§6.4δ΄. Καταγραφὴ ἡ ΑΒΓ∠ΕΖΗΘΚΛ, ἔστω δέ, ὡς τὸ ὑπὸ ΑΖ, ΒΓ πρὸς τὸ ὑπὸ ΑΒ, ΓΖ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΑΖ, ∠Ε πρὸς τὸ ὑπὸ Α∠, ΕΖ·
δ΄. 図形を ΑΒΓ∠ΕΖΗΘΚΛ とせよ。 そして、 ΑΖ, ΒΓ の積の ΑΒ, ΓΖ の積に対する比が、ΑΖ, ∠Ε の積の Α∠, ΕΖ の積に対する比に等しいとせよ。
ὅτι εὐθεῖά ἐστιν ἡ διὰ τῶν Θ, Η, Ζ σημείων.
点 Θ, Η, Ζ を通るものが直線であることを（示すべきである）。
ἐπεί ἐστιν, ὡς τὸ ὑπὸ ΑΖ, ΒΓ πρὸς τὸ ὑπὸ ΑΒ, ΓΖ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΑΖ, ∠Ε πρὸς τὸ ὑπὸ Α∠, ΕΖ, ἐναλλάξ ἐστιν, ὡς τὸ ὑπὸ ΑΖ, ΒΓ πρὸς τὸ ὑπὸ ΑΖ, ∠Ε, τουτέστιν ὡς ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ∠Ε, οὕτως τὸ ὑπὸ ΑΒ, ΓΖ πρὸς τὸ ὑπὸ Α∠, ΕΖ. ἀλλ ὁ μὲν τῆς ΒΓ πρὸς τὴν ∠Ε συνῆπται λόγος, ἐὰν διὰ τοῦ Κ τῇ ΑΖ παράλληλος ἀχθῇ ἡ ΚΜ, ἔκ τε τοῦ τῆς ΒΓ πρὸς ΚΝ καὶ τῆς ΚΝ πρὸς ΚΜ καὶ ἔτι τοῦ τῆς ΚΜ πρὸς ∠Ε, ὁ δὲ τοῦ ὑπὸ ΑΒ, ΓΖ πρὸς τὸ ὑπὸ Α∠, ΕΖ συνῆπται ἔκ τε τοῦ τῆς ΒΑ πρὸς Α∠ καὶ τοῦ τῆς ΓΖ πρὸς τὴν ΖΕ. κοινὸς ἐκκεκρούσθω ὁ τῆς ΒΑ πρὸς Α∠ ὁ αὐτὸς ὢν τῷ τῆς ΝΚ πρὸς ΚΜ·
ΑΖ, ΒΓ の積の ΑΒ, ΓΖ の積に対する比が、ΑΖ, ∠Ε の積の Α∠, ΕΖ の積に対する比に等しいので、交互にすると、ΑΖ, ΒΓ の積の ΑΖ, ∠Ε の積に対する比、すなわち ΒΓ の ∠Ε に対する比は、ΑΒ, ΓΖ の積の Α∠, ΕΖ の積に対する比に等しい。 しかし、もし Κ を通り ΑΖ に平行な直線 ΚΜ が引かれるならば、ΒΓ の ∠Ε に対する比は、ΒΓ の ΚΝ に対する比と ΚΝ の ΚΜ に対する比、さらに ΚΜ の ∠Ε に対する比から合成されている。 一方、ΑΒ, ΓΖ の積の Α∠, ΕΖ の積に対する比は、ΒΑ の Α∠ に対する比と ΓΖ の ΖΕ に対する比から合成されている。 共通のものとして、ΝΚ の ΚΜ に対する比と同一である ΒΑ の Α∠ に対する比を取り除け。
λοιπὸν ἄρα ὁ τῆς ΓΖ πρὸς τὴν ΖΕ συνῆπται ἔκ τε τοῦ τῆς ΒΓ πρὸς τὴν ΚΝ, τουτέστιν τοῦ τῆς ΘΓ πρὸς τὴν ΚΘ, καὶ τοῦ τῆς ΚΜ πρὸς τὴν ∠Ε, τουτέστιν τοῦ τῆς ΚΗ πρὸς τὴν ΗΕ. εὐθεῖα ἄρα ἡ διὰ τῶν Θ, Η, Ζ.
ἐὰν γὰρ διὰ τοῦ Ε τῇ Θ παράλληλον ἀγάγω τὴν ΕΞ, καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΘΗ ἐκβληθῇ ἐπὶ τὸ Ξ, ὁ μὲν τῆς ΚΗ πρὸς τὴν ΗΕ λόγος ὁ αὐτός ἐστιν τῷ τῆς ΚΘ πρὸς τὴν ΕΞ, ὁ δὲ συνημμένος ἔκ τε τοῦ τῆς Γ Θ πρὸς τὴν ΘΚ καὶ τοῦ τῆς ΘΚ πρὸς τὴν ΕΞ μεταβαλλόμενος εἰς τὸν τῆς ΘΓ πρὸς ΕΞ λόγον, καὶ ὁ τῆς Γ Ζ πρὸς ΖΕ λόγος ὁ αὐτὸς τῷ τῆς ΓΘ πρὸς τὴν ΕΞ παραλλήλου οὔσης τῆς ΓΘ τῇ ΕΞ εὐθεῖα ἄρα ἐστὶν ἡ διὰ τῶν Θ, Ξ Ζ·
したがって、残りの ΓΖ の ΖΕ に対する比は、ΒΓ の ΚΝ に対する比、すなわち ΘΓ の ΚΘ に対する比と、ΚΜ の ∠Ε に対する比、すなわち ΚΗ の ΗΕ に対する比から合成されている。 したがって、Θ, Η, Ζ を通るものは直線である。 なぜなら、もし Ε を通り Θ に平行な直線 ΕΞ を引き、結ばれた ΘΗ が Ξ まで延長されるならば、ΚΗ の ΗΕ に対する比は ΚΘ の ΕΞ に対する比と同一であり、そして、ΓΘ の ΘΚ に対する比と ΘΚ の ΕΞ に対する比から合成された比は、ΘΓ の ΕΞ に対する比に等しくなり、さらに、ΓΘ が ΕΞ に平行であるので、ΓΖ の ΖΕ に対する比は ΓΘ の ΕΞ に対する比と同一であるからである。 したがって、Θ, Ξ, Ζ を通るものは直線である。
τοῦτο γὰρ φανερόν·
これは明らかだからである。
ὥστε καὶ ἡ διὰ τῶν Θ, Η, Ζ εὐθεῖά ἐστιν.
したがって、 Θ, Η, Ζ を通るものもまた直線である。
§6.5ε΄. Ἐὰν καταγραφὴ ἡ ΑΒΓ∠ΕΖΗΘ, γίνεται, ὡς ἡ Α∠ πρὸς τὴν ∠Γ, οὕτως ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ. ἔστω οὖν, ὡς ἡ Α∠ πρὸς τὴν ∠Γ. οὕτως ἡ Α πρὸς τὴν ΒΓ·
ε΄. もし図形が ΑΒΓ∠ΕΖΗΘ ならば、Α∠ の ∠Γ に対する比は ΑΒ の ΒΓ に対する比に等しくなる。 そこで、Α∠ の ∠Γ に対する比が、ΑΒ［テキストは Α］の ΒΓ に対する比に等しいとせよ。
ὅτι εὐθεῖά ἐστιν ἡ διὰ τῶν Α, Η, Θ.
ἤχθω διὰ τοῦ Η τῇ Α∠ παράλληλος ἡ ΚΛ. ἐπεὶ οὖν ἐστιν, ὡς ἡ Α∠ πρὸς τὴν ∠Γ, οὕτως ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ, ἀλλ᾿ ὡς μὲν ἡ Α∠ πρὸς τὴν ∠Γ οὕτως ἡ ΚΛ πρὸς τὴν ΛΗ, ὡς δὲ ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως ἡ ΚΗ πρὸς τὴν ΗΜ, καὶ ὡς ἄρα ἡ ΚΛ πρὸς τὴν ΛΗ, οὕτως ἡ ΚΗ πρὸς τὴν ΗΜ, καὶ λοιπὴ ἡ ΗΛ πρὸς λοιπὴν τὴν ΛΜ ἐστιν, ὡς ἡ ΚΛ πρὸς τὴν ΛΗ, τουτέστιν ὡς ἡ Α∠ πρὸς τὴν ∠Γ. ἐναλλάξ ἐστιν, ὡς ἡ Α∠ πρὸς τὴν ΗΛ, οὕτως ἡ Γ∠ πρὸς τὴν ΛΜ, τουτέστιν ἡ ∠Θ πρὸς ΘΛ. καί ἐστι παράλληλος ἡ ΗΛ τῇ Α∠·
Α, Η, Θ を通るものが直線であることを（示すべきである）。 Η を通り Α∠ に平行な直線 ΚΛ を引け。 さて、Α∠ の ∠Γ に対する比は ΑΒ の ΒΓ に対する比に等しく、一方、Α∠ の ∠Γ に対する比は ΚΛ の ΛΗ に対する比に等しく、ΑΒ の ΒΓ に対する比は ΚΗ の ΗΜ に対する比に等しいので、したがってまた、ΚΛ の ΛΗ に対する比は ΚΗ の ΗΜ に対する比に等しく、そして、残りの ΗΛ の残りの ΛΜ に対する比は、ΚΛ の ΛΗ に対する比、すなわち Α∠ の ∠Γ に対する比に等しい。 交互にすると、Α∠ の ΗΛ に対する比は、Γ∠ の ΛΜ に対する比、すなわち ∠Θ の ΘΛ に対する比に等しい。 そして、ΗΛ は Α∠ に平行である。
εὐθεῖα ἄρα ἐστὶν ἡ διὰ τῶν Α, Η, Θ σημείων·
したがって、点 Α, Η, Θ を通るものは直線である。
τοῦτο γὰρ φανερόν.
これは明らかだからである。