§8.2#1β΄. Ἐὰν ᾖ θέσει εὐθεῖα ἡ ΑΒ καὶ δοθὲν τὸ Γ ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ, καὶ διαχθῇ ἡ ∠Γ, καὶ παρὰ θέσει ἀχθῇ ἡ ∠Ε, λόγος δὲ ᾖ τῆς Γ∠ πρὸς ∠Ε, τὸ ∠ ἅπτεται θέσει κωνικῆς τομῆς· δείκνυται δέ, ὅτι γραμμῆς· δειχθήσεται δὲ οὕτως προγραφέντος τόπου τοῦδε· Δύο δοθέντων τῶν Α, Β καὶ ὀρθῆς τῆς Γ∠ λόγος ἔστω τοῦ ἀπὸ Α∠ πρὸς τὰ ἀπὸ Γ∠, ∠Β. λέγω, ὅτι τὸ Γ ἄπτεται κώνου τομῆς, ἐάν τε ᾖ λόγος ἴσος πρὸς ἴσον ἢ μείζων πρὸς ἐλάσσονα ἢ ἐλάσσων πρὸς μείζονα.
β΄. 如果AB是位置给定的直线，且Γ是同一平面内的给定点，并且引出∠Γ，并引出与位置给定的直线平行的∠Ε，且 Γ∠对∠Ε之比存在，那么∠落在位置给定的圆锥曲线截线上；并且这证明了它是一条曲线；而通过预先写出如下轨迹，将如下予以证明：给定两点A、B，且 Γ∠为垂线，设Α∠上的正方形对Γ∠、∠Β上的正方形[之和]有比。 我说，无论该比是等量对等量、较大量对较小量、还是较小量对较大量，Γ都落在一个圆锥曲线截线上。
ἔστω γὰρ πρότερον ὁ λόγος ἴσος πρὸς ἴσον.
因为，首先设该比为等量对等量。
καὶ ἐπεὶ ἴσον ἐστὶν τὸ ἀπὸ Α∠ τοῖς ἀπὸ Γ∠, ∠Β, κείσθω τῇ Β∠ ἴση ἡ ∠Ε ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ὑπὸ ΒΑΕ τῷ ἀπὸ ∠Γ. τετμήσθω δίχα ἡ ΑΒ τῷ Ζ·
且由于Α∠上的正方形等于Γ∠、∠Β上的正方形[之和]，设∠Ε等于Β∠；因此以Β、Α、Ε为边的矩形等于∠Γ上的正方形。 设ΑΒ在Ζ点被平分；因此Ζ是给定点。
δοθὲν ἄρα τὸ Ζ. καὶ ἔσται διπλῆ ἡ ΑΕ τῆς ΖΔ· ὥστε τὸ ὑπὸ ΒΑΕ τὸ δίς ἐστιν ὑπὸ τῶν ΑΒ, Ζ∠.
且ΑΕ将是Ζ∠的两倍；从而以Β、Α、Ε为边的矩形是ΑΒ、Ζ∠所围成矩形的两倍。
καί ἐστιν ἡ διπλῆ τῆς ΑΒ δοθεῖσα· τὸ ἄρα ὑπὸ δοθείσης καὶ τῆς Ζ∠ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ τῆς ∠Γ. τὸ Γ ἄρα ἅπτεται θέσει παραβολῆς ἐρχομένης διὰ τοῦ Ζ.
συντεθήσεται δὴ ὁ τόπος οὕτως·
而ΑΒ的两倍是给定的；因此由给定线段与Ζ∠所围成的矩形等于∠Γ上的正方形。 所以，Γ落在一条位置给定的、经过Ζ点的抛物线上。
ἔστω τὰ δοθέντα Α, Β, ὁ δὲ λόγος ἔστω ἴσος πρὸς ἴσον, καὶ τετμήσθω ἡ ΑΒ δίχα τῷ Ζ, τῆς δὲ ΑΒ διπλῆ ἔστω ἡ Ρ, καὶ θέσει οὔσης εὐθείας τῆς ΖΒ πεπερασμένης κατὰ τὸ Ζ, τῆς δὲ P δεδομένης τῷ μεγέθει, γεγράφθω περὶ ἄξονα τὸν ΖΒ παραβολὴ ἡ ΗΖ, ὥστε, οἷον ἐὰν ἐπ᾿ αὐτῆς σημεῖον ληφθῇ ὡς τὸ Γ, κάθετος δὲ ἀχθῇ ἡ ΓΔ, ἴσον εἶναι τὸ ὑπὸ Ρ Ζ∠ τῷ ἀπὸ ∠.
该轨迹将如下予以作图（合成）：设给定点为A、B，且给定的比为等量对等量，并设ΑΒ在Ζ点被平分，P为ΑΒ的两倍，ΖB为位置给定且以Ζ为端点的直线，P在大小上是给定的，设以ΖB为轴作抛物线HΖ，使得，比如若在其上取任意点如Γ，并引垂线ΓΔ，则由P与Ζ∠所围成的矩形等于∠[Γ]上的正方形。
καὶ ἤχθω ὀρθὴ ΒΗ. λέγω, ὅτι τὸ ΓΗ. μέρος τῆς παραβολῆς ἐστιν.
并引垂线BH。 我说，ΓH是该抛物线的一部分。
ἤχθω γὰρ κάθετος ἡ Γ∠, καὶ τῇ Β∠ ἴση κείσθω ἡ ∠Ε. ἐπεὶ οὖν διπλῆ ἐστιν ἡ μὲν ΑΒ τῆς ΒΖ, ἡ δὲ ΕΒ τῆς Β∠, διπλῆ ἄρα καὶ ἡ ΑΕ τῆς Ζ∠· τὸ ἄρα ὑπὸ ΒΑΕ ἴσον ἐστὶν τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, Ζ∠, τουτέστιν τῷ ἀπὸ ∠Γ. κοινὸν προσκείσθω τὸ ἀπὸ Ε∠ ἴσον ὄν τῷ ἀπὸ ∠Β· ὅλον ἄρα τὸ ἀπὸ Α∠ ἴσον ἐστὶν τοῖς ἀπὸ τῶν Γ∠, ∠Β. ἡ ΖΓΗ ἄρα γραμμὴ ποιεῖ τὸν τόπον.
因为，引垂线Γ∠，并设∠Ε等于 Β∠。 那么，由于ΑΒ是BΖ的两倍，而EB是B∠的两倍，所以AE也是Ζ∠的两倍；因此以Β、Α、Ε为边的矩形等于ΑΒ、Ζ∠所围成矩形的两倍，即等于∠Γ上的正方形。 共同加上Ε∠上的正方形（它等于∠Β上的正方形）；因此，整个Α∠上的正方形等于 Γ∠、∠Β上的正方形[之和]。 所以，曲线ΖΓH构成了该轨迹。
Ἔστω δὴ πάλιν τὰ δύο δοθέντα σημεῖα τὰ Α, Β καὶ εὐθεῖά τε ἡ ∠Γ καὶ ὀρθή, λόγος δὲ ἔστω τοῦ ἀπὸ Α∠ πρὸς τὰ ἀπὸ B∠, ∠Γ ἐπὶ μὲν τῆς πρώτης πτώσεως ἐλάσσων πρὸς μείζονα, ἐπὶ δὲ τῆς δευτέρας μείζων πρὸς ἐλάσσονα.
再设两个给定点为A、B，直线∠Γ为垂线，设Α∠上的正方形对B∠、∠Γ上的正方形[之和]之比，在第一种情况下为较小量对较大量之比，在第二种情况下为较大量对较小量之比。
λέγω, ὅτι τὸ ἅπτεται κώνου τομῆς, ἐπὶ μὲν τῆς πρώτης πτώσεως ἐλλείψεως, ἐπὶ δὲ τῆς δευτέρας ὑπερβολῆς.
我说，Γ落在圆锥曲线截线上，在第一种情况下为椭圆，在第二种情况下为双曲线。
ἐπεὶ γὰρ λόγος ἐστὶν τοῦ ἀπὸ Α∠ πρὸς τὰ ἀπὸ Β∠, ∠Γ, ὁ αὐτὸς αὐτῷ γεγονέτω ὁ τοῦ ἀπὸ Β∠ πρὸς τὸ ἀπὸ ΔΕ·
因为，既然Α∠上的正方形对Β∠、∠Γ上的正方形[之和]有比，设Β∠上的正方形对ΔΕ上的正方形之比与之相同。
ἐπὶ μὲν οὖν τῆς πρώτης πτώσεως ἐλάσσων ἐστὶν ἡ Β∠ τῆς ∠Ε, ἐπὶ δὲ τῆς δευτέρας μείζων ἐστὶν ἡ Β τῆς ∠Ε. κείσθω οὖν τῇ Ε∠ ἴση ἡ ∠Ζ. ἐπεῖ λόγος ἐστὶν τοῦ ἀπὸ Α∠ πρὸς τὰ ἀπὸ Γ∠, ∠Β, καί ἐστιν αὐτῷ ὁ αὐτὸς ὁ τοῦ ἀπὸ Ε∠ πρὸς τὸ ἀπὸ ∠Β, καὶ λοιπὸς ἄρα τοῦ ὑπὸ ΖΑΕ πρὸς τὸ ἀπὸ ∠Γ λόγος ἐστὶν δοθείς.
那么，在第一种情况下，Β∠小于∠Ε，而在第二种情况下，Β大于∠Ε。 因此，设∠Ζ等于Ε∠。 因为存在 Α∠上的正方形对Γ∠、∠Β上的正方形[之和]之比，且这与Ε∠上的正方形对∠Β上的正方形之比相同，所以剩余的以Ζ、Α、Ε为边的矩形对∠Γ上的正方形之比也是给定的。
ἐπεὶ δὲ λόγος ἐστὶν τῆς Ε∠ πρὸς ∠Β καὶ τῆς Ζ∠ πρὸς ∠Β καὶ τῆς ΖΒ πρὸς Β∠, ὁ αὐτὸς αὐτῷ γεγονέτω ὁ τῆς ΑΒ πρὸς ΒΗ· καὶ ὅλης ἄρα τῆς ΑΖ πρὸς ∠Η λόγος ἐστὶν δοθείς.
又因为存在Ε∠对∠Β、Ζ∠对∠Β、以及ΖΒ对Β∠之比，设ΑΒ对ΒΗ之比与之相同；因此，整个ΑΖ 对∠Η之比也是给定的。
πάλιν, ἐπεὶ λόγος ἐστὶν τῆς Ε∠ πρὸς ∠Β δοθείς, καὶ τῆς ΕΒ ἄρα πρὸς Β∠ λόγος ἐστὶν δοθείς.
再次，因为Ε∠对∠Β之比是给定的，所以ΕΒ对Β∠之比也是给定的。
ὁ αὐτὸς αὐτῷ γεγονέτω ὁ τῆς ΑΒ πρὸς ΒΘ· λόγος ἄρα καὶ τῆς ΑΒ πρὸς ΒΘ ἐστιν δοθείς· δοθὲν ἄρα τὸ Θ. καὶ λοιπὸς τῆς ΑΕ πρὸς Θ∠ λόγος ἐστὶν δοθείς·
设ΑΒ对ΒΘ之比与之相同；因此，ΑΒ对ΒΘ之比也是给定的；所以Θ是给定的。
καὶ τοῦ ὑπὸ ΖΑΕ ἄρα πρὸς τὸ ὑπὸ Θ∠Η λόγος ἐστὶ δοθείς.
而剩余的ΑΕ对Θ∠ 之比也是给定的；因此，以Ζ、Α、Ε为边的矩形对以Θ、∠、Η为边的矩形之比也是给定的。
τοῦ δὲ ὑπὸ ΖΑΕ πρὸς τὸ ἀπὸ Γ∠ λόγος ἐστὶν δοθείς· καὶ τοῦ ὑπὸ Η∠Θ ἄρα πρὸς τὸ ἀπὸ ∠Γ λόγος ἐστὶν δοθείς.
而以Ζ、Α、Ε为边的矩形对Γ∠上的正方形之比是给定的；因此，以Η、∠、Θ为边的矩形对∠Γ上的正方形之比也是给定的。
καί ἐστιν δύο δοθέντα τὰ Θ, Η· ἐπὶ μὲν ἄρα τῆς πρώτης πτώσεως τὸ Γ ἅπτεται ἐλλείψψεως, ἐπὶ δὲ τῆς δευτέρας ὑπερβολῆς.
且Θ、Η是两个给定点；所以，在第一种情况下，Γ落在椭圆上，而在第二种情况下，落在双曲线上。
συντεθήσεται δὲ ὁ τόπος οὕτως· ἔστω τὰ μὲν δύο δοθέντα σημεῖα τὰ Α, Β, ὁ δὲ δοθεὶς λόγος ὁ τῆς ΡΤ πρὸς ΤΣ, ἐπὶ μὲν τῆς πρώτης πτώσεως ἐλάσσων πρὸς μείζονα, ἐπὶ δὲ τῆς δευτέρας μείζων πρὸς ἐλάσσονα, καὶ τῇ ΡΤ ἴση κείσθω ἡ ΤΥ.
该轨迹将如下予以作图（合成）：设两个给定点为A、B，给定的比为ΡΤ对跨ΤΣ之比，在第一种情况下为较小量对较大量，在第二种情况下为较大量对较小量，并设ΤΥ等于ΡΤ。