§6.33λγ΄.
33.
Κύκλος περὶ διάμετρον τὴν ΑΒ, καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ ΑΒ καὶ ἔστω ἐπὶ τυχοῦσαν τὴν ∠Ε κάθετος, καὶ τῷ ὑπὸ ΑΖΒ ἴσον κείσθω τὸ ἀπὸ ΖΗ τετράγωνον·
지름이 ΑΒ인 원이 있고, ΑΒ가 연장되며, 임의의 (직선) ∠Ε에 내린 수선이 있고, ΑΖ와 ΖΒ가 만드는 직사각형과 같게 ΖΗ 위의 정사각형이 놓였다고 하자.
ὅτι, οἷον ἐὰν ληφθῇ σημεῖον ὡς τὸ Ε, καὶ ἀπ᾿ αὐτοῦ ἐπὶ τὸ Η ἐπιζευχθεῖσα ἐκβληθῇ ἐπὶ τὸ Θ, γίνεται καὶ τὸ ὑπὸ ΘΕΚ ἴσον τῷ ἀπὸ ΚΗ τετραγώνῳ.
이때 ΕΔ 위에 Ε와 같은 임의의 점이 취해지고, 그것으로부터 Η로 연결된 직선이 Θ로 연장된다면, ΘΕ와 ΕΚ가 만드는 직사각형 역시 ΚΗ 위의 정사각형과 같게 됨을 (보여야 한다).
ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΕ, ΒΛ ὀρθὴ ἄρα ἐστὶν ἡ Θ Λ γωνία.
ΑΕ, ΒΛ이 연결된다고 하자. 그러므로 각 ΘΛ[Β]는 직각이다.
ἔστιν δὲ καὶ ἡ Ζ ὀρθή·
그리고 Ζ 역시 직각이다.
τὸ ἄρα ὑπὸ ΑΕΛ ἴσον ἐστὶν τῷ τε ὑπὸ ΑΖΒ καὶ τῷ ἀπὸ ΖΕ τετραγώνῳ.
그러므로 ΑΕ와 ΕΛ이 만드는 직사각형은 ΑΖ와 ΖΒ가 만드는 직사각형과 ΖΕ 위의 정사각형의 합과 같다.
ἀλλὰ τὸ μὲν ὑπὸ ΑΕΛ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ ΘΕΚ, τὸ δὲ ὑπὸ ΑΖΒ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ τετραγώνῳ·
그런데 ΑΕ와 ΕΛ이 만드는 직사각형은 ΘΕ와 ΕΚ가 만드는 직사각형과 같고, ΑΖ와 ΖΒ가 만드는 직사각형은 [ΖΗ] 위의 정사각형과 같다.
τὸ ἄρα ὑπὸ ΘΕΚ ἴσον ἐστὶν τοῖς ἀπὸ τῶν ΕΖ, ΖΗ τετραγώνοις, τουτέστιν τῷ ἀπὸ ΕΗ τετραγώνῳ.
그러므로 ΘΕ와 ΕΚ가 만드는 직사각형은 ΕΖ와 ΖΗ 위의 정사각형들의 합, 즉 ΕΗ 위의 정사각형과 같다.
§6.34λδ΄.
34.
Ἔστω, ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως ἡ ΑΔ πρὸς τὴν ∠Γ. καὶ τετμήσθω ἡ ΑΓ δίχα κατὰ τὸ Ε σημεῖον·
ΑΒ의 ΒΓ에 대한 비가 ΑΔ의 ∠Γ에 대한 비와 같다고 하자. 그리고 ΑΓ가 점 Ε에서 이등분되었다고 하자.
ὅτι γίνεται τρία, τὸ μὲν ὑπὸ ΒΕ∠ ἴσον τῷ ἀπὸ ΕΓ τετραγώνῳ, τὸ δὲ ὑπὸ Β∠Ε τῷ ὑπὸ Α∠Γ, τὸ δὲ ὑπὸ ΑΒΓ τῷ ὑπὸ ΕΒ∠.
이때 다음의 세 가지가 성립함을 (보여야 한다). 첫째, ΒΕ와 ΕΔ가 만드는 직사각형은 ΕΓ 위의 정사각형과 같고, 둘째, ΒΔ와 ΔΕ가 만드는 직사각형은 ΑΔ와 ΔΓ가 만드는 직사각형과 같고, 셋째, ΑΒ와 ΒΓ가 만드는 직사각형은 ΕΒ와 ΒΔ가 만드는 직사각형과 같다.
ἐπεὶ γάρ, ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως ἡ Α∠ πρὸς τὴν ∠Γ, συνθέντι καὶ τὰ ἡμίση τῶν ἡγουμένων καὶ ἀναστρέψαντι ἄρα ἐστίν, ὡς ἡ ΒΕ πρὸς τὴν ΕΓ, ἡ ΕΓ πρὸς τὴν Ε∠·
왜냐하면 ΑΒ의 ΒΓ에 대한 비가 ΑΔ의 ΔΓ에 대한 비와 같으므로, 합비하고 전항들의 절반을 취하여 반전하면, ΒΕ의 ΕΓ에 대한 비는 ΕΓ의 ΕΔ에 대한 비와 같기 때문이다.
τὸ ἄρα ὑπὸ ΒΕ∠ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ ΕΓ. κοινὸν ἀφῃρήσθω τὸ ἀπὸ ΔΕ τετράγωνον·
그러므로 ΒΕ와 ΕΔ가 만드는 직사각형은 ΕΓ 위의 정사각형과 같다. 공통으로 ΔΕ 위의 정사각형을 빼자.
λοιπὸν ἄρα τὸ ὑπὸ Β∠Ε ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ Α∠Γ. πάλιν τὸ ὑπὸ ΒΕ∠ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ ΕΓ τετραγώνῳ.
그러면 남은 ΒΔ와 ΔΕ가 만드는 직사각형은 ΑΔ와 ΔΓ가 만드는 직사각형과 같다. 다시, ΒΕ와 ΕΔ가 만드는 직사각형은 ΕΓ 위의 정사각형과 같다.
ἀμφότερα ἀφῃρήσθω ἀπὸ τοῦ ἀπὸ τῆς ΒΕ τετραγώνου·
둘 다를 ΒΕ 위의 정사각형에서 빼자.
λοιπὸν ἄρα τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒΓ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ τῶν ΕΒ∠.
그러면 남은 ΑΒ와 브이 가 만드는 직사각형은 ΕΒ와 ΒΔ가 만드는 직사각형과 같다.
Ἀλλὰ ἔστω νῦν τὸ ὑπὸ τῶν Β∠Ε ἴσον τῷ ὑπὸ τῶν Α∠Γ, καὶ τετμήσθω δίχα ἡ ΓΑ κατὰ τὸ Ε·
그러나 이번에는 ΒΔ와 ΔΕ가 만드는 직사각형이 ΑΔ와 ΔΓ가 만드는 직사각형과 같고, ΓΑ가 Ε에서 이등분되었다고 하자.
ὅτι ἐστίν, ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως ἡ Α∠ πρὸς τὴν ΔΓ.
ἐπεὶ γὰρ τὸ ὑπὸ τῶν Β∠Ε ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ τῶν Α∠Γ, κοινὸν προσκείσθω τὸ ἀπὸ ∠Ε τετράγωνον·
이때 ΑΒ의 ΒΓ에 대한 비는 ΑΔ의 ΔΓ에 대한 비와 같음을 (보여야 한다). 왜냐하면 ΒΔ와 ΔΕ가 만드는 직사각형이 ΑΔ와 ΔΓ가 만드는 직사각형과 같으므로, 공통으로 ΔΕ 위의 정사각형을 더하자.
ὅλον ἄρα τὸ ὑπὸ ΒΕ∠ ἴσον τῷ ἀπὸ ΓΕ τετραγώνῳ.
그러면 전체 ΒΕ와 ΕΔ가 만드는 직사각형은 ΓΕ 위의 정사각형과 같다.
ἀνάλογον καὶ ἀναστρέφοντι καὶ δὶς τὰ ἡγούμενα καὶ διελόντι ἄρα ἐστίν, ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως ἡ Α∠ πρὸς τὴν ∠Γ.
비례식으로 만들고, 반전하고, 전항들을 두 배로 하고, 분비하면, ΑΒ의 ΒΓ에 대한 비는 ΑΔ의 ΔΓ에 대한 비와 같다.
§6.35λε΄.
35.
Τούτων ὄντων ἔστω κύκλος ὁ περὶ διάμετρον τὴν ΑΒ, καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ ΑΒ, ἔστω δὲ ἐπὶ τυχοῦσαν τὴν ∠Ε κάθετος, καὶ πεποιήσθω, ὡς ἡ ΑΝ πρὸς τὴν ΖΒ, οὕτως ἡ ΑΗ πρὸς τὴν ΗΒ ὅτι πάλιν, οἷον ἐὰν ἐπὶ τῆς ΕΔ σημεῖον ληφθῇ ὡς τὸ Ε, καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΕΗ ἐκβληθῇ ἐπὶ τὸ Θ, γίνεται, ὡς ἡ ΘΕ πρὸς τὴν ΕΚ, οὕτως ἡ ΘΗ πρὸς τὴν ΗΚ.
εἰλήφθω τὸ κέντρον τοῦ κύκλου τὸ Λ, καὶ ἀπὸ τοῦ Λ ἐπὶ τὴν ΕΘ κάθετος ἤχθω ἡ ΛΜ·
이것이 성립할 때, 지름이 ΑΒ인 원이 있고, ΑΒ가 연장되며, 임의의 (직선) ∠Ε에 내린 수선이 있고, Α[Ζ]의 ΖΒ에 대한 비가 ΑΗ의 ΗΒ에 대한 비와 같게 만들어졌다고 하자. 이때 다시, ΕΔ 위에 Ε와 같은 임의의 점이 취해지고, 연결된 ΕΗ가 Θ로 연장된다면, ΘΕ의 ΕΚ에 대한 비는 ΘΗ의 ΗΚ에 대한 비와 같게 됨을 (보여야 한다). 원 중심 Λ가 취해지고, Λ로부터 ΕΘ에 수선 ΛΜ이 그어졌다고 하자.
ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΚΜ τῇ ΜΘ. ἐπεὶ δὲ ὀρθή ἔστιν ἑκατέρα τῶν Μ, Ζ γωνιῶν, ἐν κύκλῳ ἐστὶν τὰ Ε, Ζ, Λ, Μ σημεῖα·
그러므로 ΚΜ은 ΜΘ와 같다. 각 Μ, Ζ 각각은 직각이므로, 점 Ε, Ζ, Λ, Μ은 한 원 위에 있다.
τὸ ἄρα ὑπὸ ΖΗΛ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ τῶν ΕΗΜ. ἀλλὰ τὸ ὑπὸ τῶν ΖΗΛ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ τῶν ΑΗΒ διὰ τὸ εἶναι, ὡς τὴν ΑΖ πρὸς τὴν ΖΒ, οὕτως τὴν ΑΗ πρὸς τὴν ΗΒ, καὶ τετμῆσθαι τὴν ΑΒ δίχα κατὰ τὸ Λ·
그러므로 ΖΗ와 ΗΛ이 만드는 직사각형은 ΕΗ와 ΗΜ이 만드는 직사각형과 같다. 그런데 ΖΗ와 ΗΛ이 만드는 직사각형은 ΑΗ와 ΗΒ가 만드는 직사각형과 같은데, 왜냐하면 ΑΖ의 ΖΒ에 대한 비는 ΑΗ의 ΗΒ에 대한 비와 같고, ΑΒ가 Λ에서 이등분되어 있기 때문이다.
καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΕΗΜ ἄρα ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ τῶν ΑΗΒ, τουτέστιν· ἐν κύκλῳ γάρ· τῷ ὑπὸ τῶν ΘΗΚ. καὶ τέτμηται δίχα ἡ ΘΚ κατὰ τὸ Μ·
그러므로 ΕΗ와 ΗΜ이 만드는 직사각형 역시 ΑΗ와 ΗΒ가 만드는 직사각형과 같고, 즉—그것들이 한 원 위에 있으므로—ΘΗ와 ΗΚ가 만드는 직사각형과 같다. 그리고 ΘΚ는 Μ에서 이등분되어 있다.
διὰ δὴ τὸ προγεγραμμένον γίνεται, ὡς ἡ ΘΕ πρὸς τὴν ΕΚ, οὕτως ἡ ΘΗ πρὸς τὴν ΗΚ.
그러므로 앞에서 쓴 것에 의해, ΘΕ의 ΕΚ에 대한 비는 ΘΗ의 ΗΚ에 대한 비와 같다.