§6.3γ΄. Εἰς τρεῖς εὐθείας τὰς ΑΒ, ΓΑ, ∠Α διήχθωσαν δύο εὐθεῖαι αἱ ΘΕ. Θ∠·
γ΄. 3本の直線 ΑΒ, ΓΑ, ∠Α に対して、2本の直線 ΘΕ, Θ∠ が引かれているとせよ。
ὅτι ἐστίν, ὡς τὸ ὑπὸ ΘΕ ΗΖ πρὸς τὸ ὑπὸ ΘΗ, ΖΕ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΘΒ, ∠Γ πρὸς τὸ ὑπὸ Θ∠, ΒΓ.
ἤχθω διὰ μὲν τοῦ Θ τῇ ΖΓΑ παράλληλος ἡ ΚΛ, καὶ αἱ ∠Α, ΑΒ συμπιπτέτωσαν αὐτῇ κατὰ τὰ Κ, Λ σημεῖα, διὰ δὲ τοῦ Λ τῇ ∠Α παράλληλος ἡ ΛΜ καὶ συμπιπτέ τω τῇ ΕΘ ἐπὶ τὸ Μ.
ἐπεὶ οὖν ἐστιν, ὡς μὲν ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΖΑ, οὕτως ἡ ΕΘ πρὸς τὴν ΘΛ, ὡς δὲ ἡ Α πρὸς τὴν ΖΗ, οὕτως ἡ ΘΛ πρὸς τὴν ΘΜ καὶ γὰρ ἡ Θ Κ πρὸς τὴν ΘΗ ἐν παραλλήλῳ· διίσου ἄρα ἐστίν, ὡς ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΖΗ, οὕτως ἡ ΕΘ πρὸς τὴν ΘΜ. τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΘΕ, ΗΖ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ τῶν ΕΖ, ΘΜ. ἄλλο δέ τι τυχὸν τὸ ὑπὸ τῶν ΕΖ, ΘΗ ἔστιν ἄρα, ὡς τὸ ὑπὸ τῶν ΕΘ, ΗΖ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΕΖ, ΗΘ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΕΖ, ΘΜ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΖ, ΗΘ, τουτέστιν ἡ ΘΜ πρὸς ΘΗ, τουτέστιν ἡ ΛΘ πρὸς τὴν ΘΚ. κατὰ τὰ αὐτὰ καί, ὡς ἡ ΚΘ πρὸς τὴν ΘΛ, οὕτως τὸ ὑπὸ Θ∠, ΒΓ πρὸς τὸ ὑπὸ ΘΒ, Γ∠ ἀνάπαλιν ἄρα γίνεται, ὡςἡ ΛΘπρὸς τὴν ΘΚ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΘΒ, Γ∠ πρὸς τὸ ὑπὸ Θ∠, ΒΓ. ὡς δὲ ἡ ΛΘ πρὸς τὴν Θ Κ, οὕτως ἐδείχθη τὸ ὑπὸ ΕΘ, Η πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΖ, ΗΘ καὶ ὡς ἄρα τὸ ὑπὸ ΕΘ, ΗΖ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΖ, ΗΘ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΘΒ, Γ∠ πρὸς τὸ ὑπὸ Θ∠, ΒΓ.
Διὰ δὲ τοῦ συνημμένου οὕτως· ἐπεὶ ὁ τοῦ ὑπὸ ΘΕ, ΗΖ πρὸς τὸ ὑπὸ ΘΗ, ΖΕ συνῆπται λόγος ἔκ τε τοῦ, ὃν ἔχει ἡ ΘΕ πρὸς τὴν ΕΖ, καὶ τοῦ, ὃν ἔχει ἡ ΖΗ πρὸς τὴν ΗΘ, καί ἐστιν, ὡς μὲν ἡ ΘΕ πρὸς τὴν ΕΖ, οὕτως ἡ Θ∠ πρὸς τὴν ΖΑ, ὡς δὲ ἡ ΖΗ πρὸς τὴν ΗΘ, οὕτως ἡ ΖΑ πρὸς τὴν ΘΚ, το ἄρα ὑπὸ ΘΕ, ΗΖ προς το ὑπὸ ΘΗ, ΕΖ συνῆπται ἔκ τε τοῦ, ὃν ἔχει ἡ ΘΛ πρὸς τὴν ΖΑ, καὶ τοῦ ὃν ἔχει ἡ ΖΑ πρὸς τὴν ΘΚ. ὁ δὲ συνημμένος ἔκ τε τοῦ τῆς ΘΛ πρὸς τὴν ΖΑ καὶ τοῦ τῆς ΖΑ πρὸς τὴν ΘΚ ὁ αὐτός ἐστιν τῷ τῆς ΘΛ πρὸς τὴν ΘΚ·
ΘΕ, ΗΖ の積の ΘΗ, ΖΕ の積に対する比は、ΘΒ, ∠Γ の積の Θ∠, ΒΓ の積に対する比に等しいことを（示すべきである）。 Θ を通り ΖΓΑ に平行な直線 ΚΛ を引け。 そして ∠Α, ΑΒ がこれに点 Κ, Λ において交わるとせよ。 また Λ を通り ∠Α に平行な直線 ΛΜ を引き、ΕΘ と点 Μ において交わらせよ。 さて、ΕΖ の ΖΑ に対する比は ΕΘ の ΘΛ に対する比に等しく、一方、Α の ΖΗ に対する比は ΘΛ の ΘΜ に対する比に等しいので（実際、平行線において ΘΚ の ΘΗ に対する比に等しいからである）、等比間隔により、ΕΖ の ΖΗ に対する比は、 ΕΘ の ΘΜ に対する比に等しい。 したがって、ΘΕ, ΗΖ の積は ΕΖ, ΘΜ の積に等しい。 そして、任意に取られた別の（積）である ΕΖ, ΘΗ があると、したがって、ΕΘ, ΗΖ の積の ΕΖ, ΗΘ の積に対する比は、ΕΖ, ΘΜ の積の ΕΖ, ΗΘ の積に対する比に等しく、それはすなわち ΘΜ の ΘΗ に対する比であり、それはすなわち ΛΘ の ΘΚ に対する比である。 同じことによってまた、ΚΘ の ΘΛ に対する比は、Θ∠, ΒΓ の積の ΘΒ, Γ∠ の積に対する比に等しい。 したがって、逆にすると、 ΛΘ の ΘΚ に対する比は、ΘΒ, Γ∠ の積の Θ∠, ΒΓ の積に対する比に等しくなる。 しかし、ΛΘ の ΘΚ に対する比は、ΕΘ, Η の積の ΕΖ, ΗΘ の積に対する比に等しいことが示された。 したがってまた、ΕΘ, ΗΖ の積の ΕΖ, ΗΘ の積に対する比は、 ΘΒ, Γ∠ の積の Θ∠, ΒΓ の積に対する比に等しい。 合成比によっては次のようになる。 ΘΕ, ΗΖ の積の ΘΗ, ΖΕ の積に対する比は、ΘΕ の ΕΖ に対する比と、外項の比（すなわち ΖΗ の ΗΘ に対する比）から合成されており、そして、ΘΕ の ΕΖ に対する比は Θ∠ の ΖΑ に対する比に等しく、一方、外項の比（すなわち ΖΗ の ΗΘ に対する比）は ΖΑ の ΘΚ に対する比に等しいので、したがって、ΘΕ, ΗΖ の積の ΘΗ, ΕΖ の積に対する比は、ΘΛ の ΖΑ に対する比と、外項（すなわち ΖΑ の ΘΚ に対する比）から合成されている。 そして、ΘΛ の ΖΑ に対する比と、外項（すなわち ΖΑ の ΘΚ に対する比）から合成された比は、ΘΛ の ΘΚ に対する比と同一である。
ἔστιν ἄρα, ὡς τὸ ὑπὸ ΘΕ, ΗΖ πρὸς τὸ ὑπὸ ΘΗ, ΖΕ, οὕτως ἡ ΘΛ πρὸς τὴν ΘΚ. διὰ ταὐτὰ καί, ὡς τὸ ὑπὸ Θ∠, ΒΓ πρὸς τὸ ὑπὸ ΘΒ, Γ∠, οὕτως ἐστὶν ἡ ΘΚ πρὸς τὴν ΘΛ. καὶ ἀνάπαλίν ἐστιν, ὡς τὸ ὑπὸ ΘΒ, Γ∠ πρὸς τὸ ὑπὸ Θ∠, ΒΓ, οὕτως ἡ ΘΛ πρὸς τὴν ΘΚ. ἦν δὲ καί, ὡς τὸ ὑπὸ τῶν ΘΕ, ΖΗ πρὸς τὸ ὑπὸ ΘΗ, ΖΕ, οὕτως ἡ ΘΛ πρὸς τὴν ΘΚ·
したがって、 ΘΕ, ΗΖ の積の ΘΗ, ΖΕ の積に対する比は、ΘΛ の ΘΚ に対する比に等しい。 同じことによってまた、Θ∠, ΒΓ の積の ΘΒ, Γ∠ の積に対する比は、ΘΚ の ΘΛ に対する比に等しい。 そして、逆にすると、ΘΒ, Γ∠ の積の Θ∠, ΒΓ の積に対する比は、ΘΛ の ΘΚ に対する比に等しい。 しかしまた、 ΘΕ, ΖΗ の積の ΘΗ, ΖΕ の積に対する比は、ΘΛ の ΘΚ に対する比に等しかった。
καὶ ὡς ἄρα τὸ ὑπὸ τῶν ΘΕ, ΖΗ πρὸς τὸ ὑπὸ ΘΗ, ΖΕ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΘΒ, Γ∠ πρὸς τὸ ὑπὸ Θ∠, ΒΓ.
したがってまた、ΘΕ, ΖΗ の積の ΘΗ, ΖΕ の積に対する比は、ΘΒ, Γ∠ の積の Θ∠, ΒΓ の積に対する比に等しい。