§6.33λγ΄. Κύκλος περὶ διάμετρον τὴν ΑΒ, καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ ΑΒ καὶ ἔστω ἐπὶ τυχοῦσαν τὴν ∠Ε κάθετος, καὶ τῷ ὑπὸ ΑΖΒ ἴσον κείσθω τὸ ἀπὸ ΖΗ τετράγωνον·
λγ΄. 直径がΑΒである円があり、ΑΒが延長され、任意の（直線）∠Εに対する垂線（が引かれ）、ΑΖ, ΖΒの包む矩形に等しい正方形がΖΗの上に置かれたとせよ。
ὅτι, οἷον ἐὰν ληφθῇ σημεῖον ὡς τὸ Ε, καὶ ἀπ᾿ αὐτοῦ ἐπὶ τὸ Η ἐπιζευχθεῖσα ἐκβληθῇ ἐπὶ τὸ Θ, γίνεται καὶ τὸ ὑπὸ ΘΕΚ ἴσον τῷ ἀπὸ ΚΗ τετραγώνῳ.
このとき、ΕΔの上にＥのような任意の点が取られ、それからΗに結ばれた直線ΕΗが延長されてΘに達するなら、ΘΕ, ΕΚの包む矩形もΚΗ上の正方形に等しくなる。
ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΕ, ΒΛ ὀρθὴ ἄρα ἐστὶν ἡ Θ Λ γωνία.
ΑΕ, ΒΛが結ばれたとせよ。 したがって角ΘΛ[Β]は直角である。
ἔστιν δὲ καὶ ἡ Ζ ὀρθή·
またΖも直角である。
τὸ ἄρα ὑπὸ ΑΕΛ ἴσον ἐστὶν τῷ τε ὑπὸ ΑΖΒ καὶ τῷ ἀπὸ ΖΕ τετραγώνῳ.
ゆえに、ΑΕ, ΕΛの包む矩形は、ΑΖ, ΖΒの包む矩形と、ΖΕ上の正方形の和に等しい。
ἀλλὰ τὸ μὲν ὑπὸ ΑΕΛ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ ΘΕΚ, τὸ δὲ ὑπὸ ΑΖΒ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ τετραγώνῳ·
しかし、ΑΕ, ΕΛの包む矩形は、ΘΕ, ΕΚの包む矩形に等しく、ΑΖ, ΖΒの包む矩形は [ΖΗ]上の正方形に等しい。
τὸ ἄρα ὑπὸ ΘΕΚ ἴσον ἐστὶν τοῖς ἀπὸ τῶν ΕΖ, ΖΗ τετραγώνοις, τουτέστιν τῷ ἀπὸ ΕΗ τετραγώνῳ.
したがって、ΘΕ, ΕΚの包む矩形は、ΕΖ, ΖΗ上の正方形の和、すなわちΕΗ上の正方形に等しい。
§6.34λδ΄. Ἔστω, ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως ἡ ΑΔ πρὸς τὴν ∠Γ. καὶ τετμήσθω ἡ ΑΓ δίχα κατὰ τὸ Ε σημεῖον·
λδ΄. ΑΒのΒΓに対する比が、ΑΔのΔΓに対する比に等しいとせよ。 そしてΑΓが点Εにおいて二等分されたとする。
ὅτι γίνεται τρία, τὸ μὲν ὑπὸ ΒΕ∠ ἴσον τῷ ἀπὸ ΕΓ τετραγώνῳ, τὸ δὲ ὑπὸ Β∠Ε τῷ ὑπὸ Α∠Γ, τὸ δὲ ὑπὸ ΑΒΓ τῷ ὑπὸ ΕΒ∠.
このとき、次の三つのことが成り立つ。 第一に、ΒΕ, ΕΔの包む矩形はΕΓ上の正方形に等しいこと、第二に、ΒΔ, ΔΕの包む矩形はΑΔ, ΔΓの包む矩形に等しいこと、第三に、ΑΒ, ΒΓの包む矩形はΕΒ, ΒΔの包む矩形に等しいこと。
ἐπεὶ γάρ, ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως ἡ Α∠ πρὸς τὴν ∠Γ, συνθέντι καὶ τὰ ἡμίση τῶν ἡγουμένων καὶ ἀναστρέψαντι ἄρα ἐστίν, ὡς ἡ ΒΕ πρὸς τὴν ΕΓ, ἡ ΕΓ πρὸς τὴν Ε∠·
なぜなら、ΑΒのΒΓに対する比が、ΑΔのΔΓに対する比に等しいので、加比し、また先行項の半分を取って反転すると、ΒΕのΕΓに対する比は、ΕΓの ΕΔに対する比に等しくなる。
τὸ ἄρα ὑπὸ ΒΕ∠ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ ΕΓ. κοινὸν ἀφῃρήσθω τὸ ἀπὸ ΔΕ τετράγωνον·
したがって、ΒΕ, ΕΔの包む矩形はΕΓ上の正方形に等しい。 共通のものとして、ΔΕ上の正方形が引かれたとせよ。
λοιπὸν ἄρα τὸ ὑπὸ Β∠Ε ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ Α∠Γ. πάλιν τὸ ὑπὸ ΒΕ∠ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ ΕΓ τετραγώνῳ.
ゆえに残りのΒΔ, ΔΕの包む矩形は、ΑΔ, ΔΓの包む矩形に等しい。 再び、ΒΕ, ΕΔの包む矩形はΕΓ上の正方形に等しい。
ἀμφότερα ἀφῃρήσθω ἀπὸ τοῦ ἀπὸ τῆς ΒΕ τετραγώνου·
これら両方が、ΒΕ上の正方形から引かれたとせよ。
λοιπὸν ἄρα τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒΓ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ τῶν ΕΒ∠.
ゆえに残りの ΑΒ, ΒΓの包む矩形は、ΕΒ, ΒΔの包む矩形に等しい。
Ἀλλὰ ἔστω νῦν τὸ ὑπὸ τῶν Β∠Ε ἴσον τῷ ὑπὸ τῶν Α∠Γ, καὶ τετμήσθω δίχα ἡ ΓΑ κατὰ τὸ Ε·
しかし、今度は、ΒΔ, ΔΕの包む矩形が、ΑΔ, ΔΓの包む矩形に等しく、ΓΑがΕにおいて二等分されたとせよ。
ὅτι ἐστίν, ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως ἡ Α∠ πρὸς τὴν ΔΓ.
ἐπεὶ γὰρ τὸ ὑπὸ τῶν Β∠Ε ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ τῶν Α∠Γ, κοινὸν προσκείσθω τὸ ἀπὸ ∠Ε τετράγωνον·
このとき、ΑΒのΒΓに対する比は、ΑΔのΔΓに対する比に等しくなる。 なぜなら、ΒΔ, ΔΕの包む矩形が ΑΔ, ΔΓの包む矩形に等しいので、共通のものとして、ΔΕ上の正方形が加えられたとせよ。
ὅλον ἄρα τὸ ὑπὸ ΒΕ∠ ἴσον τῷ ἀπὸ ΓΕ τετραγώνῳ.
ゆえに全体のΒΕ, ΕΔの包む矩形は、ΓΕ上の正方形に等しい。
ἀνάλογον καὶ ἀναστρέφοντι καὶ δὶς τὰ ἡγούμενα καὶ διελόντι ἄρα ἐστίν, ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως ἡ Α∠ πρὸς τὴν ∠Γ.
比例（式）に直し、反転し、先行項を二倍にし、分離すると、ΑΒのΒΓに対する比は、ΑΔのΔΓに対する比に等しくなる。
§6.35λε΄. Τούτων ὄντων ἔστω κύκλος ὁ περὶ διάμετρον τὴν ΑΒ, καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ ΑΒ, ἔστω δὲ ἐπὶ τυχοῦσαν τὴν ∠Ε κάθετος, καὶ πεποιήσθω, ὡς ἡ ΑΝ πρὸς τὴν ΖΒ, οὕτως ἡ ΑΗ πρὸς τὴν ΗΒ ὅτι πάλιν, οἷον ἐὰν ἐπὶ τῆς ΕΔ σημεῖον ληφθῇ ὡς τὸ Ε, καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΕΗ ἐκβληθῇ ἐπὶ τὸ Θ, γίνεται, ὡς ἡ ΘΕ πρὸς τὴν ΕΚ, οὕτως ἡ ΘΗ πρὸς τὴν ΗΚ.
εἰλήφθω τὸ κέντρον τοῦ κύκλου τὸ Λ, καὶ ἀπὸ τοῦ Λ ἐπὶ τὴν ΕΘ κάθετος ἤχθω ἡ ΛΜ·
λε΄. 以上のことが成り立つとき、直径が ΑΒである円があり、ΑΒが延長され、任意の（直線）∠Εへの垂線（が引かれ）、Α[Ζ]のΖΒに対する比が、ΑΗのΗΒに対する比に等しくされたとせよ。 このとき再び、 ΕΔの上にＥのような任意の点が取られ、結ばれたΕΗがΘに延長されると、ΘΕの ΕΚに対する比は、ΘΗのΗΚに対する比に等しくなる。 円の中心Λが取られ、ΛからΕΘへ垂線ΛΜが引かれたとせよ。
ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΚΜ τῇ ΜΘ. ἐπεὶ δὲ ὀρθή ἔστιν ἑκατέρα τῶν Μ, Ζ γωνιῶν, ἐν κύκλῳ ἐστὶν τὰ Ε, Ζ, Λ, Μ σημεῖα·
したがって、ΚΜはＭΘに等しい。 角Ｍ, Ζの各々は直角であるから、点Ε, Ζ, Λ, Μは円周上にある。
τὸ ἄρα ὑπὸ ΖΗΛ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ τῶν ΕΗΜ. ἀλλὰ τὸ ὑπὸ τῶν ΖΗΛ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ τῶν ΑΗΒ διὰ τὸ εἶναι, ὡς τὴν ΑΖ πρὸς τὴν ΖΒ, οὕτως τὴν ΑΗ πρὸς τὴν ΗΒ, καὶ τετμῆσθαι τὴν ΑΒ δίχα κατὰ τὸ Λ·
ゆえに、ΖΗ, ΗΛの包む矩形は、ΕΗ, ΗΜの包む矩形に等しい。 しかし、ΖΗ, ΗΛの包む矩形は、ΑΗ, ΗΒの包む矩形に等しい。 なぜなら、 ΑΖのΖΒに対する比が、ΑΗのΗΒに対する比に等しく、ΑΒがΛにおいて二等分されているからである。
καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΕΗΜ ἄρα ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ τῶν ΑΗΒ, τουτέστιν·
したがって、ΕΗ, ΗΜの包む矩形も、ΑΗ, ΗΒの包む矩形に等しい。
ἐν κύκλῳ γάρ· τῷ ὑπὸ τῶν ΘΗΚ. καὶ τέτμηται δίχα ἡ ΘΚ κατὰ τὸ Μ·
すなわち（それらは円周上にあるので）ΘΗ, ΗΚの包む矩形に等しい。 そして、 ΘΚはＭにおいて二等分されている。
διὰ δὴ τὸ προγεγραμμένον γίνεται, ὡς ἡ ΘΕ πρὸς τὴν ΕΚ, οὕτως ἡ ΘΗ πρὸς τὴν ΗΚ.
ゆえに、前に書かれたことによって、ΘΕのΕΚに対する比は、ΘΗのΗΚに対する比に等しくなる。