§6.36λϚ΄.
36.
Ἡμικύκλιον τὸ ἐπὶ τῆς ΑΒ, καὶ παράλληλος τῇ ΑΒ ἡ Γ∠, καὶ κάθετοι ἤχθωσαν αἱ ΓΕ, ∠Η ὅτι ἴση ἐστὶν ἡ ΑΕ τῇ ΗΒ.
εἰλήφοθω τὸ κέντρον τοῦ κύκλου τὸ Ζ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΓΖ, Ζθωσαν ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΖ τῇ Ζ∠·
ΑΒ 위에 반원이 있고, ΑΒ에 평행한 ΓΔ가 있으며, 수선 ΓΕ, ΔΗ가 그어졌다고 하자. 이때 ΑΕ가 ΗΒ와 같음을 (보여야 한다). 원의 중심 Ζ가 취해지고, ΓΖ, ΖΔ가 연결되었다고 하자. 그러므로 ΓΖ는 ΖΔ와 같다.
ὥστε καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΓΖ ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς Ζ∠ τετραγώνῳ.
따라서 ΓΖ 위의 정사각형 역시 ΖΔ 위의 정사각형과 같다.
ἀλλὰ τῷ μὲν ἀπὸ ΓΖ τετραγώνῳ ἴσα ἐστὶν τὰ ἀπὸ τῶν ΓΕ, ΕΖ τετράγωνα, τῷ δὲ ἀπὸ ∠Ζ τετραγώνῳ ἴσα ἐστὶν τὰ ἀπὸ τῶν ∠Η, ΗΖ τετράγωνα·
그런데 ΓΖ 위의 정사각형과 같은 것은 ΓΕ, ΕΖ 위의 정사각형들의 합이고, ΔΖ 위의 정사각형과 같은 것은 ΔΗ, ΗΖ 위의 정사각형들의 합이다.
καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΓΕ, ΕΖ ἄρα τετράγωνα ἴσα ἐστὶν τοῖς ἀπὸ τῶν ΖΗ, Η∠ τετραγώνοις.
그러므로 ΓΕ, ΕΖ 위의 정사각형들의 합 역시 ΖΗ, ΔΗ 위의 정사각형들의 합과 같다.
ὧν τὸ ἀπὸ ΓΕ τετράγωνον ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ τῆς ∠Η τετραγώνῳ·
이것들 중 ΓΕ 위의 정사각형은 ΔΗ 위의 정사각형과 같다.
λοιπὸν ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ τετράγωνον λοιπῷ τῷ ἀπὸ ΖΗ τετραγώνῳ ἐστὶν ἴσον·
그러므로 남은 ΕΖ 위의 정사각형은 남은 ΖΗ 위의 정사각형과 같다.
ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΖ τῇ ΖΗ. ἔστιν δὲ καὶ ὅλη ἡ ΑΖ ὅλῃ τῇ ΖΒ ἴση·
그러므로 ΕΖ는 ΖΗ와 같다. 그리고 전체 ΑΖ 역시 전체 ΖΒ와 같다.
λοιπὴ ἄρα ἡ ΑΕ λοιπῇ τῇ ΗΒ ἐστιν ἴση·
그러므로 남은 ΑΕ는 남은 ΗΒ와 같다.
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
이것이 보여야 했던 것이다.
§6.37λζ΄.
37.
Ἡμικύκλιον τὸ ἐπὶ τῆς ΑΒ, καὶ ἀπὸ τυχόντος τοῦ Γ διήχθω ἡ Γ∠, καὶ κάθετος ἤχθω ἡ ∠Ε ὅτι τὸ ἀπὸ ΑΓ τοῦ ἀπὸ Γ∠ ὑπερέχει τῷ ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ΑΓ, καὶ τῆς ΑΕ.
ὅτι ἄρα τὸ ἀπὸ ΑΓ ἴσον ἐστὶν τῷ τε ἀπὸ ∠Γ, τουτέστιν τοῖς ἀπὸ ∠Ε, ΕΓ καὶ τῷ ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ΑΓΒ καὶ τῆς ΑΕ. ὅτι ἄρα κοινοῦ ἀφαιρεθέντος τοῦ ὑπὸ ΓΑΕ λοιπὸν τὸ ὑπὸ ΑΓE ἴσον ἐστὶν τῷ τε ἀπὸ ∠Ε, τουτέστιν τῷ ὑπὸ ΑΕΒ, καὶ τῷ ἀπὸ ΓΕ καὶ τῷ ὑπὸ ΑΕ, ΓΒ. κοινοῦ ἀφαιρεθέντος τοῦ ἀπὸ ΓΕ, ὅτι λοιπὸν τὸ ὑπὸ ΑΕΓ ἴσον ἐστὶν τῷ τε ὑπὸ ΑΕΒ καὶ τῷ ὑπὸ ΑΕ, ΒΓ ἔστιν δέ.
ΑΒ 위에 반원이 있고, 임의의 점 Γ로부터 ΓΔ가 그어지며, 수선 ΔΕ가 그어졌다고 하자. 이때 ΑΓ 위의 정사각형이 ΓΔ 위의 정사각형보다 초과하는 양은, ΑΓ와 ΑΕ의 합과 ΑΕ가 만드는 직사각형과 같음을 (보여야 한다). 그러므로 ΑΓ 위의 정사각형은 ΔΓ 위의 정사각형, 즉 ΔΕ와 ΕΓ 위의 정사각형들의 합과, ΑΓ와 ΓΒ의 합과 ΑΕ가 만드는 직사각형의 합과 같다. 그러므로 공통으로 ΓΑ와 ΑΕ가 만드는 직사각형을 빼면, 남은 ΑΓ와 ΓΕ가 만드는 직사각형은 ΔΕ 위의 정사각형, 즉 ΑΕ와 ΕΒ가 만드는 직사각형과, ΓΕ 위의 정사각형과, ΑΕ와 ΓΒ가 만드는 직사각형의 합과 같다. 공통으로 ΓΕ 위의 정사각형을 빼면, 남은 ΑΕ와 ΓΕ가 만드는 직사각형은 ΑΕ와 ΕΒ가 만드는 직사각형과 ΑΕ와 ΒΓ가 만드는 직사각형의 합과 같다. 그리고 실제로 그러하다.
§6.38## Κἰς τὸ πόρισμα τοῦ α΄ βιβλίου.
## 제1권의 따름정리에 대하여.
λή.
38.
Θέσει ὄντος παραλληλογράμμου τοῦ Α∠ ἀπὸ δοθέντος τοῦ Ε διαγαγεῖν τὴν ΕΖ καὶ ποιεῖν ἴσον τὸ ΖΓΗ τρίγωνον τῷ Α∠ παραλληλογράμμῳ.
평행사변형 ΑΔ가 위치에 있어서 주어졌을 때, 주어진 점 Ε로부터 ΕΖ를 그어 삼각형 ΖΓΗ를 평행사변형 ΑΔ와 같게 만드는 것.
γεγονέτω.
작도되었다고 하자.
ἐπεὶ οὖν ἴσον ἐστὶν τὸ ΖΓΗ τρίγωνον τῷ Α∠ παραλληλογράμμῳ, τὸ δὲ Α∠ παραλληλόγραμμον διπλάσιόν ἐστιν τοῦ ΑΓ∠ τριγώνου, καὶ τὸ ΖΓΗ ἄρα τρίγωνον διπλάσιόν ἐστιν τοῦ ΑΓΔ τριγώνου.
그러면 삼각형 ΖΓΗ는 평행사변형 ΑΔ와 같고, 평행사변형 ΑΔ는 삼각형 ΑΓΔ의 두 배이므로, 삼각형 ΖΓΗ 역시 삼각형 ΑΓΔ의 두 배이다.
ὡς δὲ τὸ τρίγωνον πρὸς τὸ τρέγωνον, διὰ τὸ περὶ τὴν αὐτὴν γωνίαν τὴν Γ οὕτως ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΖΓΗ πρὸς τὸ ὑπὸ ΑΓ∠.
같은 각 Γ를 공유하므로, 삼각형의 삼각형에 대한 비는 ΖΓ와 ΓΗ가 만드는 직사각형의 ΑΓ와 ΓΔ가 만드는 직사각형에 대한 비와 같다.
δοθὲν δὲ τὸ ὑπὸ ΑΓ∠ δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ ΖΓΗ. καὶ δοθέντος τοῦ Ε εἰς θέσει τὰς ΑΓ, Γ∠ διῆκται εἰς χωρίου ἀποτομήν·
그런데 ΑΓ와 ΓΔ가 만드는 직사각형은 주어져 있다. 그러므로 ΖΓ와 ΓΗ가 만드는 직사각형 역시 주어져 있다. 그리고 주어진 점 Ε로부터, 위치에 있어서 주어진 직선 ΑΓ, ΓΔ로 직선이 그어져 넓이를 잘라내고 있으므로, ΕΖ는 위치에 있어서 주어져 있다.
θέσει ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΖ.
συντεθήσεται δὲ οὕτως·
합성은 다음과 같이 될 것이다.
ἔστω τὸ μὲν τῇ θέσει παραλληλόγραμμον τὸ Α∠, τὸ δὲ δοθὲν τὸ Ε. διήχθω ἀπὸ τοῦ Ε εἰς θέσει τὰς ΖΓΗ εὐθεῖα ἡ ΕΖ ἀποτέμνουσα χωρίον τὸ ΖΓΗ ἴσον δοθέντι χωρίῳ τῷ διπλασίονι τοῦ ΑΓ∠.
위치에 있어서 주어진 평행사변형을 ΑΔ라 하고, 주어진 점을 Ε라 하자. Ε로부터 위치에 있어서 주어진 직선 ΓΖ, ΓΗ로 직선 ΕΖ가 그어져, ΑΓΔ의 두 배와 같은 주어진 넓이로 영역 ΖΓΗ를 잘라낸다고 하자.
καὶ κατὰ τὰ αὐτὰ τῇ ἀναλύσει δείξομεν ἴσον τὸ ΖΓΗ τρίγωνον τῷ Α∠ παραλληλογράμμῳ·
그리고 해석과 같은 방식으로 삼각형 ΖΓΗ가 평행사변형 ΑΔ와 같음을 보일 것이다.
ἡ ΕΖ ἄρα ποιεῖ τὸ πρόβλημα.
그러므로 ΕΖ는 문제를 해결한다.
φανερὸν οὖν, ὅτι μόνη, ἐπεὶ κἀκείνη μόνη.
따라서 그것만이 유일함은 분명한데, 왜냐하면 저 직선 역시 유일하기 때문이다.