§6.4δ΄.
4.
Καταγραφὴ ἡ ΑΒΓ∠ΕΖΗΘΚΛ, ἔστω δέ, ὡς τὸ ὑπὸ ΑΖ, ΒΓ πρὸς τὸ ὑπὸ ΑΒ, ΓΖ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΑΖ, ∠Ε πρὸς τὸ ὑπὸ Α∠, ΕΖ·
도형을 ΑΒΓ∠ΕΖΗΘΚΛ이라 하고, ΑΖ, ΒΓ의 곱의 ΑΒ, ΓΖ의 곱에 대한 비는 ΑΖ, ∠Ε의 곱의 Α∠, ΕΖ의 곱에 대한 비와 같다고 하자.
ὅτι εὐθεῖά ἐστιν ἡ διὰ τῶν Θ, Η, Ζ σημείων.
점 Θ, Η, Ζ를 지나는 선이 직선임을 (보여야 한다).
ἐπεί ἐστιν, ὡς τὸ ὑπὸ ΑΖ, ΒΓ πρὸς τὸ ὑπὸ ΑΒ, ΓΖ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΑΖ, ∠Ε πρὸς τὸ ὑπὸ Α∠, ΕΖ, ἐναλλάξ ἐστιν, ὡς τὸ ὑπὸ ΑΖ, ΒΓ πρὸς τὸ ὑπὸ ΑΖ, ∠Ε, τουτέστιν ὡς ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ∠Ε, οὕτως τὸ ὑπὸ ΑΒ, ΓΖ πρὸς τὸ ὑπὸ Α∠, ΕΖ. ἀλλ ὁ μὲν τῆς ΒΓ πρὸς τὴν ∠Ε συνῆπται λόγος, ἐὰν διὰ τοῦ Κ τῇ ΑΖ παράλληλος ἀχθῇ ἡ ΚΜ, ἔκ τε τοῦ τῆς ΒΓ πρὸς ΚΝ καὶ τῆς ΚΝ πρὸς ΚΜ καὶ ἔτι τοῦ τῆς ΚΜ πρὸς ∠Ε, ὁ δὲ τοῦ ὑπὸ ΑΒ, ΓΖ πρὸς τὸ ὑπὸ Α∠, ΕΖ συνῆπται ἔκ τε τοῦ τῆς ΒΑ πρὸς Α∠ καὶ τοῦ τῆς ΓΖ πρὸς τὴν ΖΕ. κοινὸς ἐκκεκρούσθω ὁ τῆς ΒΑ πρὸς Α∠ ὁ αὐτὸς ὢν τῷ τῆς ΝΚ πρὸς ΚΜ·
ΑΖ, ΒΓ의 곱의 ΑΒ, ΓΖ의 곱에 대한 비가 ΑΖ, ∠Ε의 곱의 Α∠, ΕΖ의 곱에 대한 비와 같으므로, 교대비에 의해, ΑΖ, ΒΓ의 곱의 ΑΖ, ∠Ε의 곱에 대한 비, 즉 ΒΓ의 ∠Ε에 대한 비는 ΑΒ, ΓΖ의 곱의 Α∠, ΕΖ의 곱에 대한 비와 같다. 그런데 만약 Κ를 지나고 ΑΖ에 평행한 직선 ΚΜ을 긋는다면, ΒΓ의 ∠Ε에 대한 비는 ΒΓ의 ΚΝ에 대한 비와 ΚΝ의 ΚΜ에 대한 비, 그리고 ΚΜ의 ∠Ε에 대한 비로부터 합성되지만, ΑΒ, ΓΖ의 곱의 Α∠, ΕΖ의 곱에 대한 비는 ΒΑ의 Α∠에 대한 비와 ΓΖ의 ΖΕ에 대한 비로부터 합성된다. 공통인 것으로서, ΝΚ의 ΚΜ에 대한 비와 같은 ΒΑ의 Α∠에 대한 비를 제거하라.
λοιπὸν ἄρα ὁ τῆς ΓΖ πρὸς τὴν ΖΕ συνῆπται ἔκ τε τοῦ τῆς ΒΓ πρὸς τὴν ΚΝ, τουτέστιν τοῦ τῆς ΘΓ πρὸς τὴν ΚΘ, καὶ τοῦ τῆς ΚΜ πρὸς τὴν ∠Ε, τουτέστιν τοῦ τῆς ΚΗ πρὸς τὴν ΗΕ. εὐθεῖα ἄρα ἡ διὰ τῶν Θ, Η, Ζ.
ἐὰν γὰρ διὰ τοῦ Ε τῇ Θ παράλληλον ἀγάγω τὴν ΕΞ, καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΘΗ ἐκβληθῇ ἐπὶ τὸ Ξ, ὁ μὲν τῆς ΚΗ πρὸς τὴν ΗΕ λόγος ὁ αὐτός ἐστιν τῷ τῆς ΚΘ πρὸς τὴν ΕΞ, ὁ δὲ συνημμένος ἔκ τε τοῦ τῆς Γ Θ πρὸς τὴν ΘΚ καὶ τοῦ τῆς ΘΚ πρὸς τὴν ΕΞ μεταβαλλόμενος εἰς τὸν τῆς ΘΓ πρὸς ΕΞ λόγον, καὶ ὁ τῆς Γ Ζ πρὸς ΖΕ λόγος ὁ αὐτὸς τῷ τῆς ΓΘ πρὸς τὴν ΕΞ παραλλήλου οὔσης τῆς ΓΘ τῇ ΕΞ εὐθεῖα ἄρα ἐστὶν ἡ διὰ τῶν Θ, Ξ Ζ·
그러면 남은 ΓΖ의 ΖΕ에 대한 비는 ΒΓ의 ΚΝ에 대한 비(즉 ΘΓ의 ΚΘ에 대한 비)와 ΚΜ의 ∠Ε에 대한 비(즉 ΚΗ의 ΗΕ에 대한 비)로부터 합성된다. 그러므로 Θ, Η, Ζ를 지나는 선은 직선이다. 왜냐하면 만약 Ε를 지나고 Θ에 평행한 직선 ΕΞ를 긋고, 연결된 ΘΗ를 Ξ까지 연장한다면, ΚΗ의 ΗΕ에 대한 비는 ΚΘ의 ΕΞ에 대한 비와 같고, ΓΘ의 ΘΚ에 대한 비와 ΘΚ의 ΕΞ에 대한 비로부터 합성된 비는 ΘΓ의 ΕΞ에 대한 비로 바뀌며, ΓΘ가 ΕΞ에 평행하므로 ΓΖ의 ΖΕ에 대한 비는 ΓΘ의 ΕΞ에 대한 비와 같기 때문이다. 그러므로 Θ, Ξ, Ζ를 지나는 선은 직선이다.
τοῦτο γὰρ φανερόν·
이것은 명백하기 때문이다.
ὥστε καὶ ἡ διὰ τῶν Θ, Η, Ζ εὐθεῖά ἐστιν.
따라서 Θ, Η, Ζ를 지나는 선도 직선이다.
§6.5ε΄.
5.
Ἐὰν καταγραφὴ ἡ ΑΒΓ∠ΕΖΗΘ, γίνεται, ὡς ἡ Α∠ πρὸς τὴν ∠Γ, οὕτως ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ. ἔστω οὖν, ὡς ἡ Α∠ πρὸς τὴν ∠Γ. οὕτως ἡ Α πρὸς τὴν ΒΓ·
만약 도형이 ΑΒΓ∠ΕΖΗΘ라면, Α∠의 ∠Γ에 대한 비는 ΑΒ의 ΒΓ에 대한 비와 같게 된다. 그러므로 Α∠의 ∠Γ에 대한 비가 ΑΒ[텍스트는 Α]의 ΒΓ에 대한 비와 같다고 하자.
ὅτι εὐθεῖά ἐστιν ἡ διὰ τῶν Α, Η, Θ.
ἤχθω διὰ τοῦ Η τῇ Α∠ παράλληλος ἡ ΚΛ. ἐπεὶ οὖν ἐστιν, ὡς ἡ Α∠ πρὸς τὴν ∠Γ, οὕτως ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ, ἀλλ᾿ ὡς μὲν ἡ Α∠ πρὸς τὴν ∠Γ οὕτως ἡ ΚΛ πρὸς τὴν ΛΗ, ὡς δὲ ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως ἡ ΚΗ πρὸς τὴν ΗΜ, καὶ ὡς ἄρα ἡ ΚΛ πρὸς τὴν ΛΗ, οὕτως ἡ ΚΗ πρὸς τὴν ΗΜ, καὶ λοιπὴ ἡ ΗΛ πρὸς λοιπὴν τὴν ΛΜ ἐστιν, ὡς ἡ ΚΛ πρὸς τὴν ΛΗ, τουτέστιν ὡς ἡ Α∠ πρὸς τὴν ∠Γ. ἐναλλάξ ἐστιν, ὡς ἡ Α∠ πρὸς τὴν ΗΛ, οὕτως ἡ Γ∠ πρὸς τὴν ΛΜ, τουτέστιν ἡ ∠Θ πρὸς ΘΛ. καί ἐστι παράλληλος ἡ ΗΛ τῇ Α∠·
Α, Η, Θ를 지나는 선이 직선임을 (보여야 한다). Η를 지나고 Α∠에 평행한 직선 ΚΛ을 그어라. 이제 Α∠의 ∠Γ에 대한 비가 ΑΒ의 ΒΓ에 대한 비와 같고, Α∠의 ∠Γ에 대한 비는 ΚΛ의 ΛΗ에 대한 비와 같으며, ΑΒ의 ΒΓ에 대한 비는 ΚΗ의 ΗΜ에 대한 비와 같으므로, 그러므로 ΚΛ의 ΛΗ에 대한 비는 ΚΗ의 ΗΜ에 대한 비와 같고, 남은 ΗΛ의 남은 ΛΜ에 대한 비는 ΚΛ의 ΛΗ에 대한 비, 즉 Α∠의 ∠Γ에 대한 비와 같다. 교대비에 의해, Α∠의 ΗΛ에 대한 비는 Γ∠의 ΛΜ에 대한 비, 즉 ∠Θ의 ΘΛ에 대한 비와 같다. 그리고 ΗΛ은 Α∠에 평행하다.
εὐθεῖα ἄρα ἐστὶν ἡ διὰ τῶν Α, Η, Θ σημείων·
그러므로 점 Α, Η, Θ를 지나는 선은 직선이다.
τοῦτο γὰρ φανερόν.
이것은 명백하기 때문이다.