β. καὶ πάντα πρὸς πάντα·
따라서 Θ, ∠, Η가 이루는 직사각형의 Ζ, Α, 가 이루는 직사각형에 대한 비율은 ΤΣ의 ΣΥ에 대한 비율과 ΤΣ의 ΣΡ에 대한 비율로부터 합성된다. 하지만 Θ, ∠, Η가 이루는 직사각형의 ∠Γ 위의 정사각형에 대한 비율은, ΤΣ의 Σ[Υ]에 대한 비율과 ΤΣ의 ΣΡ에 대한 비율, 그리고 주어진 비율인 ΡΤ 위의 정사각형의 ΤΣ 위의 정사각형에 대한 비율로부터 합성된 비율을 가지므로, 그리고 Θ, ∠, Η가 이루는 직사각형의 ∠Γ 위의 정사각형에 대한 비율은, Θ, ∠[, Η]가 이루는 직사각형의 Ζ, Α, 가 이루는 직사각형에 대한 비율과, Ζ, Α, 가 이루는 직사각형의 ΔΓ 위의 정사각형에 대한 비율로부터 합성되며, Θ, ∠, Η가 이루는 직사각형의 Ζ, Α, 가 이루는 직사각형에 대한 비율은 ΤΣ의 ΣΥ에 대한 비율과 ΤΣ의 ΣΡ에 대한 비율로부터 합성되는 비율과 같으므로, 따라서 남은 Ζ, Α, 가 이루는 직사각형의 ∠Γ 위의 정사각형에 대한 비율은 ΡΤ 위의 정사각형의 ΤΣ 위의 정사각형에 대한 비율과 같고, 즉 Ε∠ 위의 정사각형의 ∠Β 위의 정사각형에 대한 비율과 같다. 그리고 전체에 대한 전체도 마찬가지이다.
ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ Α∠ πρὸς τὰ ἀπὸ Γ∠, ∠Β, οὕτως ἐστὶν τὸ ἀπὸ ΡΤ πρὸς τὸ ἀπὸ ΤΣ, τουτέστιν ὁ δοθεὶς λόγος·
따라서 Α∠ 위의 정사각형의 Γ∠, ∠Β 위의 정사각형들의 합에 대한 비율은 ΡΤ 위의 정사각형의 ΤΣ 위의 정사각형에 대한 비율, 즉 주어진 비율과 같다.
ὥστε τὸ ΘΚ μέρος τῆς τομῆς ποιεῖ τὸν τόπον.
그러므로 곡선의 일부로서 ΘΚ가 그 궤적을 이룬다.
Τούτων οὕτως ἐχόντων ἐλευσόμεθα ἐπὶ τὸ ἐξ ἀρχῆς.
이러한 일들이 그러하므로, 우리는 당초의 문제로 나아가자.
ἔστω θέσει εὐθεῖα ἡ ΑΒ καὶ δοθὲν τὸ Γ ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ, καὶ διήχθω ἡ ∠Γ καὶ κάθετος ἡ ∠Ε, λόγος δὲ ἔστω τῆς Γ∠ πρὸς ∠Ε. λέγω, ὅτι τὸ ∠ ἅπτεται κώνου τομῆς, καὶ ἐὰν μὲν ὁ λόγος ᾖ ἴσος πρὸς ἴσον, παραβολῆς, ἐὰν δὲ ἐλάσσων πρὸς μείζονα, ἐλλείψεως,\ ἐὰν δὲ μείζων πρὸς ἐλάσσονα, ὑπερβολῆς.
위치가 주어진 직선을 ΑΒ라 하고 같은 평면 위의 주어진 점을 Γ라 하며, ∠Γ가 관통하여 그려지고 수선 ∠Ε가 그려지며, 비율이 Γ∠의 ∠Ε에 대한 비율이라 하자. 나는 ∠는 원추곡선 위에 있게 되며, 만약 그 비율이 같은 것에 대한 같은 것의 비율이라면 포물선 위에, 더 작은 것에 대한 더 큰 것의 비율이라면 타원 위에, 더 큰 것에 대한 더 작은 것의 비율이라면 쌍곡선 위에 있게 된다고 말한다.
ἔστω πρότερον ὁ λόγος ἴσος πρὸς ἴσον, τουτέστιν ἔστω πρότερον ἴση ἡ Γ∠ τῇ ∠Ε. δεῖξαι, ὅτι τὸ ∠ ἅπτεται παραβολῆς.
먼저 그 비율이 같은 것에 대한 같은 것의 비율이라 하자. 즉 먼저 Γ∠이 ∠Ε와 같다고 하자. ∠가 포물선 위에 있게 됨을 보여야 한다.
ἤχθω κάθετος ἡ ΓΖ θέσει ἄρα ἐστί·
수선 ΓΖ를 내리자. 그러므로 이것은 위치가 주어져 있다.
τῇ δὲ ΑΒ παράλληλος ἡ ∠Η. καὶ ἐπεὶ τὸ ἀπὸ Ε∠ ἴσον τῷ ἀπὸ ΔΓ. ἴση δὲ ἡ μὲν Ε∠ τῇ ΖΗ, το δὲ ἀπὸ ∠Γ ἴσον τοῖς ἀπὸ ∠Η, ΗΓ, τὸ ἄρα ἀπὸ ΖΗ ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ ∠Η, ΗΓ. καὶ ἔστιν θέσει ἡ ΖΓ, καὶ δύο δοθέντα τὰ Ζ, Γ·
그리고 ΑΒ에 평행하게 ∠Η를 그리자. 그리고 Ε∠ 위의 정사각형이 ΔΓ 위의 정사각형과 같으므로, 또한 Ε∠은 ΖΗ와 같고, ∠Γ 위의 정사각형은 ∠Η, ΗΓ 위의 정사각형들의 합과 같으므로, 따라서 ΖΗ 위의 정사각형은 ∠Η, ΗΓ 위의 정사각형들의 합과 같다. 그리고 ΖΓ는 위치가 주어져 있고, Ζ, Γ는 두 개의 주어진 점이다.
τὸ ∠ ἄρα ἅπτεται παραβολῆς·
그러므로 ∠는 포물선 위에 있게 된다.
τοῦτο γὰρ προδέδεικται.
왜냐하면 이것은 미리 증명되었기 때문이다.
συντεθήσεται δὴ οὕτως·
그리하여 다음과 같이 구성될 것이다.
ἔστω ἡ τῇ θέσει ἡ ΑΒ, τὸ δὲ δοθὲν τὸ Γ, καὶ ἤχθω κάθετος ἡ ΓΖ, καὶ θέσει οὔσης τῆς ΓΖ καὶ δύο δοθέντων των τῶν Ζ, Γ εὑρήσθω παραβολὴ ἡ ΔΘ, ὥστε, οἷον ἐὰν ληφθῇ σημεῖον ὡς τὸ ∠, ἀχθῇ δὲ κάθετος ἡ ∠Η, ἴσον ἐστὶν τὸ ἀπὸ ΖΗ τοῖς ἀπὸ ∠Η, ΗΓ. λέγω, ὅτι ἡ ∠Θ γραμμὴ τὸν τόπον ποιεῖ, τουτέστιν ὅτι, οἵα τις ἐὰν διαχθῇ ὡς ἡ Γ∠ καὶ κάθετος ἡ ∠Ε, ἴση ἐστὶν ἡ Γ∠ τῇ ∠Ε.
ἤχθω κάθετος ἡ ∠Η·
위치가 주어진 것을 ΑΒ라 하고, 주어진 점을 Γ라 하며, 수선 ΓΖ를 내리자. 그리고 ΓΖ가 위치가 주어져 있고 Ζ, Γ가 두 개의 주어진 점일 때, 가령 만약 ∠와 같은 임의의 점을 잡고 수선 ∠Η를 내린다면, ΖΗ 위의 정사각형이 ∠Η, ΗΓ 위의 정사각형들의 합과 같게 되는 포물선 ΔΘ가 얻어진다고 하자. 나는 선 ∠Θ가 그 궤적을 이룬다고, 즉 어떠한 Γ∠이 관통하여 그려지고 수선 ∠Ε가 그려지더라도 Γ∠은 ∠Ε와 같다고 주장한다. 수선 ∠Η를 내리자.
διὰ ἄρα τῆς παραβολῆς ἴσον ἐστὶν τὸ ἀπὸ ΖΗ τοῖς ἀπὸ ∠Η, ΗΓ. καί ἐστιν τῇ μὲν ΖΗ ἴση ἡ Ε∠, τοῖς δὲ ἀπὸ ∠Η, ΗΓ ἴσον τὸ ἀπὸ ∠Γ·
그러므로 포물선에 의하여 ΖΗ 위의 정사각형은 ∠Η, ΗΓ 위의 정사각형들의 합과 같다. 그리고 Ε∠은 ΖΗ와 같고, ∠Η, ΗΓ 위의 정사각형들의 합은 ∠Γ 위의 정사각형과 같다.
τὸ ἄρα ἀπὸ ∠Γ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ ∠Ε. ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ Γ∠ τῇ ∠Ε·
그러므로 ∠Γ 위의 정사각형은 ∠Ε 위의 정사각형과 같다. 따라서 Γ∠은 ∠Ε와 같다.
ἡ ἄρα ∠Θ γραμμὴ ποιεῖ τὸν τόπον.
그러므로 선 ∠Θ가 그 궤적을 이룬다.