§6.29κθ΄. Τμήματος δοθέντος τοῦ ἐπὶ τῆς ΑΒ κλάσαι εὐθεῖαν θεῖαν τὴν ΑΓΒ ἐν λόγῳ τῷ δοθέντι.
κθ΄. ΑΒ上の与えられた円弧において、与えられた比を持つ折れ線ΑΓΒを引くこと。
γεγονέτω, καὶ διήχθω ἀπὸ τοῦ Γ ἐφαπτομένη ἡ Γ∠ ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ ΑΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΓ, οὕτως ἡ Α∠ πρὸς ∠ Β. λόγος δὲ τοῦ ἀπὸ ΑΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΒ, δοθείς·
それがなされたとせよ。 そしてΓから接線Γ∠が引かれたとせよ。 すると、ΑΓの平方のΒΓの平方に対する比は、Α∠の ∠Βに対する比に等しい。 そして、ΑΓの平方のΓΒの平方に対する比は与えられている。
ὥστε καὶ ὁ τῆς Α∠ πρὸς τὴν Β∠ δοθείς.
したがって、Α∠のΒ∠に対する比も与えられている。
καί ἐστιν δύο δοθέντα τὰ Α, Β·
そして二つの与えられた（点）Α, Βがある。
δοθὲν ἄρα ἐστὶν τὸ ∠·
ゆえに∠も与えられている。
ὥστε καὶ τὸ Γ δοθέν.
したがってΓも与えられている。
Συντεθήσεται δὴ τὸ πρόβλημα οὕτως.
問題は次のように構成されるであろう。
ἔστω τὸ μὲν τμῆμα τὸ ΑΒΓ, ὁ δὲ λόγος ὁ τῆς πρὸς τὴν Ζ, καὶ πεποιήσθω, ὡς τὸ ἀπὸ Ε πρὸς τὸ ἀπὸ Ζ, οὕτως ἡ Α∠ πρὸς τὴν ∠Β, καὶ ἤχθω ἐφαπτομένη ἡ ∠Γ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΓ, ΓΒ. λέγω, ὅτι αἱ ΑΓ, ΓΒ ποιοῦσι τὸ πρόβλημα.
円弧をΑΒΓとし、比を[Ε]のΖに対する比とし、Εの平方のΖの平方に対する比が、Α∠の ∠Βに対する比に等しくなるようにされ、接線∠Γが引かれ、ΑΓ, ΓΒが結ばれたとせよ。 私は、ΑΓ, ΓΒが問題を満たすと主張する。
ἐπεὶ γάρ ἐστιν, ὡς τὸ ἀπὸ Ε πρὸς τὸ ἀπὸ Ζ, οὕτως ἡ Α∠ πρὸς τὴν ∠Β, ὡς δὲ ἡ Α∠ πρὸς τὴν ∠Β, οὕτως τὸ ἀπὸ ΑΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΒ διὰ τὸ ἔφάπτεσθαι τὴν ΓΔ, καὶ ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ Ε πρὸς τὸ ἀπὸ Ζ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΑΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΒ ὥστε καί, ὡς ἡ πρὸς τὴν Ζ, οὕτως ἡ ΑΓ πρὸς τὴν ΓΒ. ἡ ΑΓΒ ἄρα ποιεῖ τὸ πρόβλημα.
なぜなら、Εの平方のΖの平方に対する比が、Α∠の∠Βに対する比に等しく、Α∠の∠Βに対する比は、ΓΔが接していることにより、 ΑΓの平方のΓΒの平方に対する比に等しいからである。 したがってまた、Εの平方のΖの平方に対する比は、ΑΓの平方のΓΒの平方に対する比に等しい。 ゆえにまた、[Ε]のΖに対する比は、ΑΓのΓΒに対する比に等しい。 したがって、折れ線ΑΓΒは問題を満たす。
§6.30λ΄. Κύκλος, οὗ διάμετρος ἡ ΑΒ, καὶ ἀπὸ τυχόντος ἐπ᾿ αὐτὴν κάθετος ἡ ∠Ε, διήχθω ἡ ∠Ζ, ἐπεζεύχθω ἡ ΕΖ καὶ ἐκβεβλήσθω, καί, καθ᾿ ὃ συμπίπτει τῇ διαμέτρῳ, ἔστω τὸ Η·
λ΄. 直径がΑΒである円があり、その上の任意の（点）からこれ（直径）へ下ろした垂線を∠Εとし、∠Ζが引かれ、ΕΖが結ばれて延長され、それが直径と交わる点をΗとせよ。
ὅτι ἐστίν, ὡς ἡ ΑΗ πρὸς τὴν ΗΒ, οὕτως ἡ ΑΘ πρὸς τὴν ΘΒ.
ἐπεζεύχθωσαν αἱ ∠Α, ΑΕ, ΑΖ.
ἐπεὶ οὖν ἐπὶ διάμετρον κάθετος ἡ ∠Ε, ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ∠ΑΒ τῇ ὑπὸ ΒΑΕ. ἀλλ᾿ ἡ ὑπὸ ∠ΑΒ τῇ ἐν τῷ αὐτῷ τμήματι ἴση ἐστὶν τῇ ὑπὸ ΘΖΒ, ἡ δὲ ὑπὸ ΒΑΕ ἴση ἐστὶν τῇ ἐκτὸς τετραπλεύρου τῇ ὑπὸ ΒΖΗ καὶ ἡ ὑπὸ ΘΖΒ ἄρα γωνία ἴση ἐστὶν τῇ ὑπὸ ΒΖΗ. καί ἐστιν ὀρθὴ ἡ ὑπὸ ΑΖΒ γωνία·
このとき、ΑΗのΗΒに対する比は、ΑΘのΘΒに対する比に等しい。 ∠Α, ΑΕ, ΑΖが結ばれたとせよ。 さて、∠Εは直径に対する垂線であるから、角∠ΑΒは角ΒΑΕに等しい。 しかし、角∠ΑΒは、同じ円弧における角ΘΖΒに等しく、角ΒΑΕは、内接四角形の外角である角ΒΖΗに等しい。 したがって、角 ΘΖΒも角ΒΖΗに等しい。 そして角ΑΖΒは直角である。
διὰ δὴ τὸ λῆμμα γίνεται, ὡς ἡ ΑΗ πρὸς τὴν ΗΒ, οὕτως ἡ Α πρὸς τὴν ΒΘ.
ゆえに補題によって、ΑΗのΗΒに対する比は、Α[Θ]の[Θ]Βに対する比に等しくなる。
§6.31λα΄. Ἡμικύκλιον τὸ ἐπὶ τῆς ΑΒ, καὶ ἀπὸ τῶν Α,Β σημείων τῇ ΑΒ πρὸς ὀρθὰς γωνίας εὐθεῖαι γραμμαὶ ἤχθωσαν αἱ ΒΔ, ΑΕ, καὶ ἤχθω τυχοῦσα ἡ ΔΕ, καὶ ἀπὸ τοῦ τῇ ∠Ε πρὸς ὀρθὰς γωνίας εὐθεῖα γραμμὴ ἡ ΖΗ συμπιπτέτω τῇ ΑΒ κατὰ τὸ Η ὅτι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕ, ΒΔ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ τῶν ΑΗΒ.
ὅτι ἄρα ἐστίν, ὡς ἡ ΕΑ πρὸς τὴν ΑΗ, οὕτως ἡ ΗΒ πρὸς τὴν Β∠.
λα΄. ΑΒ上の半円があり、点Α, ΒからΑΒに対して直角に直線 ΒΔ, ΑΕが引かれ、任意の直線ΔΕが引かれ、また[Ζ]から∠Εに対して直角に直線ΖΗが引かれて、ΑΒとΗにおいて交わるとせよ。 このとき、ΑΕ, ΒΔの包む長方形は、ΑΗ, ΗΒの包む長方形に等しい。 すなわち、ΕΑのΑΗに対する比は、ΗΒの Β∠に対する比に等しい。
περὶ ἴσας γωνίας ἀνάλογόν εἰσιν αἱ πλευραί·
等しい角を挟む辺は比例する。
ὅτι ἄρα ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ τῶν ΑΗΕ γωνία τῇ ὑπὸ τῶν ΒΔΗ γωνίᾳ.
すなわち、角ΑΗΕは角ΒΔΗに等しい。
ἀλλὰ ἡ μὲν ὑπὸ ΑΗΕ ἴση ἐστὶν ἐν τῷ αὐτῷ τμήματι τῇ ὑπὸ ΑΖΕ, ἡ δὲ ὑπὸ Β∠Η πάλιν ἐν τῷ αὐτῷ τμήματι τῇ ὑπὸ ΒΖΗ ὅτι ἄρα ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΖΕ γωνία τῇ ὑπὸ ΒΖΗ γωνίᾳ.
しかし、角ΑΗΕは、同じ円弧において角ΑΖΕに等しく、角Β∠Ηもまた、同じ円弧において角ΒΖΗに等しい。 したがって、角 ΑΖΕは角ΒΖΗに等しい。
ἔστιν δέ·
そして、実際にそうである。
ὀρθὴ γάρ ἐστιν ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΑΖΒ, ΕΖΗ γωνιῶν.
なぜなら、角ΑΖΒ, ΕΖΗの各々は直角だからである。
§6.32τῷ ΑΒΓ τριγώνῳ, κοινοῦ δ᾿ ἀφαιρουμένου τοῦ ΑΒΕ λοιπὸν τὸ ∠ΑΕ λοιπῷ τῷ ΑΓE ἐστιν ἴσον καί ἐστιν ἐπὶ τῆς αὐτῆς βάσεως.
三角形ΑΒΓにおいて、共通のΑΒΕが引かれると、残りの∠ΑΕは残りのΑΓΕに等しく、それらは同じ底辺の上にある。