§6.33λγ΄. Κύκλος περὶ διάμετρον τὴν ΑΒ, καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ ΑΒ καὶ ἔστω ἐπὶ τυχοῦσαν τὴν ∠Ε κάθετος, καὶ τῷ ὑπὸ ΑΖΒ ἴσον κείσθω τὸ ἀπὸ ΖΗ τετράγωνον· ὅτι, οἷον ἐὰν ληφθῇ σημεῖον ὡς τὸ Ε, καὶ ἀπ᾿ αὐτοῦ ἐπὶ τὸ Η ἐπιζευχθεῖσα ἐκβληθῇ ἐπὶ τὸ Θ, γίνεται καὶ τὸ ὑπὸ ΘΕΚ ἴσον τῷ ἀπὸ ΚΗ τετραγώνῳ.
33. 设有一圆，其直径为 ΑΒ，并延长 ΑΒ，设向任意（直线）∠Ε引垂线，且使 ΖΗ 上的正方形等于 ΑΖ 与 ΖΒ 所包长方形；求证，如果在 ΕΔ 上取任意点如 Ε，且从其向 Η 连接的直线延长至 Θ，则 ΘΕ 与 ΕΚ 所包长方形也等于 ΚΗ 上的正方形。
ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΕ, ΒΛ ὀρθὴ ἄρα ἐστὶν ἡ Θ Λ γωνία.
连接 ΑΕ、 ΒΛ；因此角 ΘΛ[Β] 是直角。
ἔστιν δὲ καὶ ἡ Ζ ὀρθή· τὸ ἄρα ὑπὸ ΑΕΛ ἴσον ἐστὶν τῷ τε ὑπὸ ΑΖΒ καὶ τῷ ἀπὸ ΖΕ τετραγώνῳ.
且 Ζ 也是直角；因此 ΑΕ 与 ΕΛ 所包长方形等于 ΑΖ 与 ΖΒ 所包长方形以及 ΖΕ 上的正方形之和。
ἀλλὰ τὸ μὲν ὑπὸ ΑΕΛ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ ΘΕΚ, τὸ δὲ ὑπὸ ΑΖΒ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ τετραγώνῳ· τὸ ἄρα ὑπὸ ΘΕΚ ἴσον ἐστὶν τοῖς ἀπὸ τῶν ΕΖ, ΖΗ τετραγώνοις, τουτέστιν τῷ ἀπὸ ΕΗ τετραγώνῳ.
但是 ΑΕ 与 ΕΛ 所包长方形等于 ΘΕ 与 ΕΚ 所包长方形，而 ΑΖ 与 ΖΒ 所包长方形等于 [ΖΗ] 上的正方形；因此 ΘΕ 与 ΕΚ 所包长方形等于 ΕΖ 与 ΖΗ 上的正方形之和，即 ΕΗ 上的正方形。
§6.34λδ΄.
34. 设正如 ΑΒ 对 ΒΓ 的比，等于 ΑΔ 对 ∠Γ 的比。
Ἔστω, ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως ἡ ΑΔ πρὸς τὴν ∠Γ. καὶ τετμήσθω ἡ ΑΓ δίχα κατὰ τὸ Ε σημεῖον· ὅτι γίνεται τρία, τὸ μὲν ὑπὸ ΒΕ∠ ἴσον τῷ ἀπὸ ΕΓ τετραγώνῳ, τὸ δὲ ὑπὸ Β∠Ε τῷ ὑπὸ Α∠Γ, τὸ δὲ ὑπὸ ΑΒΓ τῷ ὑπὸ ΕΒ∠.
且在点 Ε 处平分 ΑΓ；求证得出三个结论：第一，ΒΕ 与 ΕΔ 所包长方形等于 ΕΓ 上的正方形；第二，ΒΔ 与 ΔΕ 所包长方形等于 ΑΔ 与 ΔΓ 所包长方形；第三，ΑΒ 与 ΒΓ 所包长方形等于 ΕΒ 与 ΒΔ 所包长方形。
ἐπεὶ γάρ, ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως ἡ Α∠ πρὸς τὴν ∠Γ, συνθέντι καὶ τὰ ἡμίση τῶν ἡγουμένων καὶ ἀναστρέψαντι ἄρα ἐστίν, ὡς ἡ ΒΕ πρὸς τὴν ΕΓ, ἡ ΕΓ πρὸς τὴν Ε∠·
因为，由于正如 ΑΒ 对 ΒΓ 的比，等于 ΑΔ 对 ΔΓ 的比，合比、取前项之半、并反之，因此正如 ΒΕ 对 ΕΓ 的比，等于 ΕΓ 对 ΕΔ 的比；因此 ΒΕ 与 ΕΔ 所包长方形等于 ΕΓ 上的正方形。
τὸ ἄρα ὑπὸ ΒΕ∠ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ ΕΓ. κοινὸν ἀφῃρήσθω τὸ ἀπὸ ΔΕ τετράγωνον·
减去公共的 ΔΕ 上的正方形；因此余下的 ΒΔ 与 ΔΕ 所包长方形等于 ΑΔ 与 ΔΓ 所包长方形。
λοιπὸν ἄρα τὸ ὑπὸ Β∠Ε ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ Α∠Γ. πάλιν τὸ ὑπὸ ΒΕ∠ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ ΕΓ τετραγώνῳ.
再者，ΒΕ 与 ΕΔ 所包长方形等于 ΕΓ 上的正方形。
ἀμφότερα ἀφῃρήσθω ἀπὸ τοῦ ἀπὸ τῆς ΒΕ τετραγώνου· λοιπὸν ἄρα τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒΓ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ τῶν ΕΒ∠.
将两者均从 ΒΕ 上的正方形中减去；因此余下的 ΑΒ 与 ΒΓ 所包长方形等于 ΕΒ 与 ΒΔ 所包长方形。
Ἀλλὰ ἔστω νῦν τὸ ὑπὸ τῶν Β∠Ε ἴσον τῷ ὑπὸ τῶν Α∠Γ, καὶ τετμήσθω δίχα ἡ ΓΑ κατὰ τὸ Ε·
但现在设 ΒΔ 与 ΔΕ 所包长方形等于 ΑΔ 与 ΔΓ 所包长方形，且在 Ε 处平分 ΓΑ；求证正如 ΑΒ 对 ΒΓ 的比，等于 ΑΔ 对 ΔΓ 的比。
ὅτι ἐστίν, ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως ἡ Α∠ πρὸς τὴν ΔΓ.
ἐπεὶ γὰρ τὸ ὑπὸ τῶν Β∠Ε ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ τῶν Α∠Γ, κοινὸν προσκείσθω τὸ ἀπὸ ∠Ε τετράγωνον· ὅλον ἄρα τὸ ὑπὸ ΒΕ∠ ἴσον τῷ ἀπὸ ΓΕ τετραγώνῳ.
因为由于 ΒΔ 与 ΔΕ 所包长方形等于 ΑΔ 与 ΔΓ 所包长方形，加上公共的 ΔΕ 上的正方形；因此整体的 ΒΕ 与 ΕΔ 所包长方形等于 ΓΕ 上的正方形。
ἀνάλογον καὶ ἀναστρέφοντι καὶ δὶς τὰ ἡγούμενα καὶ διελόντι ἄρα ἐστίν, ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως ἡ Α∠ πρὸς τὴν ∠Γ.
成比例、反之、前项加倍、并分比，因此正如 ΑΒ 对 ΒΓ 的比，等于 ΑΔ 对 ΔΓ 的比。
§6.35λε΄.
35. 在这些情况下，设有一圆其直径为 ΑΒ，延长 ΑΒ，并向任意（直线）∠Ε引垂线，且使正如 Α[Ζ] 对 ΖΒ 的比，等于 ΑΗ 对 ΗΒ 的比；求证再次得出，如果在 ΕΔ 上取任意点如 Ε，连接 ΕΗ 并延长至 Θ，则正如 ΘΕ 对 ΕΚ 的比，等于 ΘΗ 对 ΗΚ 的比。
Τούτων ὄντων ἔστω κύκλος ὁ περὶ διάμετρον τὴν ΑΒ, καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ ΑΒ, ἔστω δὲ ἐπὶ τυχοῦσαν τὴν ∠Ε κάθετος, καὶ πεποιήσθω, ὡς ἡ ΑΝ πρὸς τὴν ΖΒ, οὕτως ἡ ΑΗ πρὸς τὴν ΗΒ ὅτι πάλιν, οἷον ἐὰν ἐπὶ τῆς ΕΔ σημεῖον ληφθῇ ὡς τὸ Ε, καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΕΗ ἐκβληθῇ ἐπὶ τὸ Θ, γίνεται, ὡς ἡ ΘΕ πρὸς τὴν ΕΚ, οὕτως ἡ ΘΗ πρὸς τὴν ΗΚ.
εἰλήφθω τὸ κέντρον τοῦ κύκλου τὸ Λ, καὶ ἀπὸ τοῦ Λ ἐπὶ τὴν ΕΘ κάθετος ἤχθω ἡ ΛΜ·
取圆心为 Λ，从 Λ 向 ΕΘ 引垂线 ΛΜ；因此 ΚΜ 等于 ΜΘ。
ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ΚΜ τῇ ΜΘ. ἐπεὶ δὲ ὀρθή ἔστιν ἑκατέρα τῶν Μ, Ζ γωνιῶν, ἐν κύκλῳ ἐστὶν τὰ Ε, Ζ, Λ, Μ σημεῖα·
由于角 Μ、Ζ 各自是直角，所以点 Ε、Ζ、Λ、Μ 共圆；因此 ΖΗ 与 ΗΛ 所包长方形等于 ΕΗ 与 ΗΜ 所包长方形。
τὸ ἄρα ὑπὸ ΖΗΛ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ τῶν ΕΗΜ. ἀλλὰ τὸ ὑπὸ τῶν ΖΗΛ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ τῶν ΑΗΒ διὰ τὸ εἶναι, ὡς τὴν ΑΖ πρὸς τὴν ΖΒ, οὕτως τὴν ΑΗ πρὸς τὴν ΗΒ, καὶ τετμῆσθαι τὴν ΑΒ δίχα κατὰ τὸ Λ· καὶ τὸ ὑπὸ τῶν ΕΗΜ ἄρα ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ τῶν ΑΗΒ, τουτέστιν· ἐν κύκλῳ γάρ·
但是 ΖΗ 与 ΗΛ 所包长方形等于 ΑΗ 与 ΗΒ 所包长方形，因为正如 ΑΖ 对 ΖΒ 的比，等于 ΑΗ 对 ΗΒ 的比，且 ΑΒ 在 Λ 处被平分；因此 ΕΗ 与 ΗΜ 所包长方形也等于 ΑΗ 与 ΗΒ 所包长方形，即——因为它们在圆上——等于 ΘΗ 与 ΗΚ 所包长方形。
τῷ ὑπὸ τῶν ΘΗΚ. καὶ τέτμηται δίχα ἡ ΘΚ κατὰ τὸ Μ· διὰ δὴ τὸ προγεγραμμένον γίνεται, ὡς ἡ ΘΕ πρὸς τὴν ΕΚ, οὕτως ἡ ΘΗ πρὸς τὴν ΗΚ.
且 ΘΚ 在 Μ 处被平分；因此由前文所写，正如 ΘΕ 对 ΕΚ 的比，等于 ΘΗ 对 ΗΚ 的比。