§6.36λϚ΄. Ἡμικύκλιον τὸ ἐπὶ τῆς ΑΒ, καὶ παράλληλος τῇ ΑΒ ἡ Γ∠, καὶ κάθετοι ἤχθωσαν αἱ ΓΕ, ∠Η ὅτι ἴση ἐστὶν ἡ ΑΕ τῇ ΗΒ.
εἰλήφοθω τὸ κέντρον τοῦ κύκλου τὸ Ζ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΓΖ, Ζθωσαν ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΖ τῇ Ζ∠·
λϚ΄. ΑΒ上の半円があり、ΑΒに平行なΓΔが引かれ、垂線ΓΕ, ΔΗが下ろされたとする。 このとき、ΑΕはΗΒに等しい。 円の中心Ζが取られ、ΓΖ, ΖΔが結ばれたとせよ。 したがって、ΓΖはΖΔに等しい。
ὥστε καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΓΖ ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς Ζ∠ τετραγώνῳ.
それゆえ、ΓΖ上の正方形もΖΔ上の正方形に等しい。
ἀλλὰ τῷ μὲν ἀπὸ ΓΖ τετραγώνῳ ἴσα ἐστὶν τὰ ἀπὸ τῶν ΓΕ, ΕΖ τετράγωνα, τῷ δὲ ἀπὸ ∠Ζ τετραγώνῳ ἴσα ἐστὶν τὰ ἀπὸ τῶν ∠Η, ΗΖ τετράγωνα·
しかし、ΓΖ上の正方形には、ΓΕ, ΕΖ上の正方形の和が等しく、ΔΖ上の正方形には、ΔΗ, ΗΖ上の正方形の和が等しい。
καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΓΕ, ΕΖ ἄρα τετράγωνα ἴσα ἐστὶν τοῖς ἀπὸ τῶν ΖΗ, Η∠ τετραγώνοις.
したがって、ΓΕ, ΕΖ上の正方形の和も、ΖΗ, ΗΔ上の正方形の和に等しい。
ὧν τὸ ἀπὸ ΓΕ τετράγωνον ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ τῆς ∠Η τετραγώνῳ·
これらのうち、ΓΕ上の正方形はΔΗ上の正方形に等しい。
λοιπὸν ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ τετράγωνον λοιπῷ τῷ ἀπὸ ΖΗ τετραγώνῳ ἐστὶν ἴσον·
ゆえに、残りのΕΖ上の正方形は、残りのΖΗ上の正方形に等しい。
ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΖ τῇ ΖΗ. ἔστιν δὲ καὶ ὅλη ἡ ΑΖ ὅλῃ τῇ ΖΒ ἴση·
したがって、ΕΖはΖΗに等しい。 また全体のΑΖも全体のΖΒに等しい。
λοιπὴ ἄρα ἡ ΑΕ λοιπῇ τῇ ΗΒ ἐστιν ἴση·
ゆえに残りのΑΕは残りのΗΒに等しい。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが示すべきことであった。
§6.37λζ΄. Ἡμικύκλιον τὸ ἐπὶ τῆς ΑΒ, καὶ ἀπὸ τυχόντος τοῦ Γ διήχθω ἡ Γ∠, καὶ κάθετος ἤχθω ἡ ∠Ε ὅτι τὸ ἀπὸ ΑΓ τοῦ ἀπὸ Γ∠ ὑπερέχει τῷ ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ΑΓ, καὶ τῆς ΑΕ.
ὅτι ἄρα τὸ ἀπὸ ΑΓ ἴσον ἐστὶν τῷ τε ἀπὸ ∠Γ, τουτέστιν τοῖς ἀπὸ ∠Ε, ΕΓ καὶ τῷ ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ΑΓΒ καὶ τῆς ΑΕ. ὅτι ἄρα κοινοῦ ἀφαιρεθέντος τοῦ ὑπὸ ΓΑΕ λοιπὸν τὸ ὑπὸ ΑΓE ἴσον ἐστὶν τῷ τε ἀπὸ ∠Ε, τουτέστιν τῷ ὑπὸ ΑΕΒ, καὶ τῷ ἀπὸ ΓΕ καὶ τῷ ὑπὸ ΑΕ, ΓΒ. κοινοῦ ἀφαιρεθέντος τοῦ ἀπὸ ΓΕ, ὅτι λοιπὸν τὸ ὑπὸ ΑΕΓ ἴσον ἐστὶν τῷ τε ὑπὸ ΑΕΒ καὶ τῷ ὑπὸ ΑΕ, ΒΓ ἔστιν δέ.
λζ΄. ΑΒ上の半円があり、任意の点ΓからΓΔが引かれ、垂線ΔΕが下ろされたとする。 このとき、ΑΓ上の正方形は、ΓΔ上の正方形を、ΑΓとΑΕの和とΑΕの包む矩形だけ超過する。 したがって、ΑΓ上の正方形は、ΔΓ上の正方形、すなわちΔΕ, ΕΓ上の正方形の和と、ΑΓ, ΓΒの和とΑΕの包む矩形の和に等しい。 したがって、共通のものとして、ΓΑ, ΑΕの包む矩形が引かれると、残りのΑΓ, ΓΕの包む矩形は、ΔΕ上の正方形、すなわちΑΕ, ΕΒの包む矩形と、ΓΕ上の正方形と、ΑΕ, ΓΒの包む矩形の和に等しい。 共通のものとして、ΓΕ上の正方形が引かれると、残りのΑΕ, ΕΓの包む矩形は、ΑΕ, ΕΒの包む矩形と ΑΕ, ΒΓの包む矩形の和に等しくなる。 そして実際にそうである。
§6.38## Κἰς τὸ πόρισμα τοῦ α΄ βιβλίου.
## 第1巻の系理へ。
λή. Θέσει ὄντος παραλληλογράμμου τοῦ Α∠ ἀπὸ δοθέντος τοῦ Ε διαγαγεῖν τὴν ΕΖ καὶ ποιεῖν ἴσον τὸ ΖΓΗ τρίγωνον τῷ Α∠ παραλληλογράμμῳ.
λή. 平行四辺形ΑΔが位置において与えられているとき、与えられた点ΕからΕΖを引き、三角形ΖΓΗを平行四辺形ΑΔに等しくすること。
γεγονέτω.
なされたとせよ。
ἐπεὶ οὖν ἴσον ἐστὶν τὸ ΖΓΗ τρίγωνον τῷ Α∠ παραλληλογράμμῳ, τὸ δὲ Α∠ παραλληλόγραμμον διπλάσιόν ἐστιν τοῦ ΑΓ∠ τριγώνου, καὶ τὸ ΖΓΗ ἄρα τρίγωνον διπλάσιόν ἐστιν τοῦ ΑΓΔ τριγώνου.
さて、三角形ΖΓΗは平行四辺形ΑΔに等しく、平行四辺形ΑΔは三角形ΑΓΔの二倍であるから、三角形ΖΓΗも三角形ΑΓΔの二倍である。
ὡς δὲ τὸ τρίγωνον πρὸς τὸ τρέγωνον, διὰ τὸ περὶ τὴν αὐτὴν γωνίαν τὴν Γ οὕτως ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΖΓΗ πρὸς τὸ ὑπὸ ΑΓ∠.
角Γを共有するため、三角形の三角形に対する比は、ΖΓ, ΓΗの包む矩形の、ΑΓ, ΓΔの包む矩形に対する比に等しい。
δοθὲν δὲ τὸ ὑπὸ ΑΓ∠ δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ ΖΓΗ. καὶ δοθέντος τοῦ Ε εἰς θέσει τὰς ΑΓ, Γ∠ διῆκται εἰς χωρίου ἀποτομήν· θέσει ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΖ.
συντεθήσεται δὲ οὕτως·
そしてΑΓ, ΓΔの包む矩形は与えられているから、ΖΓ, ΓΗの包む矩形も与えられている。 そして与えられた点Εから、位置において与えられた直線ΑΓ, ΓΔへ直線が引かれ、領域を切り取っているので、ΕΖは位置において与えられている。 合成は次のようになされる。
ἔστω τὸ μὲν τῇ θέσει παραλληλόγραμμον τὸ Α∠, τὸ δὲ δοθὲν τὸ Ε. διήχθω ἀπὸ τοῦ Ε εἰς θέσει τὰς ΖΓΗ εὐθεῖα ἡ ΕΖ ἀποτέμνουσα χωρίον τὸ ΖΓΗ ἴσον δοθέντι χωρίῳ τῷ διπλασίονι τοῦ ΑΓ∠.
平行四辺形ΑΔが位置において与えられ、Εが与えられた点であるとせよ。 点Εから位置において与えられた直線ΓΖ, ΓΗへ、三角形ΖΓΗを、ΑΓΔの二倍に等しい与えられた領域として切り取る直線ΕΖが引かれたとせよ。
καὶ κατὰ τὰ αὐτὰ τῇ ἀναλύσει δείξομεν ἴσον τὸ ΖΓΗ τρίγωνον τῷ Α∠ παραλληλογράμμῳ·
そして解析と同じ方法によって、三角形ΖΓΗが平行四辺形ΑΔに等しいことを示す。
ἡ ΕΖ ἄρα ποιεῖ τὸ πρόβλημα.
したがってΕΖは問題を解決する。
φανερὸν οὖν, ὅτι μόνη, ἐπεὶ κἀκείνη μόνη.
ゆえに、それだけがそうであることは明らかである。 なぜなら、あの直線も一意だからである。