§8.2#1β΄.
β΄.
Ἐὰν ᾖ θέσει εὐθεῖα ἡ ΑΒ καὶ δοθὲν τὸ Γ ἐν τῷ αὐτῷ ἐπιπέδῳ, καὶ διαχθῇ ἡ ∠Γ, καὶ παρὰ θέσει ἀχθῇ ἡ ∠Ε, λόγος δὲ ᾖ τῆς Γ∠ πρὸς ∠Ε, τὸ ∠ ἅπτεται θέσει κωνικῆς τομῆς·
만약 AB가 위치가 주어진 직선이고, Γ가 같은 평면 위에 주어진 점이며, ∠Γ가 관통하여 그려지고, 위치가 주어진 직선에 평행하게 ∠Ε가 그려지며, Γ∠의 ∠Ε에 대한 비율이 존재한다면, ∠는 위치가 주어진 원추곡선 위에 있게 된다.
δείκνυται δέ, ὅτι γραμμῆς·
그리고 그것이 곡선이라는 것이 증명된다.
δειχθήσεται δὲ οὕτως προγραφέντος τόπου τοῦδε·
그러나 이 미리 기술된 궤적에 의해 다음과 같이 증명될 것이다.
Δύο δοθέντων τῶν Α, Β καὶ ὀρθῆς τῆς Γ∠ λόγος ἔστω τοῦ ἀπὸ Α∠ πρὸς τὰ ἀπὸ Γ∠, ∠Β. λέγω, ὅτι τὸ Γ ἄπτεται κώνου τομῆς, ἐάν τε ᾖ λόγος ἴσος πρὸς ἴσον ἢ μείζων πρὸς ἐλάσσονα ἢ ἐλάσσων πρὸς μείζονα.
두 점 A, B가 주고 Γ∠이 수직일 때, Α∠ 위의 정사각형의 Γ∠, ∠Β 위의 정사각형들의 합에 대한 비율이 존재한다고 하자. 나는 그 비율이 같은 것에 대한 같은 것의 비율이든, 더 큰 것에 대한 더 작은 것의 비율이든, 더 작은 것에 대한 더 큰 것의 비율이든 상관없이, Γ가 원추곡선 위에 있게 된다고 말한다.
ἔστω γὰρ πρότερον ὁ λόγος ἴσος πρὸς ἴσον.
왜냐하면 먼저 그 비율이 같은 것에 대한 같은 것의 비율이라고 하자.
καὶ ἐπεὶ ἴσον ἐστὶν τὸ ἀπὸ Α∠ τοῖς ἀπὸ Γ∠, ∠Β, κείσθω τῇ Β∠ ἴση ἡ ∠Ε ἴσον ἄρα ἐστὶ τὸ ὑπὸ ΒΑΕ τῷ ἀπὸ ∠Γ. τετμήσθω δίχα ἡ ΑΒ τῷ Ζ·
그리고 Α∠ 위의 정사각형이 Γ∠, ∠Β 위의 정사각형들의 합과 같으므로, Β∠과 같게 ∠Ε를 놓자. 그러므로 Β, Α, 가 이루는 직사각형은 ∠Γ 위의 정사각형과 같다. ΑΒ가 Ζ에서 이등분된다고 하자.
δοθὲν ἄρα τὸ Ζ. καὶ ἔσται διπλῆ ἡ ΑΕ τῆς ΖΔ·
그러므로 Ζ는 주어진 점이다. 그리고 ΑΕ는 Ζ∠의 두 배가 될 것이다.
ὥστε τὸ ὑπὸ ΒΑΕ τὸ δίς ἐστιν ὑπὸ τῶν ΑΒ, Ζ∠.
따라서 Β, Α, 가 이루는 직사각형은 ΑΒ, Ζ∠로 둘러싸인 직사각형의 두 배이다.
καί ἐστιν ἡ διπλῆ τῆς ΑΒ δοθεῖσα·
그리고 ΑΒ의 두 배는 주어져 있다.
τὸ ἄρα ὑπὸ δοθείσης καὶ τῆς Ζ∠ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ τῆς ∠Γ. τὸ Γ ἄρα ἅπτεται θέσει παραβολῆς ἐρχομένης διὰ τοῦ Ζ.
συντεθήσεται δὴ ὁ τόπος οὕτως·
그러므로 주어진 선분과 Ζ∠로 둘러싸인 직사각형은 ∠Γ 위의 정사각형과 같다. 따라서 Γ는 Ζ를 지나는 위치가 주어진 포물선 위에 있게 된다. 그리하여 그 궤적은 다음과 같이 구성될 것이다.
ἔστω τὰ δοθέντα Α, Β, ὁ δὲ λόγος ἔστω ἴσος πρὸς ἴσον, καὶ τετμήσθω ἡ ΑΒ δίχα τῷ Ζ, τῆς δὲ ΑΒ διπλῆ ἔστω ἡ Ρ, καὶ θέσει οὔσης εὐθείας τῆς ΖΒ πεπερασμένης κατὰ τὸ Ζ, τῆς δὲ P δεδομένης τῷ μεγέθει, γεγράφθω περὶ ἄξονα τὸν ΖΒ παραβολὴ ἡ ΗΖ, ὥστε, οἷον ἐὰν ἐπ᾿ αὐτῆς σημεῖον ληφθῇ ὡς τὸ Γ, κάθετος δὲ ἀχθῇ ἡ ΓΔ, ἴσον εἶναι τὸ ὑπὸ Ρ Ζ∠ τῷ ἀπὸ ∠.
주어진 점들을 A, B라 하고, 주어진 비율은 같은 것에 대한 같은 것의 비율이라 하자. 그리고 ΑΒ가 Ζ에서 이등분되고, P는 ΑΒ의 두 배라 하자. 또한 위치가 주어지고 Ζ에서 끝나는 직선인 ΖΒ가 있고 크기가 주어진 P가 있을 때, 축 ΖΒ에 관하여 포물선 ΗΖ를 그리되, 그 위에 Γ와 같은 임의의 점을 잡고 수선 ΓΔ를 내릴 때, P와 Ζ∠로 둘러싸인 직사각형이 ∠［Γ 위의 정사각형］과 같게 되도록 하라.
καὶ ἤχθω ὀρθὴ ΒΗ. λέγω, ὅτι τὸ ΓΗ. μέρος τῆς παραβολῆς ἐστιν.
그리고 수직인 ΒΗ를 그리자. 나는 ΓΗ가 포물선의 일부라고 말한다.
ἤχθω γὰρ κάθετος ἡ Γ∠, καὶ τῇ Β∠ ἴση κείσθω ἡ ∠Ε. ἐπεὶ οὖν διπλῆ ἐστιν ἡ μὲν ΑΒ τῆς ΒΖ, ἡ δὲ ΕΒ τῆς Β∠, διπλῆ ἄρα καὶ ἡ ΑΕ τῆς Ζ∠·
왜냐하면 수선 Γ∠을 내리고, Β∠과 같게 ∠Ε를 놓자. 그러므로 ΑΒ가 ΒΖ의 두 배이고, ΕΒ는 Β∠의 두 배이므로, ΑΕ 역시 Ζ∠의 두 배이다.
τὸ ἄρα ὑπὸ ΒΑΕ ἴσον ἐστὶν τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΒ, Ζ∠, τουτέστιν τῷ ἀπὸ ∠Γ. κοινὸν προσκείσθω τὸ ἀπὸ Ε∠ ἴσον ὄν τῷ ἀπὸ ∠Β·
따라서 Β, Α, 가 이루는 직사각형은 ΑΒ, Ζ∠로 둘러싸인 직사각형의 두 배와 같고, 즉 ∠Γ 위의 정사각형과 같다. 공통으로 ∠Β 위의 정사각형과 같은 Ε∠ 위의 정사각형을 더하자.
ὅλον ἄρα τὸ ἀπὸ Α∠ ἴσον ἐστὶν τοῖς ἀπὸ τῶν Γ∠, ∠Β. ἡ ΖΓΗ ἄρα γραμμὴ ποιεῖ τὸν τόπον.
그러므로 전체 Α∠ 위의 정사각형은 Γ∠, ∠Β 위의 정사각형들의 합과 같다. 따라서 ΖΓΗ라는 선이 그 궤적을 이룬다.
Ἔστω δὴ πάλιν τὰ δύο δοθέντα σημεῖα τὰ Α, Β καὶ εὐθεῖά τε ἡ ∠Γ καὶ ὀρθή, λόγος δὲ ἔστω τοῦ ἀπὸ Α∠ πρὸς τὰ ἀπὸ B∠, ∠Γ ἐπὶ μὲν τῆς πρώτης πτώσεως ἐλάσσων πρὸς μείζονα, ἐπὶ δὲ τῆς δευτέρας μείζων πρὸς ἐλάσσονα.
다시 두 주어진 점을 A, B라 하고, 직선 ∠Γ가 수직이며, Α∠ 위의 정사각형의 B∠, ∠Γ 위의 정사각형들의 합에 대한 비율이, 첫 번째 경우에는 더 작은 것에 대한 더 큰 것의 비율이고, 두 번째 경우에는 더 큰 것에 대한 더 작은 것의 비율이라고 하자.
λέγω, ὅτι τὸ ἅπτεται κώνου τομῆς, ἐπὶ μὲν τῆς πρώτης πτώσεως ἐλλείψεως, ἐπὶ δὲ τῆς δευτέρας ὑπερβολῆς.
나는 Γ가 원추곡선 위에 있게 되며, 첫 번째 경우에는 타원 위에, 두 번째 경우에는 쌍곡선 위에 있게 된다고 말한다.
ἐπεὶ γὰρ λόγος ἐστὶν τοῦ ἀπὸ Α∠ πρὸς τὰ ἀπὸ Β∠, ∠Γ, ὁ αὐτὸς αὐτῷ γεγονέτω ὁ τοῦ ἀπὸ Β∠ πρὸς τὸ ἀπὸ ΔΕ·
왜냐하면 Α∠ 위의 정사각형의 Β∠, ∠Γ 위의 정사각형들의 합에 대한 비율이 존재하므로, 그와 같은 비율을 Β∠ 위의 정사각형의 ΔΕ 위의 정사각형에 대한 비율로 만들자.
ἐπὶ μὲν οὖν τῆς πρώτης πτώσεως ἐλάσσων ἐστὶν ἡ Β∠ τῆς ∠Ε, ἐπὶ δὲ τῆς δευτέρας μείζων ἐστὶν ἡ Β τῆς ∠Ε. κείσθω οὖν τῇ Ε∠ ἴση ἡ ∠Ζ. ἐπεῖ λόγος ἐστὶν τοῦ ἀπὸ Α∠ πρὸς τὰ ἀπὸ Γ∠, ∠Β, καί ἐστιν αὐτῷ ὁ αὐτὸς ὁ τοῦ ἀπὸ Ε∠ πρὸς τὸ ἀπὸ ∠Β, καὶ λοιπὸς ἄρα τοῦ ὑπὸ ΖΑΕ πρὸς τὸ ἀπὸ ∠Γ λόγος ἐστὶν δοθείς.
첫 번째 경우에는 Β∠이 ∠Ε보다 더 작고, 두 번째 경우에는 Β가 ∠Ε보다 더 크다. 그러므로 Ε∠과 같게 ∠Ζ를 놓자. 비율이 존재하여 Α∠ 위의 정사각형의 Γ∠, ∠Β 위의 정사각형들의 합에 대한 비율과, 이것이 Ε∠ 위의 정사각형의 ∠Β 위의 정사각형에 대한 비율과 같으므로, 따라서 남은 Ζ, Α, 가 이루는 직사각형의 ∠Γ 위의 정사각형에 대한 비율 역시 주어져 있다.
ἐπεὶ δὲ λόγος ἐστὶν τῆς Ε∠ πρὸς ∠Β καὶ τῆς Ζ∠ πρὸς ∠Β καὶ τῆς ΖΒ πρὸς Β∠, ὁ αὐτὸς αὐτῷ γεγονέτω ὁ τῆς ΑΒ πρὸς ΒΗ·
그리고 Ε∠의 ∠Β에 대한 비율, Ζ∠의 ∠Β에 대한 비율, ΖΒ의 Β∠에 대한 비율이 존재하므로, ΑΒ의 ΒΗ에 대한 비율을 이와 같게 만들자.
καὶ ὅλης ἄρα τῆς ΑΖ πρὸς ∠Η λόγος ἐστὶν δοθείς.
그러므로 전체 ΑΖ 의 ∠Η에 대한 비율 역시 주어져 있다.
πάλιν, ἐπεὶ λόγος ἐστὶν τῆς Ε∠ πρὸς ∠Β δοθείς, καὶ τῆς ΕΒ ἄρα πρὸς Β∠ λόγος ἐστὶν δοθείς.
다시, Ε∠의 ∠Β에 대한 비율이 주어져 있으므로, ΕΒ의 Β∠에 대한 비율 역시 주어져 있다.
ὁ αὐτὸς αὐτῷ γεγονέτω ὁ τῆς ΑΒ πρὸς ΒΘ·
ΑΒ의 ΒΘ에 대한 비율을 이와 같게 만들자.
λόγος ἄρα καὶ τῆς ΑΒ πρὸς ΒΘ ἐστιν δοθείς·
그러므로 ΑΒ의 ΒΘ에 대한 비율 역시 주어져 있고, 따라서 Θ는 주어져 있다.
δοθὲν ἄρα τὸ Θ. καὶ λοιπὸς τῆς ΑΕ πρὸς Θ∠ λόγος ἐστὶν δοθείς·
그리고 남은 ΑΕ의 Θ∠에 대한 비율 역시 주어져 있다.
καὶ τοῦ ὑπὸ ΖΑΕ ἄρα πρὸς τὸ ὑπὸ Θ∠Η λόγος ἐστὶ δοθείς.
그러므로 Ζ, Α, 가 이루는 직사각형의 Θ, ∠, Η가 이루는 직사각형에 대한 비율 역시 주어져 있다.
τοῦ δὲ ὑπὸ ΖΑΕ πρὸς τὸ ἀπὸ Γ∠ λόγος ἐστὶν δοθείς· καὶ τοῦ ὑπὸ Η∠Θ ἄρα πρὸς τὸ ἀπὸ ∠Γ λόγος ἐστὶν δοθείς.
그리고 Ζ, Α, 가 이루는 직사각형의 Γ∠ 위의 정사각형에 대한 비율이 주어져 있으므로, 따라서 Η, ∠, Θ가 이루는 직사각형의 ∠Γ 위의 정사각형에 대한 비율 역시 주어져 있다.
καί ἐστιν δύο δοθέντα τὰ Θ, Η·
그리고 Θ, Η는 두 개의 주어진 점이다.
ἐπὶ μὲν ἄρα τῆς πρώτης πτώσεως τὸ Γ ἅπτεται ἐλλείψψεως, ἐπὶ δὲ τῆς δευτέρας ὑπερβολῆς.
그러므로 첫 번째 경우에는 Γ가 타원 위에 있게 되고, 두 번째 경우에는 쌍곡선 위에 있게 된다.
συντεθήσεται δὲ ὁ τόπος οὕτως·
그리고 그 궤적은 다음과 같이 구성될 것이다.
ἔστω τὰ μὲν δύο δοθέντα σημεῖα τὰ Α, Β, ὁ δὲ δοθεὶς λόγος ὁ τῆς ΡΤ πρὸς ΤΣ, ἐπὶ μὲν τῆς πρώτης πτώσεως ἐλάσσων πρὸς μείζονα, ἐπὶ δὲ τῆς δευτέρας μείζων πρὸς ἐλάσσονα, καὶ τῇ ΡΤ ἴση κείσθω ἡ ΤΥ.
두 주어진 점을 A, B라 하고, 주어진 비율을 ΡΤ의 ΤΣ에 대한 비율이라 하자. 첫 번째 경우에는 더 작은 것에 대한 더 큰 것의 비율이고, 두 번째 경우에는 더 큰 것에 대한 더 작은 것의 비율이며, ΡΤ와 같게 ΤΥ를 놓자.