§6.6ϛ΄.
6.
Πάλιν, ἐὰν καταγραφή, καὶ παράλληλος ἡ ∠Ζ τῇ ΒΓ, γίνεται ἴση ἡ ΑΒ τῇ ΒΓ ἔστω οὖν ἴση·
다시, 만약 도형이 있고, ∠Ζ가 ΒΓ에 평행하다면, ΑΒ는 ΒΓ와 같게 된다. 그러므로 같다고 하자.
ὅτι παράλληλος.
[그때, ∠Ζ가 ΒΓ에] 평행함을 (보여야 한다).
ἔστιν δέ·
그것은 다음과 같다.
ἐὰν γὰρ τῇ ΕΒ προσθῶ τῇ Ηβ ἴσην τὴν ΒΘ καὶ ἐπιζεύξω τὰς ΑΘ, ΘΓ, γίνεται παραλληλόγραμμον τὸ ΑΘΓΗ, καὶ διὰ τοῦτό ἐστιν, ὡς ἡ Α∠ πρὸς τὴν ∠Ε, οὕτως ἡ Γ πρὸς τὴν ΖΕ·
왜냐하면 만약 ΕΒ에 ΗΒ[텍스트는 Ηβ]와 같은 ΒΘ를 더하고 ΑΘ, ΘΓ를 연결하면 ΑΘΓΗ는 평행사변형이 되며, 이로 인해 Α∠의 ∠Ε에 대한 비는 Γ의 ΖΕ에 대한 비와 같기 때문이다.
ἑκάτερος γὰρ τῶν εἰρημένων ὁ αὐτός ἐστιν τῷ τῆς Θ πρὸς τὴν ΗΕ λόγῳ·
왜냐하면 언급된 비의 각각은 Θ의 ΗΕ에 대한 비와 같기 때문이다.
ὥστε παράλληλός ἐστιν ἡ ∠ τῇ ΑΓ.
그러므로 ∠는 ΑΓ에 평행하다.
§6.7ζ΄.
7.
Ἔστω καταγραφή, καὶ τῶν ∠Β, ΒΓ μέση ἀνάλογον ἔστω ἡ ΒΑ ὅτι παράλληλός ἔστιν ἡ ΖΗ τῇ ΑΓ.
ἐκβεβλήσθω ἡ ΕΒ, καὶ διὰ τοῦ Α τῇ ∠Ζ εὐθείᾳ παράλληλος ἤχθω ἡ ΑΚ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΓΚ.
ἐπεὶ οὖν ἔστιν, ὡς ἡ Γ Β πρὸς τὴν ΒΑ, οὕτως ἡ ΑΒ πρὸς τὴν Β∠, ὡς δὲ ἡ ΑΒ πρὸς τὴν Β∠, οὕτως ἡ ΚΒ πρὸς τὴν ΒΘ, καὶ ὡς ἄρα ἡ ΓΒ πρὸς τὴν ΒΑ, οὕτως ἡ Κ Β πρὸς τὴν ΒΘ·
도형이 있다고 하고, ∠Β, ΒΓ의 비례중항을 ΒΑ라 하자. ΖΗ가 ΑΓ에 평행함을 (보여야 한다). ΕΒ를 연장하고, Α를 지나며 직선 ∠Ζ에 평행한 직선 ΑΚ를 그어라. 그리고 ΓΚ를 연결하라. 이제 ΓΒ의 ΒΑ에 대한 비가 ΑΒ의 Β∠에 대한 비와 같고, ΑΒ의 Β∠에 대한 비는 ΚΒ의 ΒΘ에 대한 비와 같으므로, 그러므로 ΓΒ의 ΒΑ에 대한 비는 ΚΒ의 ΒΘ에 대한 비와 같다.
παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΘ τῇ ΚΓ ἔστιν οὖν πάλιν, ὡς ἡ Α πρὸς τὴν ΖΕ, οὕτως ἡ ΓΗ πρὸς τὴν ΗΕ·
그러므로 ΑΘ는 ΚΓ에 평행하다. 그러므로 다시, Α의 ΖΕ에 대한 비는 ΓΗ의 ΗΕ에 대한 비와 같다.
ἑκάτερος γὰρ τῶν εἰρημένων λόγος ὁ αὐτός ἐστιν τῷ τῆς ΚΘ πρὸς τὴν ΘΕ ὥστε παράλληλός ἐστιν ἡ ΖΗ τῇ Α∠.
왜냐하면 언급된 비의 각각은 ΚΘ의 ΘΕ에 대한 비와 같기 때문이다. 그러므로 ΖΗ는 Α∠에 평행하다.
§6.8η΄.
8.
Ἔστω βωμίσκος ὁ ΑΒΓ∠ΕΖΗ, καὶ ἔστω παράλληλος ἡ μὲν ∠Ε τῇ ΒΓ, ἡ δὲ ΕΗ τῇ ΒΖ ὅτι καὶ ἡ ∠Ζ τῇ ΓΗ παράλληλός ἐστιν.
제단형 ΑΒΓ∠ΕΖΗ가 있다고 하고, ∠Ε는 ΒΓ에 평행하고, ΕΗ는 ΒΖ에 평행하다고 하자. ∠Ζ도 ΓΗ에 평행함을 (보여야 한다).
ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΒΕ, ∠Γ, ΖΗ ἴσον ἄρα ἐστὶν τὸ ∠ΒΕ τρίγωνον τῷ ∠ΓΕ τριγώνῳ.
ΒΕ, ∠Γ, ΖΗ를 연결하라. 그러므로 삼각형 ∠ΒΕ는 삼각형 ∠ΓΕ와 같다.
κοινὸν προσκείσθω τὸ ∠ΑΕ τρίγωνον·
공통인 삼각형 ∠ΑΕ를 더하라.
ὅλον ἄρα τὸ ΑΒΕ τρίγωνον ὅλῳ τῷ
Γ∠Α τριγώνῳ ἴσον ἐστίν.
그러므로 전체 삼각형 ΑΒΕ는 전체 삼각형 Γ∠Α와 같다.
πάλιν, ἐπεὶ παράλληλός ἔστιν ἡ ΒΖ τῇ ΕΗ, ἴσον ἐστὶν τὸ ΒΖΕ τρίγωνον τῷ ΒΖΗ τριγώνῳ.
다시, ΒΖ가 ΕΗ에 평행하므로, 삼각형 ΒΖΕ는 삼각형 ΒΖΗ와 같다.
κοινὸν ἀφῃρήσθω τὸ ΑΒ Ζ τρίγωνον·
공통인 삼각형 ΑΒΖ를 빼라.
λοιπὸν ἄρα τὸ ΑΒΕ τρίγωνον λοιπῷ τῷ ΑΗΖ τριγώνῳ ἴσον ἐστίν.
그러므로 남은 삼각형 ΑΒΕ는 남은 삼각형 ΑΗΖ와 같다.
ἀλλὰ τὸ ΑΒΕ τρίγωνον τῷ ΑΓ∠ τριγώνῳ ἐστὶν ἴσον·
그런데 삼각형 ΑΒΕ는 삼각형 ΑΓ∠와 같다.
καὶ τὸ ΑΓ∠ ἄρα τρίγωνον τῷ ΑΖΗ τριγώνῳ ἴσον ἐστίν.
그러므로 삼각형 ΑΓ∠도 삼각형 ΑΖΗ와 같다.
κοινὸν προσκείσθω τὸ ΑΓΗ τρίγωνον·
공통인 삼각형 ΑΓΗ를 더하라.
ὅλον ἄρα τὸ Γ∠Η τρίγωνον ὅλῳ τῷ ΓΖΗ τριγώνῳ ἴσον ἐστίν.
그러므로 전체 삼각형 Γ∠Η는 전체 삼각형 ΓΖΗ와 같다.
καί ἐστιν ἐπὶ τῆς αὐτῆς βάσεως τῆς ΓΗ·
그리고 이것들은 같은 밑변 ΓΗ 위에 있다.
παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΗ τῇ ∠Ζ.
그러므로 ΓΗ는 ∠Ζ에 평행하다.
§6.9θ΄.
9.
Ἔστω τρίγωνον τὸ ΑΒΓ καὶ ἐν αὐτῷ διήχθωσαν αἱ Α∠, ΑΕ, καὶ τῇ ΒΓ παράλληλος ἤχθω ἡ ΖΗ, καὶ κεκλάσθω ἡ ΖΘΗ, ἔστω δέ, ὡς ἡ ΒΘ πρὸς τὴν ΘΓ, οὕτως ἡ ∠Θ πρὸς τὴν ΘΕ ὅτι παράλληλός ἔστιν ἡ ΚΛ τῇ ΒΓ.
ἐπεὶ γάρ ἐστιν, ὡς ἡ ΒΘ πρὸς τὴν ΘΓ, οὕτως ἡ ∠Θ πρὸς τὴν ΘΕ, λοιπὴ ἄρα ἡ Β∠ πρὸς λοιπὴν τὴν ΓΕ ἐστιν, ὡς ἡ ∠Θ πρὸς τὴν ΘΕ. ὡς δὲ ἡ Β∠ πρὸς τὴν ΕΓ, οὕτως ἐστὶν ἡ ΖΜ πρὸς Ν καὶ ὡς ἄρα ἡ ΖΜ πρὸς ΝΗ, οὕτως ἐστὶν ἡ ∠Θ πρὸς τὴν ΘΕ. ἐναλλάξ ἔστιν, ὡς ἡ ΖΜ πρὸς τὴν ∠Θ, οὕτως ἡ ΝΗ πρὸς τὴν ΘΕ. ἀλλʼ ὡς μὲν ἡ ΖΜ πρὸς τὴν ∠Θ, οὕτως ἐστὶν ἐν παραλλήλῳ ἡ ΖΚ πρὸς τὴν ΚΘ, ὡς δὲ ἡ ΗΝ πρὸς τὴν ΘΕ, οὕτως ἐστὶν ἡ ΗΛ πρὸς τὴν ∠Θ καὶ ὡς ἄρα ἡ ΖΚ πρὸς τὴν Κ Θ, οὕτως ἐστὶν ἡ ΗΛ πρὸς τὴν ∠Θ. παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΚΛ τῇ ΗΖ·
삼각형 ΑΒΓ가 있다고 하고, 그 안에 Α∠, ΑΕ를 긋고, ΒΓ에 평행하게 ΖΗ를 그어라. 그리고 꺾인 선 ΖΘΗ를 그리고, ΒΘ의 ΘΓ에 대한 비가 ∠Θ의 ΘΕ에 대한 비와 같다고 하자. ΚΛ이 ΒΓ에 평행함을 (보여야 한다). 왜냐하면 ΒΘ의 ΘΓ에 대한 비가 ∠Θ의 ΘΕ에 대한 비와 같으므로, 남음 Β∠의 남은 ΓΕ에 대한 비는 ∠Θ의 ΘΕ에 대한 비와 같다. 그리고 Β∠의 ΕΓ에 대한 비는 ΖΜ의 Ν에 대한 비와 같다. 그러므로 ΖΜ의 ΝΗ에 대한 비는 ∠Θ의 ΘΕ에 대한 비와 같다. 교대비에 의해, ΖΜ의 ∠Θ에 대한 비는 ΝΗ의 ΘΕ에 대한 비와 같다. 그런데 평행선 사이에서, ΖΜ의 ∠Θ에 대한 비는 ΖΚ의 ΚΘ에 대한 비와 같고, ΗΝ의 ΘΕ에 대한 비는 ΗΛ의 ∠Θ에 대한 비와 같다. 그러므로 ΖΚ의 ΚΘ에 대한 비는 ΗΛ의 ∠Θ에 대한 비와 같다. 그러므로 ΚΛ은 ΗΖ에 평행하다.
ὥστε καὶ τῇ ΓΒ.
그러므로 또한 ΓΒ에 평행하다.