§6.4δ΄. Καταγραφὴ ἡ ΑΒΓ∠ΕΖΗΘΚΛ, ἔστω δέ, ὡς τὸ ὑπὸ ΑΖ, ΒΓ πρὸς τὸ ὑπὸ ΑΒ, ΓΖ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΑΖ, ∠Ε πρὸς τὸ ὑπὸ Α∠, ΕΖ· ὅτι εὐθεῖά ἐστιν ἡ διὰ τῶν Θ, Η, Ζ σημείων.
4. 设图形为 ΑΒΓ∠ΕΖΗΘΚΛ，并设 ΑΖ 与 ΒΓ 的积对 ΑΒ 与 ΓΖ 的积的比，等于 ΑΖ 与 ∠Ε 的积对 Α∠ 与 ΕΖ 的积的比；求证通过点 Θ、Η、Ζ 的线是直线。
ἐπεί ἐστιν, ὡς τὸ ὑπὸ ΑΖ, ΒΓ πρὸς τὸ ὑπὸ ΑΒ, ΓΖ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΑΖ, ∠Ε πρὸς τὸ ὑπὸ Α∠, ΕΖ, ἐναλλάξ ἐστιν, ὡς τὸ ὑπὸ ΑΖ, ΒΓ πρὸς τὸ ὑπὸ ΑΖ, ∠Ε, τουτέστιν ὡς ἡ ΒΓ πρὸς τὴν ∠Ε, οὕτως τὸ ὑπὸ ΑΒ, ΓΖ πρὸς τὸ ὑπὸ Α∠, ΕΖ. ἀλλ ὁ μὲν τῆς ΒΓ πρὸς τὴν ∠Ε συνῆπται λόγος, ἐὰν διὰ τοῦ Κ τῇ ΑΖ παράλληλος ἀχθῇ ἡ ΚΜ, ἔκ τε τοῦ τῆς ΒΓ πρὸς ΚΝ καὶ τῆς ΚΝ πρὸς ΚΜ καὶ ἔτι τοῦ τῆς ΚΜ πρὸς ∠Ε, ὁ δὲ τοῦ ὑπὸ ΑΒ, ΓΖ πρὸς τὸ ὑπὸ Α∠, ΕΖ συνῆπται ἔκ τε τοῦ τῆς ΒΑ πρὸς Α∠ καὶ τοῦ τῆς ΓΖ πρὸς τὴν ΖΕ. κοινὸς ἐκκεκρούσθω ὁ τῆς ΒΑ πρὸς Α∠ ὁ αὐτὸς ὢν τῷ τῆς ΝΚ πρὸς ΚΜ·
因为，若 ΑΖ 与 ΒΓ 的积对 ΑΒ 与 ΓΖ 的积的比，等于 ΑΖ 与 ∠Ε 的积对 Α∠ 与 ΕΖ 的积的比，则通过更比，ΑΖ 与 ΒΓ 的积对 ΑΖ 与 ∠Ε 的积的比（即 ΒΓ 对 ∠Ε 的比），等于 ΑΒ 与 ΓΖ 的积对 Α∠ 与 ΕΖ 的积的比。 但是，若过 Κ 作平行于 ΑΖ 的直线 ΚΜ，则 ΒΓ 对 ∠Ε 的比是由 ΒΓ 对 ΚΝ 的比、ΚΝ 对 ΚΜ 的比以及 ΚΜ 对 ∠Ε 的比合成的；而 ΑΒ 与 ΓΖ 的积对 Α∠ 与 ΕΖ 的积的比，是由 ΒΑ 对 Α∠ 的比与 ΓΖ 对 ΖΕ 的比合成的。
λοιπὸν ἄρα ὁ τῆς ΓΖ πρὸς τὴν ΖΕ συνῆπται ἔκ τε τοῦ τῆς ΒΓ πρὸς τὴν ΚΝ, τουτέστιν τοῦ τῆς ΘΓ πρὸς τὴν ΚΘ, καὶ τοῦ τῆς ΚΜ πρὸς τὴν ∠Ε, τουτέστιν τοῦ τῆς ΚΗ πρὸς τὴν ΗΕ. εὐθεῖα ἄρα ἡ διὰ τῶν Θ, Η, Ζ.
ἐὰν γὰρ διὰ τοῦ Ε τῇ Θ παράλληλον ἀγάγω τὴν ΕΞ, καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΘΗ ἐκβληθῇ ἐπὶ τὸ Ξ, ὁ μὲν τῆς ΚΗ πρὸς τὴν ΗΕ λόγος ὁ αὐτός ἐστιν τῷ τῆς ΚΘ πρὸς τὴν ΕΞ, ὁ δὲ συνημμένος ἔκ τε τοῦ τῆς Γ Θ πρὸς τὴν ΘΚ καὶ τοῦ τῆς ΘΚ πρὸς τὴν ΕΞ μεταβαλλόμενος εἰς τὸν τῆς ΘΓ πρὸς ΕΞ λόγον, καὶ ὁ τῆς Γ Ζ πρὸς ΖΕ λόγος ὁ αὐτὸς τῷ τῆς ΓΘ πρὸς τὴν ΕΞ παραλλήλου οὔσης τῆς ΓΘ τῇ ΕΞ εὐθεῖα ἄρα ἐστὶν ἡ διὰ τῶν Θ, Ξ Ζ·
让作为共同项的 ΒΑ 对 Α∠ 的比（其与 ΝΚ 对 ΚΜ 的比相同）被消去；因此，剩余的 ΓΖ 对 ΖΕ 的比，是由 ΒΓ 对 ΚΝ 的比（即 ΘΓ 对 ΚΘ 的比）与 ΚΜ 对 ∠Ε 的比（即 ΚΗ 对 ΗΕ 的比）合成的。 因此，通过 Θ、Η、Ζ 的线是直线。 因为，若我们过 Ε 作平行于 Θ 的直线 ΕΞ，并将连接的 ΘΗ 延长到 Ξ，则 ΚΗ 对 ΗΕ 的比与 ΚΘ 对 ΕΞ 的比相同，而由 ΓΘ 对 ΘΚ 的比与 ΘΚ 对 ΕΞ 的比合成的比，转化为 ΘΓ 对 ΕΞ 的比，且由于 ΓΘ 平行于 ΕΞ，ΓΖ 对 ΖΕ 的比与 ΓΘ 对 ΕΞ 的比相同；因此，通过 Θ、Ξ、Ζ 的线是直线。
τοῦτο γὰρ φανερόν· ὥστε καὶ ἡ διὰ τῶν Θ, Η, Ζ εὐθεῖά ἐστιν.
因为这是显而易见的；所以通过 Θ、Η、Ζ 的线也是直线。
§6.5ε΄. Ἐὰν καταγραφὴ ἡ ΑΒΓ∠ΕΖΗΘ, γίνεται, ὡς ἡ Α∠ πρὸς τὴν ∠Γ, οὕτως ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ. ἔστω οὖν, ὡς ἡ Α∠ πρὸς τὴν ∠Γ. οὕτως ἡ Α πρὸς τὴν ΒΓ· ὅτι εὐθεῖά ἐστιν ἡ διὰ τῶν Α, Η, Θ.
ἤχθω διὰ τοῦ Η τῇ Α∠ παράλληλος ἡ ΚΛ. ἐπεὶ οὖν ἐστιν, ὡς ἡ Α∠ πρὸς τὴν ∠Γ, οὕτως ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ, ἀλλ᾿ ὡς μὲν ἡ Α∠ πρὸς τὴν ∠Γ οὕτως ἡ ΚΛ πρὸς τὴν ΛΗ, ὡς δὲ ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως ἡ ΚΗ πρὸς τὴν ΗΜ, καὶ ὡς ἄρα ἡ ΚΛ πρὸς τὴν ΛΗ, οὕτως ἡ ΚΗ πρὸς τὴν ΗΜ, καὶ λοιπὴ ἡ ΗΛ πρὸς λοιπὴν τὴν ΛΜ ἐστιν, ὡς ἡ ΚΛ πρὸς τὴν ΛΗ, τουτέστιν ὡς ἡ Α∠ πρὸς τὴν ∠Γ. ἐναλλάξ ἐστιν, ὡς ἡ Α∠ πρὸς τὴν ΗΛ, οὕτως ἡ Γ∠ πρὸς τὴν ΛΜ, τουτέστιν ἡ ∠Θ πρὸς ΘΛ. καί ἐστι παράλληλος ἡ ΗΛ τῇ Α∠· εὐθεῖα ἄρα ἐστὶν ἡ διὰ τῶν Α, Η, Θ σημείων·
5. 若图形为 ΑΒΓ∠ΕΖΗΘ，则 Α∠ 对 ∠Γ 的比等于 ΑΒ 对 ΒΓ 的比。 因此，设 Α∠ 对 ∠Γ 的比等于 ΑΒ［文本作 Α］对 ΒΓ 的比；求证通过 Α、Η、Θ 的线是直线。 过 Η 作平行于 Α∠ 的直线 ΚΛ。 因为，若 Α∠ 对 ∠Γ 的比等于 ΑΒ 对 ΒΓ 的比，但 Α∠ 对 ∠Γ 的比等于 ΚΛ 对 ΛΗ 的比，而 ΑΒ 对 ΒΓ 的比等于 ΚΗ 对 ΗΜ 的比，所以，ΚΛ 对 ΛΗ 的比等于 ΚΗ 对 ΗΜ 的比，且剩余的 ΗΛ 对剩余的 Λ融的比等于 ΚΛ 对 ΛΗ 的比，即 Α∠ 对 ∠Γ 的比。 通过更比，Α∠ 对 ΗΛ 的比等于 Γ∠ 对 ΛΜ 的比，即 ∠Θ 对 ΘΛ 的比。 且 ΗΛ 平行于 Α∠；因此，通过点 Α、Η、Θ 的线是直线。
τοῦτο γὰρ φανερόν.
因为这是显而易见的。