§6.3γ΄. Εἰς τρεῖς εὐθείας τὰς ΑΒ, ΓΑ, ∠Α διήχθωσαν δύο εὐθεῖαι αἱ ΘΕ. Θ∠· ὅτι ἐστίν, ὡς τὸ ὑπὸ ΘΕ ΗΖ πρὸς τὸ ὑπὸ ΘΗ, ΖΕ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΘΒ, ∠Γ πρὸς τὸ ὑπὸ Θ∠, ΒΓ.
ἤχθω διὰ μὲν τοῦ Θ τῇ ΖΓΑ παράλληλος ἡ ΚΛ, καὶ αἱ ∠Α, ΑΒ συμπιπτέτωσαν αὐτῇ κατὰ τὰ Κ, Λ σημεῖα, διὰ δὲ τοῦ Λ τῇ ∠Α παράλληλος ἡ ΛΜ καὶ συμπιπτέ τω τῇ ΕΘ ἐπὶ τὸ Μ.
ἐπεὶ οὖν ἐστιν, ὡς μὲν ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΖΑ, οὕτως ἡ ΕΘ πρὸς τὴν ΘΛ, ὡς δὲ ἡ Α πρὸς τὴν ΖΗ, οὕτως ἡ ΘΛ πρὸς τὴν ΘΜ καὶ γὰρ ἡ Θ Κ πρὸς τὴν ΘΗ ἐν παραλλήλῳ·
3. 设两条直线 ΘΕ、Θ∠ 穿过三条直线 ΑΒ、ΓΑ、∠Α；（求证）ΘΕ 与 ΗΖ 的积对 ΘΗ 与 ΖΕ 的积的比，等于 ΘΒ 与 ∠Γ 的积对 Θ∠ 与 ΒΓ 的积的比。 过 Θ 作平行于 ΖΓΑ 的直线 ΚΛ，并让 ∠Α、ΑΒ 与其相交于点 Κ、Λ；过 Λ 作平行于 ∠Α 的直线 ΛΜ，并让其与 ΕΘ 相交于点 Μ。 因为，若 ΕΖ 对 ΖΑ 的比等于 ΕΘ 对 ΘΛ 的比，而 Α 对 ΖΗ 的比等于 ΘΛ 对 ΘΜ 的比（因为确实，在平行线中，这等于 ΘΚ 对 ΘΗ 的比）；所以通过等比，ΕΖ 对 ΖΗ 的比等于 ΕΘ 对 ΘΜ 的比。
διίσου ἄρα ἐστίν, ὡς ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΖΗ, οὕτως ἡ ΕΘ πρὸς τὴν ΘΜ. τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΘΕ, ΗΖ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ τῶν ΕΖ, ΘΜ. ἄλλο δέ τι τυχὸν τὸ ὑπὸ τῶν ΕΖ, ΘΗ ἔστιν ἄρα, ὡς τὸ ὑπὸ τῶν ΕΘ, ΗΖ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΕΖ, ΗΘ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΕΖ, ΘΜ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΖ, ΗΘ, τουτέστιν ἡ ΘΜ πρὸς ΘΗ, τουτέστιν ἡ ΛΘ πρὸς τὴν ΘΚ. κατὰ τὰ αὐτὰ καί, ὡς ἡ ΚΘ πρὸς τὴν ΘΛ, οὕτως τὸ ὑπὸ Θ∠, ΒΓ πρὸς τὸ ὑπὸ ΘΒ, Γ∠ ἀνάπαλιν ἄρα γίνεται, ὡςἡ ΛΘπρὸς τὴν ΘΚ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΘΒ, Γ∠ πρὸς τὸ ὑπὸ Θ∠, ΒΓ. ὡς δὲ ἡ ΛΘ πρὸς τὴν Θ Κ, οὕτως ἐδείχθη τὸ ὑπὸ ΕΘ, Η πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΖ, ΗΘ καὶ ὡς ἄρα τὸ ὑπὸ ΕΘ, ΗΖ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΖ, ΗΘ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΘΒ, Γ∠ πρὸς τὸ ὑπὸ Θ∠, ΒΓ.
Διὰ δὲ τοῦ συνημμένου οὕτως·
因此，ΘΕ 与 ΗΖ 的积等于 ΕΖ 与 ΘΜ 的积。 设另有任意取的 ΕΖ 与 ΘΗ 的积，因此，ΕΘ 与 ΗΖ 的积对 ΕΖ 与 ΗΘ 的积的比，等于 ΕΖ 与 ΘΜ 的积对 ΕΖ 与 ΗΘ 的积的比，即 ΘΜ 对 ΘΗ 的比，也就是 ΛΘ 对 ΘΚ 的比。 同理，ΚΘ 对 ΘΛ 的比等于 Θ∠ 与 ΒΓ 的积对 ΘΒ 与 Γ∠ 的积的比；因此通过反比， ΛΘ 对 ΘΚ 的比等于 ΘΒ 与 Γ∠ 的积对 Θ∠ 与 ΒΓ 的积的比。 但正如已证明的，ΛΘ 对 ΘΚ 的比等于 ΕΘ 与 Η 的积对 ΕΖ 与 ΗΘ 的积的比；因此，ΕΘ 与 ΗΖ 的积对 ΕΖ 与 ΗΘ 的积的比，也等于 ΘΒ 与 Γ∠ 的积对 Θ∠ 与 ΒΓ 的积的比。
ἐπεὶ ὁ τοῦ ὑπὸ ΘΕ, ΗΖ πρὸς τὸ ὑπὸ ΘΗ, ΖΕ συνῆπται λόγος ἔκ τε τοῦ, ὃν ἔχει ἡ ΘΕ πρὸς τὴν ΕΖ, καὶ τοῦ, ὃν ἔχει ἡ ΖΗ πρὸς τὴν ΗΘ, καί ἐστιν, ὡς μὲν ἡ ΘΕ πρὸς τὴν ΕΖ, οὕτως ἡ Θ∠ πρὸς τὴν ΖΑ, ὡς δὲ ἡ ΖΗ πρὸς τὴν ΗΘ, οὕτως ἡ ΖΑ πρὸς τὴν ΘΚ, το ἄρα ὑπὸ ΘΕ, ΗΖ προς το ὑπὸ ΘΗ, ΕΖ συνῆπται ἔκ τε τοῦ, ὃν ἔχει ἡ ΘΛ πρὸς τὴν ΖΑ, καὶ τοῦ ὃν ἔχει ἡ ΖΑ πρὸς τὴν ΘΚ. ὁ δὲ συνημμένος ἔκ τε τοῦ τῆς ΘΛ πρὸς τὴν ΖΑ καὶ τοῦ τῆς ΖΑ πρὸς τὴν ΘΚ ὁ αὐτός ἐστιν τῷ τῆς ΘΛ πρὸς τὴν ΘΚ·
而通过复比则如下：因为 ΘΕ 与 ΗΖ 的积对 ΘΗ 与 ΖΕ 的积的比，是由 ΘΕ 对 ΕΖ 的比与 ΖΗ 对 ΗΘ 的比合成的，且 ΘΕ 对 ΕΖ 的比等于 Θ∠ 对 ΖΑ 的比，而 ΖΗ 对 ΗΘ 的比等于 ΖΑ 对 ΘΚ 的比，因此，ΘΕ 与 ΗΖ 的积对 ΘΗ 与 ΕΖ 的积的比，是由 ΘΛ 对 ΖΑ 的比与 ΖΑ 对 ΘΚ 的比合成的。 而由 ΘΛ 对 ΖΑ 的比与 ΖΑ 对 ΘΚ 的比合成的比，与 ΘΛ 对 ΘΚ 的比相同；因此， ΘΕ 与 ΗΖ 的积对 ΘΗ 与 ΖΕ 的积的比等于 ΘΛ 对 ΘΚ 的比。
ἔστιν ἄρα, ὡς τὸ ὑπὸ ΘΕ, ΗΖ πρὸς τὸ ὑπὸ ΘΗ, ΖΕ, οὕτως ἡ ΘΛ πρὸς τὴν ΘΚ. διὰ ταὐτὰ καί, ὡς τὸ ὑπὸ Θ∠, ΒΓ πρὸς τὸ ὑπὸ ΘΒ, Γ∠, οὕτως ἐστὶν ἡ ΘΚ πρὸς τὴν ΘΛ. καὶ ἀνάπαλίν ἐστιν, ὡς τὸ ὑπὸ ΘΒ, Γ∠ πρὸς τὸ ὑπὸ Θ∠, ΒΓ, οὕτως ἡ ΘΛ πρὸς τὴν ΘΚ. ἦν δὲ καί, ὡς τὸ ὑπὸ τῶν ΘΕ, ΖΗ πρὸς τὸ ὑπὸ ΘΗ, ΖΕ, οὕτως ἡ ΘΛ πρὸς τὴν ΘΚ· καὶ ὡς ἄρα τὸ ὑπὸ τῶν ΘΕ, ΖΗ πρὸς τὸ ὑπὸ ΘΗ, ΖΕ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΘΒ, Γ∠ πρὸς τὸ ὑπὸ Θ∠, ΒΓ.
同理，Θ∠ 与 ΒΓ 的积对 ΘΒ 与 Γ∠ 的积的比等于 ΘΚ 对 ΘΛ 的比。 且通过反比，ΘΒ 与 Γ∠ 的积对 Θ∠ 与 ΒΓ 的积的比等于 ΘΛ 对 ΘΚ 的比。 但先前亦有， ΘΕ 与 ΖΗ 的积对 ΘΗ 与 ΖΕ 的积的比等于 ΘΛ 对 ΘΚ 的比；因此，ΘΕ 与 ΖΗ 的积对 ΘΗ 与 ΖΕ 的积的比，也等于 ΘΒ 与 Γ∠ 的积对 Θ∠ 与 ΒΓ 的积的比。