§6.6ϛ΄. Πάλιν, ἐὰν καταγραφή, καὶ παράλληλος ἡ ∠Ζ τῇ ΒΓ, γίνεται ἴση ἡ ΑΒ τῇ ΒΓ ἔστω οὖν ἴση· ὅτι παράλληλος.
6. 再次，若有图形，且 ∠Ζ 平行于 ΒΓ，则 ΑΒ 等于 ΒΓ。 因此，设它们相等；求证［∠Ζ］平行［于 ΒΓ］。
ἔστιν δέ· ἐὰν γὰρ τῇ ΕΒ προσθῶ τῇ Ηβ ἴσην τὴν ΒΘ καὶ ἐπιζεύξω τὰς ΑΘ, ΘΓ, γίνεται παραλληλόγραμμον τὸ ΑΘΓΗ, καὶ διὰ τοῦτό ἐστιν, ὡς ἡ Α∠ πρὸς τὴν ∠Ε, οὕτως ἡ Γ πρὸς τὴν ΖΕ· ἑκάτερος γὰρ τῶν εἰρημένων ὁ αὐτός ἐστιν τῷ τῆς Θ πρὸς τὴν ΗΕ λόγῳ· ὥστε παράλληλός ἐστιν ἡ ∠ τῇ ΑΓ.
它是这样的：因为若在 ΕΒ 上加上与 ΗΒ［文本作 Ηβ］相等的 ΒΘ，并连接 ΑΘ、ΘΓ，则 ΑΘΓΗ 成为平行四边形，且由于这个原因，Α∠ 对 ∠Ε 的比，等于 Γ 对 ΖΕ 的比；因为上述比的每一个都与 Θ 对 ΗΕ 的比相同；所以 ∠ 平行于 ΑΓ。
§6.7ζ΄. Ἔστω καταγραφή, καὶ τῶν ∠Β, ΒΓ μέση ἀνάλογον ἔστω ἡ ΒΑ ὅτι παράλληλός ἔστιν ἡ ΖΗ τῇ ΑΓ.
ἐκβεβλήσθω ἡ ΕΒ, καὶ διὰ τοῦ Α τῇ ∠Ζ εὐθείᾳ παράλληλος ἤχθω ἡ ΑΚ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΓΚ.
ἐπεὶ οὖν ἔστιν, ὡς ἡ Γ Β πρὸς τὴν ΒΑ, οὕτως ἡ ΑΒ πρὸς τὴν Β∠, ὡς δὲ ἡ ΑΒ πρὸς τὴν Β∠, οὕτως ἡ ΚΒ πρὸς τὴν ΒΘ, καὶ ὡς ἄρα ἡ ΓΒ πρὸς τὴν ΒΑ, οὕτως ἡ Κ Β πρὸς τὴν ΒΘ·
7. 设有一图形，且设 ΒΑ 是 ∠Β、ΒΓ 的比例中项；求证 ΖΗ 平行于 ΑΓ。 延长 ΕΒ，并过 Α 作平行于直线 ∠Ζ 的直线 ΑΚ，并连接 ΓΚ。 因为，若 ΓΒ 对 ΒΑ 的比等于 ΑΒ 对 Β∠ 的比，而 ΑΒ 对 Β∠ 的比等于 ΚΒ 对 ΒΘ 的比，所以，ΓΒ 对 ΒΑ 的比等于 ΚΒ 对 ΒΘ 的比；因此 ΑΘ 平行于 ΚΓ。
παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΘ τῇ ΚΓ ἔστιν οὖν πάλιν, ὡς ἡ Α πρὸς τὴν ΖΕ, οὕτως ἡ ΓΗ πρὸς τὴν ΗΕ· ἑκάτερος γὰρ τῶν εἰρημένων λόγος ὁ αὐτός ἐστιν τῷ τῆς ΚΘ πρὸς τὴν ΘΕ ὥστε παράλληλός ἐστιν ἡ ΖΗ τῇ Α∠.
因此再次，Α 对 ΖΕ 的比等于 ΓΗ 对 ΗΕ 的比；因为上述比的每一个都与 ΚΘ 对 ΘΕ 的比相同；所以 ΖΗ 平行于 Α∠。
§6.8η΄. Ἔστω βωμίσκος ὁ ΑΒΓ∠ΕΖΗ, καὶ ἔστω παράλληλος ἡ μὲν ∠Ε τῇ ΒΓ, ἡ δὲ ΕΗ τῇ ΒΖ ὅτι καὶ ἡ ∠Ζ τῇ ΓΗ παράλληλός ἐστιν.
8. 设有一祭坛形 ΑΒΓ∠ΕΖΗ，且设 ∠Ε 平行于 ΒΓ，ΕΗ 平行于 ΒΖ；求证 ∠Ζ 也平行于 ΓΗ。
ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΒΕ, ∠Γ, ΖΗ ἴσον ἄρα ἐστὶν τὸ ∠ΒΕ τρίγωνον τῷ ∠ΓΕ τριγώνῳ.
连接 ΒΕ、∠Γ、ΖΗ；因此三角形 ∠ΒΕ 等于三角形 ∠ΓΕ。
κοινὸν προσκείσθω τὸ ∠ΑΕ τρίγωνον· ὅλον ἄρα τὸ ΑΒΕ τρίγωνον ὅλῳ τῷ
Γ∠Α τριγώνῳ ἴσον ἐστίν.
让共同的三角形 ∠ΑΕ 被加上；因此整个三角形 ΑΒΕ 等于整个三角形 Γ∠Α。
πάλιν, ἐπεὶ παράλληλός ἔστιν ἡ ΒΖ τῇ ΕΗ, ἴσον ἐστὶν τὸ ΒΖΕ τρίγωνον τῷ ΒΖΗ τριγώνῳ.
再次，因为 ΒΖ 平行于 ΕΗ，三角形 ΒΖΕ 等于三角形 ΒΖΗ。
κοινὸν ἀφῃρήσθω τὸ ΑΒ Ζ τρίγωνον· λοιπὸν ἄρα τὸ ΑΒΕ τρίγωνον λοιπῷ τῷ ΑΗΖ τριγώνῳ ἴσον ἐστίν.
让共同的三角形 ΑΒΖ 被减去；因此剩余的三角形 ΑΒΕ 等于剩余的三角形 ΑΗΖ。
ἀλλὰ τὸ ΑΒΕ τρίγωνον τῷ ΑΓ∠ τριγώνῳ ἐστὶν ἴσον· καὶ τὸ ΑΓ∠ ἄρα τρίγωνον τῷ ΑΖΗ τριγώνῳ ἴσον ἐστίν.
但是三角形 ΑΒΕ 等于三角形 ΑΓ∠；因此三角形 ΑΓ∠ 也等于三角形 ΑΖΗ。
κοινὸν προσκείσθω τὸ ΑΓΗ τρίγωνον· ὅλον ἄρα τὸ Γ∠Η τρίγωνον ὅλῳ τῷ ΓΖΗ τριγώνῳ ἴσον ἐστίν.
让共同的三角形 ΑΓΗ 被加上；因此整个三角形 Γ∠Η 等于整个三角形 ΓΖΗ。
καί ἐστιν ἐπὶ τῆς αὐτῆς βάσεως τῆς ΓΗ· παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΗ τῇ ∠Ζ.
且它们在相同的底边 ΓΗ 上；因此 ΓΗ 平行于 ∠Ζ。
§6.9θ΄. Ἔστω τρίγωνον τὸ ΑΒΓ καὶ ἐν αὐτῷ διήχθωσαν αἱ Α∠, ΑΕ, καὶ τῇ ΒΓ παράλληλος ἤχθω ἡ ΖΗ, καὶ κεκλάσθω ἡ ΖΘΗ, ἔστω δέ, ὡς ἡ ΒΘ πρὸς τὴν ΘΓ, οὕτως ἡ ∠Θ πρὸς τὴν ΘΕ ὅτι παράλληλός ἔστιν ἡ ΚΛ τῇ ΒΓ.
ἐπεὶ γάρ ἐστιν, ὡς ἡ ΒΘ πρὸς τὴν ΘΓ, οὕτως ἡ ∠Θ πρὸς τὴν ΘΕ, λοιπὴ ἄρα ἡ Β∠ πρὸς λοιπὴν τὴν ΓΕ ἐστιν, ὡς ἡ ∠Θ πρὸς τὴν ΘΕ. ὡς δὲ ἡ Β∠ πρὸς τὴν ΕΓ, οὕτως ἐστὶν ἡ ΖΜ πρὸς Ν καὶ ὡς ἄρα ἡ ΖΜ πρὸς ΝΗ, οὕτως ἐστὶν ἡ ∠Θ πρὸς τὴν ΘΕ. ἐναλλάξ ἔστιν, ὡς ἡ ΖΜ πρὸς τὴν ∠Θ, οὕτως ἡ ΝΗ πρὸς τὴν ΘΕ. ἀλλʼ ὡς μὲν ἡ ΖΜ πρὸς τὴν ∠Θ, οὕτως ἐστὶν ἐν παραλλήλῳ ἡ ΖΚ πρὸς τὴν ΚΘ, ὡς δὲ ἡ ΗΝ πρὸς τὴν ΘΕ, οὕτως ἐστὶν ἡ ΗΛ πρὸς τὴν ∠Θ καὶ ὡς ἄρα ἡ ΖΚ πρὸς τὴν Κ Θ, οὕτως ἐστὶν ἡ ΗΛ πρὸς τὴν ∠Θ. παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΚΛ τῇ ΗΖ· ὥστε καὶ τῇ ΓΒ.
9. 设有一三角形 ΑΒΓ，并在其中引 Α∠、ΑΕ，且作平行于 ΒΓ 的直线 ΖΗ，并作折线 ΖΘΗ，且设 ΒΘ 对 ΘΓ 的比等于 ∠Θ 对 ΘΕ 的比；求证 ΚΛ 平行于 ΒΓ。 因为，若 ΒΘ 对 ΘΓ 的比等于 ∠Θ 对 ΘΕ 的比，则剩余的 Β∠ 对剩余的 ΓΕ 的比等于 ∠Θ 对 ΘΕ 的比。 而若 Β∠ 对 ΕΓ 的比等于 ΖΜ 对 Ν 的比，所以，ΖΜ 对 ΝΗ 的比等于 ∠Θ 对 ΘΕ 的比。 通过更比，ΖΜ 对 ∠Θ 的比等于 ΝΗ 对 ΘΕ 的比。 但是，在平行线之间，若 ΖΜ 对 ∠Θ 的比等于 ΖΚ 对 ΚΘ 的比，而 ΗΝ 对 ΘΕ 的比等于 ΗΛ 对 ∠Θ 的比；所以，ΖΚ 对 ΚΘ 的比等于 ΗΛ 对 ∠Θ 的比。 因此，ΚΛ 平行于 ΗΖ；所以也平行于 ΓΒ。