§6.36λϚ΄. Ἡμικύκλιον τὸ ἐπὶ τῆς ΑΒ, καὶ παράλληλος τῇ ΑΒ ἡ Γ∠, καὶ κάθετοι ἤχθωσαν αἱ ΓΕ, ∠Η ὅτι ἴση ἐστὶν ἡ ΑΕ τῇ ΗΒ.
εἰλήφοθω τὸ κέντρον τοῦ κύκλου τὸ Ζ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΓΖ, Ζθωσαν ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΖ τῇ Ζ∠· ὥστε καὶ τὸ ἀπὸ τῆς ΓΖ ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς Ζ∠ τετραγώνῳ.
36. 设有一在 ΑΒ 上的半圆，ΓΔ 平行于 ΑΒ，并引垂线 ΓΕ、ΔΗ；求证 ΑΕ 等于 ΗΒ。 取圆心为 Ζ，连接 ΓΖ、ΖΔ；因此 ΓΖ 等于 ΖΔ；所以 ΓΖ 上的正方形也等于 ΖΔ 上的正方形。
ἀλλὰ τῷ μὲν ἀπὸ ΓΖ τετραγώνῳ ἴσα ἐστὶν τὰ ἀπὸ τῶν ΓΕ, ΕΖ τετράγωνα, τῷ δὲ ἀπὸ ∠Ζ τετραγώνῳ ἴσα ἐστὶν τὰ ἀπὸ τῶν ∠Η, ΗΖ τετράγωνα· καὶ τὰ ἀπὸ τῶν ΓΕ, ΕΖ ἄρα τετράγωνα ἴσα ἐστὶν τοῖς ἀπὸ τῶν ΖΗ, Η∠ τετραγώνοις.
但是，与 ΓΖ 上的正方形相等的，是 ΓΕ、ΕΖ 上的正方形之和；而与 ΔΖ 上的正方形相等的，是 ΔΗ、ΗΖ 上的正方形之和；因此 ΓΕ、ΕΖ 上的正方形之和也等于 ΖΗ、ΗΔ 上的正方形之和。
ὧν τὸ ἀπὸ ΓΕ τετράγωνον ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ τῆς ∠Η τετραγώνῳ· λοιπὸν ἄρα τὸ ἀπὸ τῆς ΕΖ τετράγωνον λοιπῷ τῷ ἀπὸ ΖΗ τετραγώνῳ ἐστὶν ἴσον· ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΖ τῇ ΖΗ. ἔστιν δὲ καὶ ὅλη ἡ ΑΖ ὅλῃ τῇ ΖΒ ἴση· λοιπὴ ἄρα ἡ ΑΕ λοιπῇ τῇ ΗΒ ἐστιν ἴση· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
在这些之中，ΓΕ 上的正方形等于 ΔΗ 上的正方形；因此余下的 ΕΖ 上的正方形等于余下的 ΖΗ 上的正方形；因此 ΕΖ 等于 ΖΗ。 且整体的 ΑΖ 也等于整体的 ΖΒ；因此余下的 ΑΕ 等于余下的 ΗΒ；这就是所求证的。
§6.37λζ΄. Ἡμικύκλιον τὸ ἐπὶ τῆς ΑΒ, καὶ ἀπὸ τυχόντος τοῦ Γ διήχθω ἡ Γ∠, καὶ κάθετος ἤχθω ἡ ∠Ε ὅτι τὸ ἀπὸ ΑΓ τοῦ ἀπὸ Γ∠ ὑπερέχει τῷ ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ΑΓ, καὶ τῆς ΑΕ.
ὅτι ἄρα τὸ ἀπὸ ΑΓ ἴσον ἐστὶν τῷ τε ἀπὸ ∠Γ, τουτέστιν τοῖς ἀπὸ ∠Ε, ΕΓ καὶ τῷ ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς ΑΓΒ καὶ τῆς ΑΕ. ὅτι ἄρα κοινοῦ ἀφαιρεθέντος τοῦ ὑπὸ ΓΑΕ λοιπὸν τὸ ὑπὸ ΑΓE ἴσον ἐστὶν τῷ τε ἀπὸ ∠Ε, τουτέστιν τῷ ὑπὸ ΑΕΒ, καὶ τῷ ἀπὸ ΓΕ καὶ τῷ ὑπὸ ΑΕ, ΓΒ. κοινοῦ ἀφαιρεθέντος τοῦ ἀπὸ ΓΕ, ὅτι λοιπὸν τὸ ὑπὸ ΑΕΓ ἴσον ἐστὶν τῷ τε ὑπὸ ΑΕΒ καὶ τῷ ὑπὸ ΑΕ, ΒΓ ἔστιν δέ.
37. 设有一在 ΑΒ 上的半圆，从任意点 Γ 引 ΓΔ，并引垂线 ΔΕ；求证 ΑΓ 上的正方形超过 ΓΔ 上的正方形的部分，等于 ΑΓ 与 ΑΕ 之和与 ΑΕ 所包的长方形。 因此，ΑΓ 上的正方形等于 ΔΓ 上的正方形（即 ΔΕ、ΕΓ 上的正方形之和），加上由 ΑΓ 与 ΓΒ 之和与 ΑΕ 所包的长方形。 因此，减去公共的由 ΓΑ 与 ΑΕ 所包的长方形，余下的由 ΑΓ 与 ΓΕ 所包的长方形，等于 ΔΕ 上的正方形（即由 ΑΕ 与 ΕΒ 所包的长方形），加上 ΓΕ 上的正方形，以及由 ΑΕ 与 ΓΒ 所包的长方形。 减去公共的 ΓΕ 上的正方形，余下的由 ΑΕ 与 ΓΕ 所包的长方形，等于由 ΑΕ 与 ΕΒ 所包的长方形，以及由 ΑΕ 与 ΒΓ 所包的长方形之和；而这正是实际情况。
§6.38## Κἰς τὸ πόρισμα τοῦ α΄ βιβλίου.
## 致第一卷系理。
λή. Θέσει ὄντος παραλληλογράμμου τοῦ Α∠ ἀπὸ δοθέντος τοῦ Ε διαγαγεῖν τὴν ΕΖ καὶ ποιεῖν ἴσον τὸ ΖΓΗ τρίγωνον τῷ Α∠ παραλληλογράμμῳ.
38. 设平行四边形 ΑΔ 在位置上给定，从给定的点 Ε 引 ΕΖ，并使三角形 ΖΓΗ 等于平行四边形 ΑΔ。
γεγονέτω.
设已作。
ἐπεὶ οὖν ἴσον ἐστὶν τὸ ΖΓΗ τρίγωνον τῷ Α∠ παραλληλογράμμῳ, τὸ δὲ Α∠ παραλληλόγραμμον διπλάσιόν ἐστιν τοῦ ΑΓ∠ τριγώνου, καὶ τὸ ΖΓΗ ἄρα τρίγωνον διπλάσιόν ἐστιν τοῦ ΑΓΔ τριγώνου.
因为三角形 ΖΓΗ 等于平行四边形 ΑΔ，而平行四边形 ΑΔ 是三角形 ΑΓΔ 的两倍，所以三角形 ΖΓΗ 也是三角形 ΑΓΔ 的两倍。
ὡς δὲ τὸ τρίγωνον πρὸς τὸ τρέγωνον, διὰ τὸ περὶ τὴν αὐτὴν γωνίαν τὴν Γ οὕτως ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΖΓΗ πρὸς τὸ ὑπὸ ΑΓ∠.
由于它们共用角 Γ，正如三角形对三角形的比，等于 ΖΓ 与 ΓΗ 所包长方形对 ΑΓ 与 ΓΔ 所包长方形的比。
δοθὲν δὲ τὸ ὑπὸ ΑΓ∠ δοθὲν ἄρα καὶ τὸ ὑπὸ ΖΓΗ. καὶ δοθέντος τοῦ Ε εἰς θέσει τὰς ΑΓ, Γ∠ διῆκται εἰς χωρίου ἀποτομήν· θέσει ἄρα ἐστὶν ἡ ΕΖ.
συντεθήσεται δὲ οὕτως·
而 ΑΓ 与 ΓΔ 所包的长方形是给定的；因此 ΖΓ 与 ΓΗ 所包的长方形也是给定的。 且从给定的点 Ε，向在位置上给定的直线 ΑΓ、ΓΔ 引线并截取面积；因此 ΕΖ 在位置上是给定的。
ἔστω τὸ μὲν τῇ θέσει παραλληλόγραμμον τὸ Α∠, τὸ δὲ δοθὲν τὸ Ε. διήχθω ἀπὸ τοῦ Ε εἰς θέσει τὰς ΖΓΗ εὐθεῖα ἡ ΕΖ ἀποτέμνουσα χωρίον τὸ ΖΓΗ ἴσον δοθέντι χωρίῳ τῷ διπλασίονι τοῦ ΑΓ∠.
其作法如下：设在位置上给定的平行四边形为 ΑΔ，给定的点为 Ε。 设从 Ε 向在位置上给定的直线 ΓΖ、ΓΗ 引直线 ΕΖ，截取面积 ΖΓΗ，使其等于两倍于 ΑΓΔ 的给定面积。
καὶ κατὰ τὰ αὐτὰ τῇ ἀναλύσει δείξομεν ἴσον τὸ ΖΓΗ τρίγωνον τῷ Α∠ παραλληλογράμμῳ· ἡ ΕΖ ἄρα ποιεῖ τὸ πρόβλημα.
然后我们将按照与解析相同的方式，证明三角形 ΖΓΗ 等于平行四边形 ΑΔ；因此 ΕΖ 完成了该命题。
φανερὸν οὖν, ὅτι μόνη, ἐπεὶ κἀκείνη μόνη.
那么，显然它是唯一的，因为那一条线也是唯一的。