§8.2#1β΄. Ἐὰν ᾖ θέσει εὐθεῖα ἡ ΑΒ καὶ δοθὲν τὸ Γ ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ, καὶ διαχθῇ ἡ ∠Γ, καὶ παρὰ θέσει ἀχθῇ ἡ ∠Ε, λόγος δὲ ᾖ τῆς Γ∠ πρὸς ∠Ε, τὸ ∠ ἅπτεται θέσει κωνικῆς τομῆς·
β΄. もしABが位置において与えられた直線であり、かつΓが同じ平面上で与えられた点であり、かつ∠Γが引かれ、かつ位置において与えられた（直線に）平行に∠Εが引かれ、かつ Γ∠の∠Εに対する比が（一定として）あるならば、∠は位置において与えられた円錐曲線に接する。
δείκνυται δέ, ὅτι γραμμῆς·
そして、それが〔円錐〕曲線であることが示される。
δειχθήσεται δὲ οὕτως προγραφέντος τόπου τοῦδε·
しかし、このあらかじめ書かれた軌跡を用いて次のように示されるであろう。
Δύο δοθέντων τῶν Α, Β καὶ ὀρθῆς τῆς Γ∠ λόγος ἔστω τοῦ ἀπὸ Α∠ πρὸς τὰ ἀπὸ Γ∠, ∠Β. λέγω, ὅτι τὸ Γ ἄπτεται κώνου τομῆς, ἐάν τε ᾖ λόγος ἴσος πρὸς ἴσον ἢ μείζων πρὸς ἐλάσσονα ἢ ἐλάσσων πρὸς μείζονα.
二つの点A, Bが与えられ、かつ Γ∠が垂直であるとき、A∠上の正方形の、Γ∠および∠Β上の正方形（の和）に対する比が（一定として）あるとする。 私は、その比が等しいものに対する等しいものであるか、大きいものに対する小さいものであるか、小さいものに対する大きいものであるかにかかわらず、Γは円錐曲線に接すると主張する。
ἔστω γὰρ πρότερον ὁ λόγος ἴσος πρὸς ἴσον.
なぜなら、まずその比が等しいものに対する等しいものであるとせよ。
καὶ ἐπεὶ ἴσον ἐστὶν τὸ ἀπὸ Α∠ τοῖς ἀπὸ Γ∠, ∠Β, κείσθω τῇ Β∠ ἴση ἡ ∠Ε ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ὑπὸ ΒΑΕ τῷ ἀπὸ ∠Γ. τετμήσθω δίχα ἡ ΑΒ τῷ Ζ·
そして、A∠上の正方形がΓ∠および∠Β上の正方形（の和）に等しいので、Β∠に等しい∠Εを置け。 したがって、Β, Α, Εによる矩形は、∠Γ上の正方形に等しい。 ABがΖにおいて二等分されるとせよ。
δοθὲν ἄρα τὸ Ζ. καὶ ἔσται διπλῆ ἡ ΑΕ τῆς ΖΔ·
したがって、Ζは与えられた点である。 そして、ΑΕはΖ∠の2倍になるであろう。
ὥστε τὸ ὑπὸ ΒΑΕ τὸ δίς ἐστιν ὑπὸ τῶν ΑΒ, Ζ∠.
したがって、Β, Α, Εによる矩形は、ΑΒとΖ∠による矩形の2倍である。
καί ἐστιν ἡ διπλῆ τῆς ΑΒ δοθεῖσα·
そして、ΑΒの2倍は与えられている。
τὸ ἄρα ὑπὸ δοθείσης καὶ τῆς Ζ∠ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ τῆς ∠Γ. τὸ Γ ἄρα ἅπτεται θέσει παραβολῆς ἐρχομένης διὰ τοῦ Ζ.
συντεθήσεται δὴ ὁ τόπος οὕτως·
したがって、与えられた（線分）とΖ∠による矩形は、∠Γ上の正方形に等しい。 したがって、Γは、Ζを通る、位置において与えられた放物線に接する。
ἔστω τὰ δοθέντα Α, Β, ὁ δὲ λόγος ἔστω ἴσος πρὸς ἴσον, καὶ τετμήσθω ἡ ΑΒ δίχα τῷ Ζ, τῆς δὲ ΑΒ διπλῆ ἔστω ἡ Ρ, καὶ θέσει οὔσης εὐθείας τῆς ΖΒ πεπερασμένης κατὰ τὸ Ζ, τῆς δὲ P δεδομένης τῷ μεγέθει, γεγράφθω περὶ ἄξονα τὸν ΖΒ παραβολὴ ἡ ΗΖ, ὥστε, οἷον ἐὰν ἐπ᾿ αὐτῆς σημεῖον ληφθῇ ὡς τὸ Γ, κάθετος δὲ ἀχθῇ ἡ ΓΔ, ἴσον εἶναι τὸ ὑπὸ Ρ Ζ∠ τῷ ἀπὸ ∠.
そこで、その軌跡は次のように構成されるであろう。 与えられた点をA, Bとし、比は等しいものに対する等しいものであるとし、ΑΒはΖにおいて二等分されるとし、ΑΒの2倍をΡとし、ΖΒはΖにおいて端点を持つ、位置において与えられた直線であり、Ρは大きさにおいて与えられているとし、ΖΒを軸として放物線ΗΖが描かれ、それは、たとえばその上にΓのような点が取られ、垂線ΓΔが引かれるならば、ΡとΖ∠による矩形が、∠［Γ上の正方形］に等しくなるようなものであるとする。
καὶ ἤχθω ὀρθὴ ΒΗ. λέγω, ὅτι τὸ ΓΗ. μέρος τῆς παραβολῆς ἐστιν.
そして、垂直なΒΗが引かれるとせよ。 私は、ΓΗが放物線の一部であると主張する。
ἤχθω γὰρ κάθετος ἡ Γ∠, καὶ τῇ Β∠ ἴση κείσθω ἡ ∠Ε. ἐπεὶ οὖν διπλῆ ἐστιν ἡ μὲν ΑΒ τῆς ΒΖ, ἡ δὲ ΕΒ τῆς Β∠, διπλῆ ἄρα καὶ ἡ ΑΕ τῆς Ζ∠·
なぜなら、垂線Γ∠が引かれ、Β∠に等しい ∠Εが置かれるとせよ。 そこで、ΑΒがΒΖの2倍であり、ΕΒがΒ∠の2倍であるから、ΑΕもまたΖ∠の2倍である。
τὸ ἄρα ὑπὸ ΒΑΕ ἴσον ἐστὶν τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, Ζ∠, τουτέστιν τῷ ἀπὸ ∠Γ. κοινὸν προσκείσθω τὸ ἀπὸ Ε∠ ἴσον ὄν τῷ ἀπὸ ∠Β·
したがって、Β, Α, Εによる矩形は、ΑΒとΖ∠による矩形の2倍に等しく、すなわち、∠Γ上の正方形に等しい。 共通のものとして、∠Β上の正方形に等しいΕ∠上の正方形が加えられるとせよ。
ὅλον ἄρα τὸ ἀπὸ Α∠ ἴσον ἐστὶν τοῖς ἀπὸ τῶν Γ∠, ∠Β. ἡ ΖΓΗ ἄρα γραμμὴ ποιεῖ τὸν τόπον.
したがって、全体としてのΑ∠上の正方形は、 Γ∠および∠Β上の正方形（の和）に等しい。 したがって、ΖΓΗという線がその軌跡を作る。
Ἔστω δὴ πάλιν τὰ δύο δοθέντα σημεῖα τὰ Α, Β καὶ εὐθεῖά τε ἡ ∠Γ καὶ ὀρθή, λόγος δὲ ἔστω τοῦ ἀπὸ Α∠ πρὸς τὰ ἀπὸ B∠, ∠Γ ἐπὶ μὲν τῆς πρώτης πτώσεως ἐλάσσων πρὸς μείζονα, ἐπὶ δὲ τῆς δευτέρας μείζων πρὸς ἐλάσσονα.
そこで、再び二つの与えられた点をA, Bとし、直線∠Γは垂直であるとし、Α∠上の正方形の、 B∠および∠Γ上の正方形（の和）に対する比が、第一の場合においては小さいものに対する大きいものの比であり、第二の場合においては大きいものに対する小さいものの比であるとする。
λέγω, ὅτι τὸ ἅπτεται κώνου τομῆς, ἐπὶ μὲν τῆς πρώτης πτώσεως ἐλλείψεως, ἐπὶ δὲ τῆς δευτέρας ὑπερβολῆς.
私は、Γは円錐曲線に接し、第一の場合においては楕円に、第二の場合においては双曲線に接すると主張する。
ἐπεὶ γὰρ λόγος ἐστὶν τοῦ ἀπὸ Α∠ πρὸς τὰ ἀπὸ Β∠, ∠Γ, ὁ αὐτὸς αὐτῷ γεγονέτω ὁ τοῦ ἀπὸ Β∠ πρὸς τὸ ἀπὸ ΔΕ·
なぜなら、Α∠上の正方形の、Β∠および∠Γ上の正方形（の和）に対する比があるから、それと同じ比を、Β∠上の正方形の、ΔΕ上の正方形に対する比として作れ。
ἐπὶ μὲν οὖν τῆς πρώτης πτώσεως ἐλάσσων ἐστὶν ἡ Β∠ τῆς ∠Ε, ἐπὶ δὲ τῆς δευτέρας μείζων ἐστὶν ἡ Β τῆς ∠Ε. κείσθω οὖν τῇ Ε∠ ἴση ἡ ∠Ζ. ἐπεῖ λόγος ἐστὶν τοῦ ἀπὸ Α∠ πρὸς τὰ ἀπὸ Γ∠, ∠Β, καί ἐστιν αὐτῷ ὁ αὐτὸς ὁ τοῦ ἀπὸ Ε∠ πρὸς τὸ ἀπὸ ∠Β, καὶ λοιπὸς ἄρα τοῦ ὑπὸ ΖΑΕ πρὸς τὸ ἀπὸ ∠Γ λόγος ἐστὶν δοθείς.
そこで、第一の場合においてはΒ∠は∠Εより小さく、第二の場合においてはΒは∠Εより大きい。 そこで、Ε∠に等しい∠Ζを置け。 比が Α∠上の正方形の、Γ∠および∠Β上の正方形（の和）に対する比であり、かつそれと同じ比がΕ∠上の正方形の、∠Β上の正方形に対する比であるので、したがって残りの、 Ζ, Α, Εによる矩形の、∠Γ上の正方形に対する比もまた与えられている。
ἐπεὶ δὲ λόγος ἐστὶν τῆς Ε∠ πρὸς ∠Β καὶ τῆς Ζ∠ πρὸς ∠Β καὶ τῆς ΖΒ πρὸς Β∠, ὁ αὐτὸς αὐτῷ γεγονέτω ὁ τῆς ΑΒ πρὸς ΒΗ·
また、Ε∠の∠Βに対する比、およびΖ∠の∠Βに対する比、およびΖΒのΒ∠に対する比もあるので、それと同じ比をΑΒのΒΗに対する比として作れ。
καὶ ὅλης ἄρα τῆς ΑΖ πρὸς ∠Η λόγος ἐστὶν δοθείς.
したがって、全体としてのΑΖ の∠Ηに対する比もまた与えられている。
πάλιν, ἐπεὶ λόγος ἐστὶν τῆς Ε∠ πρὸς ∠Β δοθείς, καὶ τῆς ΕΒ ἄρα πρὸς Β∠ λόγος ἐστὶν δοθείς.
再び、Ε∠の∠Βに対する比が与えられているので、ΕΒのΒ∠に対する比もまた与えられている。
ὁ αὐτὸς αὐτῷ γεγονέτω ὁ τῆς ΑΒ πρὸς ΒΘ·
それと同じ比をΑΒのΒΘに対する比として作れ。
λόγος ἄρα καὶ τῆς ΑΒ πρὸς ΒΘ ἐστιν δοθείς· δοθὲν ἄρα τὸ Θ. καὶ λοιπὸς τῆς ΑΕ πρὸς Θ∠ λόγος ἐστὶν δοθείς·
したがって、ΑΒのΒΘに対する比もまた与えられており、それゆえΘは与えられた点である。 そして残りのΑΕのΘ∠に対する比もまた与えられている。
καὶ τοῦ ὑπὸ ΖΑΕ ἄρα πρὸς τὸ ὑπὸ Θ∠Η λόγος ἐστὶ δοθείς.
したがって、Ζ, Α, Εによる矩形の、Θ, ∠, Ηによる矩形に対する比もまた与えられている。
τοῦ δὲ ὑπὸ ΖΑΕ πρὸς τὸ ἀπὸ Γ∠ λόγος ἐστὶν δοθείς·
また、Ζ, Α, Εによる矩形の、Γ∠上の正方形に対する比も与えられている。
καὶ τοῦ ὑπὸ Η∠Θ ἄρα πρὸς τὸ ἀπὸ ∠Γ λόγος ἐστὶν δοθείς.
したがって、Η, ∠, Θによる矩形の、∠Γ上の正方形に対する比もまた与えられている。
καί ἐστιν δύο δοθέντα τὰ Θ, Η·
そして、Θ, Ηは二つの与えられた点である。
ἐπὶ μὲν ἄρα τῆς πρώτης πτώσεως τὸ Γ ἅπτεται ἐλλείψψεως, ἐπὶ δὲ τῆς δευτέρας ὑπερβολῆς.
したがって、第一の場合においてはΓは楕円に接し、第二の場合においては双曲線に接する。
συντεθήσεται δὲ ὁ τόπος οὕτως·
そこで、その軌跡は次のように構成されるであろう。
ἔστω τὰ μὲν δύο δοθέντα σημεῖα τὰ Α, Β, ὁ δὲ δοθεὶς λόγος ὁ τῆς ΡΤ πρὸς ΤΣ, ἐπὶ μὲν τῆς πρώτης πτώσεως ἐλάσσων πρὸς μείζονα, ἐπὶ δὲ τῆς δευτέρας μείζων πρὸς ἐλάσσονα, καὶ τῇ ΡΤ ἴση κείσθω ἡ ΤΥ.
二つの与えられた点をA, Bとし、与えられた比をΡΤのΤΣに対する比とし、第一の場合においては小さいものに対する大きいものの（比）であり、第二の場合においては大きいものに対する小さいものの（比）であるとし、ΡΤに等しいΤΥが置かれるとせよ。