§6.6ϛ΄. Πάλιν, ἐὰν καταγραφή, καὶ παράλληλος ἡ ∠Ζ τῇ ΒΓ, γίνεται ἴση ἡ ΑΒ τῇ ΒΓ ἔστω οὖν ἴση·
ϛ΄. 再び、もし図形があり、そして ∠Ζ が ΒΓ に平行ならば、ΑΒ は ΒΓ に等しくなる。 そこで、等しいとせよ。
ὅτι παράλληλος.
［そのとき、∠Ζ が ΒΓ に］平行であることを（示すべきである）。
ἔστιν δέ·
しかし、それは［次のようである］。
ἐὰν γὰρ τῇ ΕΒ προσθῶ τῇ Ηβ ἴσην τὴν ΒΘ καὶ ἐπιζεύξω τὰς ΑΘ, ΘΓ, γίνεται παραλληλόγραμμον τὸ ΑΘΓΗ, καὶ διὰ τοῦτό ἐστιν, ὡς ἡ Α∠ πρὸς τὴν ∠Ε, οὕτως ἡ Γ πρὸς τὴν ΖΕ·
なぜなら、もし ΕΒ に ΗΒ［テキストは Ηβ］に等しい ΒΘ を加え、ΑΘ, ΘΓ を結ぶならば、ΑΘΓΗ は平行四辺形になり、そしてこのことによって、Α∠ の ∠Ε に対する比は、Γ の ΖΕ に対する比に等しいからである。
ἑκάτερος γὰρ τῶν εἰρημένων ὁ αὐτός ἐστιν τῷ τῆς Θ πρὸς τὴν ΗΕ λόγῳ·
なぜなら、言及された比のそれぞれは、Θ の ΗΕ に対する比と同一だからである。
ὥστε παράλληλός ἐστιν ἡ ∠ τῇ ΑΓ.
したがって、∠は ΑΓ に平行である。
§6.7ζ΄. Ἔστω καταγραφή, καὶ τῶν ∠Β, ΒΓ μέση ἀνάλογον ἔστω ἡ ΒΑ ὅτι παράλληλός ἔστιν ἡ ΖΗ τῇ ΑΓ.
ἐκβεβλήσθω ἡ ΕΒ, καὶ διὰ τοῦ Α τῇ ∠Ζ εὐθείᾳ παράλληλος ἤχθω ἡ ΑΚ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΓΚ.
ἐπεὶ οὖν ἔστιν, ὡς ἡ Γ Β πρὸς τὴν ΒΑ, οὕτως ἡ ΑΒ πρὸς τὴν Β∠, ὡς δὲ ἡ ΑΒ πρὸς τὴν Β∠, οὕτως ἡ ΚΒ πρὸς τὴν ΒΘ, καὶ ὡς ἄρα ἡ ΓΒ πρὸς τὴν ΒΑ, οὕτως ἡ Κ Β πρὸς τὴν ΒΘ·
ζ΄. 図形があるとし、そして ∠Β, ΒΓ の比例中項を ΒΑ とせよ。 ΖΗ が ΑΓ に平行であることを（示すべきである）。 ΕΒ を延長せよ。 そして Α を通り直線 ∠Ζ に平行な直線 ΑΚ を引け。 そして ΓΚ を結べ。 さて、ΓΒ の ΒΑ に対する比が、ΑΒ の Β∠ に対する比に等しく、一方、ΑΒ の Β∠ に対する比は、ΚΒ の ΒΘ に対する比に等しいので、したがってまた、ΓΒ の ΒΑ に対する比は、ΚΒ の ΒΘ に対する比に等しい。
παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΘ τῇ ΚΓ ἔστιν οὖν πάλιν, ὡς ἡ Α πρὸς τὴν ΖΕ, οὕτως ἡ ΓΗ πρὸς τὴν ΗΕ·
したがって、ΑΘ は ΚΓ に平行である。 したがって再び、Α の ΖΕ に対する比は、ΓΗ の ΗΕ に対する比に等しい。
ἑκάτερος γὰρ τῶν εἰρημένων λόγος ὁ αὐτός ἐστιν τῷ τῆς ΚΘ πρὸς τὴν ΘΕ ὥστε παράλληλός ἐστιν ἡ ΖΗ τῇ Α∠.
なぜなら、言及された比のそれぞれは ΚΘ の ΘΕ に対する比と同一だからである。 したがって、ΖΗ は Α∠ に平行である。
§6.8η΄. Ἔστω βωμίσκος ὁ ΑΒΓ∠ΕΖΗ, καὶ ἔστω παράλληλος ἡ μὲν ∠Ε τῇ ΒΓ, ἡ δὲ ΕΗ τῇ ΒΖ ὅτι καὶ ἡ ∠Ζ τῇ ΓΗ παράλληλός ἐστιν.
η΄. 祭壇形 ΑΒΓ∠ΕΖΗ があるとし、そして ∠Ε は ΒΓ に平行、ΕΗ は ΒΖ に平行とせよ。 ∠Ζ もまた ΓΗ に平行であることを（示すべきである）。
ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΒΕ, ∠Γ, ΖΗ ἴσον ἄρα ἐστὶν τὸ ∠ΒΕ τρίγωνον τῷ ∠ΓΕ τριγώνῳ.
ΒΕ, ∠Γ, ΖΗ を結べ。 したがって、三角形 ∠ΒΕ は三角形 ∠ΓΕ に等しい。
κοινὸν προσκείσθω τὸ ∠ΑΕ τρίγωνον·
共通のものとして三角形 ∠ΑΕ を加えよ。
ὅλον ἄρα τὸ ΑΒΕ τρίγωνον ὅλῳ τῷ
Γ∠Α τριγώνῳ ἴσον ἐστίν.
したがって、全体としての三角形 ΑΒΕ は、全体としての三角形 Γ∠Α に等しい。
πάλιν, ἐπεὶ παράλληλός ἔστιν ἡ ΒΖ τῇ ΕΗ, ἴσον ἐστὶν τὸ ΒΖΕ τρίγωνον τῷ ΒΖΗ τριγώνῳ.
再び、ΒΖ は ΕΗ に平行なので、三角形 ΒΖΕ は三角形 ΒΖΗ に等しい。
κοινὸν ἀφῃρήσθω τὸ ΑΒ Ζ τρίγωνον·
共通のものとして三角形 ΑΒΖ を取り除け。
λοιπὸν ἄρα τὸ ΑΒΕ τρίγωνον λοιπῷ τῷ ΑΗΖ τριγώνῳ ἴσον ἐστίν.
したがって、残りの三角形 ΑΒΕ は、残りの三角形 ΑΗΖ に等しい。
ἀλλὰ τὸ ΑΒΕ τρίγωνον τῷ ΑΓ∠ τριγώνῳ ἐστὶν ἴσον·
しかし、三角形 ΑΒΕ は三角形 ΑΓ∠ に等しい。
καὶ τὸ ΑΓ∠ ἄρα τρίγωνον τῷ ΑΖΗ τριγώνῳ ἴσον ἐστίν.
したがって、三角形 ΑΓ∠ もまた三角形 ΑΖΗ に等しい。
κοινὸν προσκείσθω τὸ ΑΓΗ τρίγωνον·
共通のものとして三角形 ΑΓΗ を加えよ。
ὅλον ἄρα τὸ Γ∠Η τρίγωνον ὅλῳ τῷ ΓΖΗ τριγώνῳ ἴσον ἐστίν.
したがって、全体としての三角形 Γ∠Η は、全体としての三角形 ΓΖΗ に等しい。
καί ἐστιν ἐπὶ τῆς αὐτῆς βάσεως τῆς ΓΗ·
そして、それらは同一の底辺 ΓΗ の上にある。
παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΗ τῇ ∠Ζ.
したがって、ΓΗ は ∠Ζ に平行である。
§6.9θ΄. Ἔστω τρίγωνον τὸ ΑΒΓ καὶ ἐν αὐτῷ διήχθωσαν αἱ Α∠, ΑΕ, καὶ τῇ ΒΓ παράλληλος ἤχθω ἡ ΖΗ, καὶ κεκλάσθω ἡ ΖΘΗ, ἔστω δέ, ὡς ἡ ΒΘ πρὸς τὴν ΘΓ, οὕτως ἡ ∠Θ πρὸς τὴν ΘΕ ὅτι παράλληλός ἔστιν ἡ ΚΛ τῇ ΒΓ.
ἐπεὶ γάρ ἐστιν, ὡς ἡ ΒΘ πρὸς τὴν ΘΓ, οὕτως ἡ ∠Θ πρὸς τὴν ΘΕ, λοιπὴ ἄρα ἡ Β∠ πρὸς λοιπὴν τὴν ΓΕ ἐστιν, ὡς ἡ ∠Θ πρὸς τὴν ΘΕ. ὡς δὲ ἡ Β∠ πρὸς τὴν ΕΓ, οὕτως ἐστὶν ἡ ΖΜ πρὸς Ν καὶ ὡς ἄρα ἡ ΖΜ πρὸς ΝΗ, οὕτως ἐστὶν ἡ ∠Θ πρὸς τὴν ΘΕ. ἐναλλάξ ἔστιν, ὡς ἡ ΖΜ πρὸς τὴν ∠Θ, οὕτως ἡ ΝΗ πρὸς τὴν ΘΕ. ἀλλʼ ὡς μὲν ἡ ΖΜ πρὸς τὴν ∠Θ, οὕτως ἐστὶν ἐν παραλλήλῳ ἡ ΖΚ πρὸς τὴν ΚΘ, ὡς δὲ ἡ ΗΝ πρὸς τὴν ΘΕ, οὕτως ἐστὶν ἡ ΗΛ πρὸς τὴν ∠Θ καὶ ὡς ἄρα ἡ ΖΚ πρὸς τὴν Κ Θ, οὕτως ἐστὶν ἡ ΗΛ πρὸς τὴν ∠Θ. παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΚΛ τῇ ΗΖ·
θ΄. 三角形 ΑΒΓ があるとし、その中に Α∠, ΑΕ が引かれているとし、そして ΒΓ に平行な直線 ΖΗ が引かれているとし、そして屈折した線 ΖΘΗ が描かれているとし、そして ΒΘ の ΘΓ に対する比が、∠Θ の ΘΕ に対する比に等しいとせよ。 ΚΛ が ΒΓ に平行であることを（示すべきである）。 なぜなら、ΒΘ の ΘΓ に対する比は、∠Θ の ΘΕ に対する比に等しいので、したがって残りの Β∠ の残りの ΓΕ に対する比は、 ∠Θ の ΘΕ に対する比に等しい。 一方、Β∠ の ΕΓ に対する比は、ΖΜ の Ν に対する比に等しい。 したがってまた、ΖΜ の ΝΗ に対する比は、∠Θ の ΘΕ に対する比に等しい。 交互にすると、ΖΜ の ∠Θ に対する比は、ΝΗ の ΘΕ に対する比に等しい。 しかし、平行線の間において、Ζ見の ∠Θ に対する比は ΖΚ の ΚΘ に対する比に等しく、一方、 ΗΝ の ΘΕ に対する比は ΗΛ の ∠Θ に対する比に等しい。 したがってまた、ΖΚ の ΚΘ に対する比は、ΗΛ の ∠Θ に対する比に等しい。 したがって、ΚΛ は ΗΖ に平行である。
ὥστε καὶ τῇ ΓΒ.
したがってまた ΓΒ に平行である。