§6.10ι΄. Εἰς δύο εὐθείας τὰς ΒΑΕ, ∠ΑΗ ἀπὸ τοῦ Θ σημείου δύο διήχθωσαν εὐθεῖαι αἱ ∠Θ, ΘΕ, ἔστω δέ, ὡς τὸ ὑπὸ τῶν ∠Θ, ΒΓ πρὸς τὸ ὑπὸ ∠Γ, ΒΘ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΘΗ, ΖΕ πρὸς τὸ ὑπὸ ΘΕ, ΖΗ ὅτι εὐθεῖά ἔστιν ἡ διὰ τῶν Α, Ζ.
ἤχθω διὰ τοῦ Θ τῇ ΓΑ παράλληλος ἡ ΚΛ καὶ συμπιπτέτω ταῖς ΑΒ, Α∠ κατὰ τὰ Κ, Λ σημεῖα, καὶ διὰ τοῦ Λ τῇ Α∠ παράλληλος ἤχθω ἡ ΛΜ, καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ ΕΘ ἐπὶ τὸ Μ, διὰ δὲ τοῦ Κ τῇ ΑΒ παράλληλος ἤχθω ἡ ΚΝ, καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ ∠Θ ἐπὶ τὸ Ν.
ἐπεὶ οὖν διὰ τὰς παραλλήλους γίνεται, ὡς ἡ ∠Θ πρὸς τὴν ΘΝ, οὕτως ἡ ∠Γ πρὸς τὴν ΓΒ, τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ∠Θ, ΓΒ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ τῶν ∠Γ, ΘΝ. ἄλλο δέ τι τυχὸν τὸ ὑπὸ ∠Γ ΒΘ·
ι΄. 2つの直線 ΒΑΕ, ∠ΑΗ に対し、点 Θ から2つの直線 ∠Θ, ΘΕ が引かれているとし、そして、∠Θ と ΒΓ の包む長方形の、∠Γ と ΒΘ の包む長方形に対する比が、ΘΗ と ΖΕ の包む長方形の、ΘΕ と ΖΗ の包む長方形に対する比に等しいとせよ。 Α, Ζ を通る線は直線であることを（示すべきである）。 Θ を通り ΓΑ に平行な直線 ΚΛ を引き、ΑΒ, Α∠ と点 Κ, Λ において交わらせよ。 そして Λ を通り Α∠ に平行な直線 ΛΜ を引き、ΕΘ を Μ まで延長せよ。 そして Κ を通り ΑΒ に平行な直線 ΚΝ を引き、∠Θ を Ν まで延長せよ。 さて、平行線によって、∠Θ の ΘΝ に対する比は、∠Γ の ΓΒ に対する比に等しくなるので、したがって、∠Θ と ΓΒ の包む長方形は、∠Γ と ΘΝ の包む長方形に等しい。 一方、 ∠Γ と ΒΘ の包む長方形は、他の任意の量である。
ἔστιν ἄρα, ὡς τὸ ὑπὸ ∠Θ, ΒΓ πρὸς τὸ ὑπὸ ∠Γ ΒΘ, οὕτως τὸ ὑπὸ Γ∠, ΘΝ πρὸς τὸ ὑπὸ ∠Γ ΒΘ, τουτέστιν ἡ ΘΝ πρὸς ΘΒ. ἀλλ᾿ ὡς μὲν τὸ ὑπὸ Θ∠, ΒΓ πρὸς τὸ ὑπὸ ∠Γ. ΒΘ, ὑπόκειται τὸ ὑπὸ ΘΗ, ΖΕ πρὸς τὸ ὑπὸ ΘΕ, ΖΗ, ὡς δὲ ἡ ΘΝ πρὸς ΘΒ, οὕτως ἡ ΚΘ πρὸς ΘΛ, τουτέστιν ἐν παραλλήλῳ ἡ ΗΘ πρὸς τὴν ΘΜ, τουτέστιν τὸ ὑπὸ ΘΗ, ΖΕ πρὸς τὸ ὑπὸ ΘΜ, ΖΕ καὶ ὡς ἄρα τὸ ὑπὸ ΘΗ, ΖΕ πρὸς τὸ ὑπὸ ΘΕ, ΖΗ, οὕτως ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΘΗ, ΖΕ πρὸς τὸ ὑπὸ ΘΜ, ΖΕ ἴσον ἄρα ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΘΕ, ΖΗ τῷ ὑπὸ ΘΜ, ΖΕ. καὶ ἐπεί ἐστιν, ὡς ἡ ΘΜ πρὸς τὴν ΘΕ, οὕτως ἡ ΗΖ πρὸς τὴν ΖΕ, συνθέντι καὶ ἐναλλάξ ἐστιν, ὡς ἡ ΜΕ πρὸς τὴν ΕΗ, οὕτως ἡ ΘΕ πρὸς τὴν ΕΖ. ἀλλʼ ὡς ἡ ΜΕ πρὸς τὴν ΕΗ, οὕτως ἐστὶν ἡ ΛΕ πρὸς τὴν ΕΑ·
したがって、∠Θ と ΒΓ の包む長方形の、∠Γ と ΒΘ の包む長方形に対する比は、Γ∠ と ΘΝ の包む長方形の、∠Γ と ΒΘ の包む長方形に対する比に等しい。 すなわち、ΘΝ の ΘΒ に対する比である。 しかし、一方では、Θ∠ と ΒΓ の包む長方形の、∠Γ と ΒΘ の包む長方形に対する比は、仮定により、 ΘΗ と ΖΕ の包む長方形の、ΘΕ と ΖΗ の包む長方形に対する比に等しく、他方では、ΘΝ の ΘΒ に対する比は、ΚΘ の ΘΛ に対する比に等しく、すなわち、平行線の間において、ΗΘ の ΘΜ に対する比に等しく、すなわち、ΘΗ と ΖΕ の包む長方形の、ΘΜ と ΖΕ の包む長方形に対する比に等しい。 したがってまた、ΘΗ と ΖΕ の包む長方形の、ΘΕ と ΖΗ の包む長方形に対する比は、ΘΗ と ΖΕ の包む長方形の、 ΘΜ と ΖΕ の包む長方形に対する比に等しい。 したがって、ΘΕ と ΖΗ の包む長方形は、ΘΜ と ΖΕ の包む長方形に等しい。 そして、ΘΜ の ΘΕ に対する比は、ΗΖ の ΖΕ に対する比に等しいので、合比および更比を行うと、ΜΕ の ΕΗ に対する比は、ΘΕ の ΕΖ に対する比に等しい。 しかし、ΜΕ の ΕΗ に対する比は、ΛΕ の ΕΑ に対する比に等しい。
καὶ ὡς ἄρα ἡ ΛΕ πρὸς τὴν ΕΑ, οὕτως ἡ ΘΕ πρὸς τὴν ΕΖ·
したがってまた、ΛΕ の ΕΑ に対する比は、ΘΕ の ΕΖ に対する比に等しい。
παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΖ τῇ ΚΛ. ἀλλὰ καὶ ἡ ΓΑ εὐθεῖα ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΑΖ·
したがって、ΑΖ は ΚΛ に平行である。 しかし、ΚΛ は ΓΑ にも平行である。 したがって、ΓΑΖ は直線である。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これこそ示すべきことであった。
τὰ δὲ πτωτικὰ αὐτοῦ ὁμοίως τοῖς προγεγραμμένοις, ὧν ἐστιν ἀναστρόφιον.
そして、その種々の事例は前に書かれたものと同様であり、それらの逆である。
§6.11ια΄. Τρίγωνον τὸ ΑΒΓ. καὶ τῇ ΒΓ παράλληλος ἡ Α∠, καὶ διαχθεῖσα ἡ ∠Ε τῇ ΒΓ συμπιπτέτω κατὰ τὸ Ε σημεῖον·
ια΄. 三角形 ΑΒΓ があるとせよ。 そして、ΒΓ に平行な直線 Α∠ が引かれ、そして引かれた直線 ∠Ε が ΒΓ と点 Ε において交わるとせよ。
ὅτι ἐστίν, ὡς τὸ ὑπὸ ∠Ε, ΖΗ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΖ, Η∠, οὕτως ἡ ΓΒ πρὸς τὴν ΒΕ.
ἤχθω διὰ τοῦ Γ τῇ ∠Ε παράλληλος ἡ ΓΘ, καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ ΑΒ ἐπὶ τὸ Θ.
ἐπεὶ οὖν ἐστιν, ὡς ἡ Γ πρὸς τὴν ΑΗ, οὕτως ἡ ΓΘ πρὸς τὴν ΖΗ, ὡς δὲ ἠ Γ πρὸς τὴν ΑΗ, οὕτως ἐστὶν ἡ Ε∠ πρὸς τὴν ∠Η. καὶ ὡς ἄρα ἡ Ε∠ πρὸς τὴν ∠Η, οὕτως ἐστὶν ἡ ΘΓ πρὸς τὴν ΖΗ τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΓΘ, ∠Η ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ τῶν Ε∠, ΖΗ. ἄλλο δέ τι τυχὸν τὸ ὑπὸ ΕΖ, Η∠ ἔστιν ἄρα, ὡς τὸ ὑπὸ ∠Ε, ΖΗ πρὸς τὸ ὑπὸ ∠Η, ΕΖ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΓΘ, ∠Η πρὸς τὸ ὑπὸ ∠Η, ΕΖ, τουτέστιν ἡ ΓΘ πρὸς ΕΖ, τσυτέστιν ἡ ΓΒ πρὸς ΒΕ. ἔστιν οὖν, ὡς τὸ ὑπὸ ∠Ε, ΖΗ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΖ, Η∠, οὕτως ἡ ΓΒ πρὸς ΒΕ.
τὰ δʼ αὐτά, κἂν ἐπὶ τὰ ἕτερα μέρη ἀχθῇ ἡ Α∠ παράλληλος, καὶ ἀπὸ τοῦ ∠ ἐκτὸς ὡς ἐπὶ τὸ Γ διαχθῇ ἡ εὐθεῖα.
∠Ε と ΖΗ の包む長方形の、ΕΖ と Η∠ の包む長方形に対する比は、ΓΒ の ΒΕ に対する比に等しいことを（示すべきである）。 Γ を通り ∠Ε に平行な直線 ΓΘ を引き、ΑΒ を Θ まで延長せよ。 さて、Γ の ΑΗ に対する比は、ΓΘ の ΖΗ に対する比に等しく、一方、Γ の ΑΗ に対する比は、 Ε∠ の ∠Η に対する比に等しいので、したがってまた、Ε∠ の ∠Η に対する比は、ΘΓ の ΖΗ に対する比に等しい。 したがって、ΓΘ と ∠Η の包む長方形は、Ε∠ と ΖΗ の包む長方形に等しい。 一方、ΕΖ と Η∠ の包む長方形は、別の任意のものである。 したがって、∠Ε と ΖΗ の包む長方形の、∠Η と ΕΖ の包む長方形に対する比は、ΓΘ と ∠Η の包む長方形の、 ∠Η と ΕΖ の包む長方形に対する比に等しい。 すなわち、ΓΘ の ΕΖ に対する比であり、すなわち、ΓΒ の ΒΕ に対する比である。 したがって、∠Ε と ΖΗ の包む長方形の、ΕΖ と Η∠ の包む長方形に対する比は、ΓΒ の ΒΕ に対する比に等しい。 そして、たとえ Α∠ が他方の側に平行に引かれ、かつ点 ∠ から外側に、Γ の方へと直線が引かれても、同様のことが成り立つ。