§6.1α΄. Ἔστω καταγραφὴ ἡ ΑΒΓ∠ΕΖΗ, καὶ ἔστω, ὡς ἡ ΑΖ πρὸς τὴν ΖΗ, οὕτως ἡ Α∠ πρὸς τὴν ∠Γ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΘΚ ὅτι παράλληλός ἐστιν ἡ ΘΚ τῇ ΑΓ.
ἤχθω διὰ τοῦ Ζ τῇ Β∠ παράλληλος ἡ ΖΛ.
ἐπεὶ οὖν ἔστιν, ὡς ἡ ΑΖ πρὸς τὴν ΖΗ, οὕτως ἡ Α∠ πρὸς τὴν ∠Γ ἀνάπαλιν καὶ συνθέντι καὶ ἐναλλάξ ἐστιν, ὡς ἡ ∠Α πρὸς τὴν ΑΖ, τουτέστιν ἐν παραλλήλῳ ὡς ἡ ΒΑ πρὸς τὴν ΑΛ, οὕτως ἡ ΓΑ πρὸς τὴν ΑΗ παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΛΗ τῇ ΒΓ ἔστιν ἄρα, ὡς ἡ ΕΒ πρὸς τὴν ΒΛ, οὕτως ἐν παραλλήλῳ ἡ ΕΘ πρὸς τὴν ΘΗ. ἔστι δὲ καί, ὡς ἡ ΕΒ πρὸς τὴν ΒΛ, οὕτως ἐν παραλλήλῳ ἡ ΕΚ πρὸς τὴν ΚΖ καὶ ὡς ἄρα ἡ ΕΚ πρὸς τὴν ΚΖ, οὕτως ἐστὶν ἡ ΕΘ πρὸς τὴν ΘΗ. παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΘΚ τῇ ΑΓ.
Διὰ δὲ τοῦ συνημμένου οὕτως·
α΄. 図を ΑΒΓ∠ΕΖΗ とせよ。 そして ΑΖ の ΖΗ に対する比は Α∠ の ∠Γ に対する比に等しいとせよ。 そして ΘΚ が結ばれているとせよ。 ΘΚ が ΑΓ に平行であることを（示すべきである）。 Ζ を通り Β∠ に平行な直線 ΖΛ を引け。 さて、ΑΖ の ΖΗ に対する比は Α∠ の ∠Γ に対する比に等しいので、逆にして、加えて、交互にすることにより、∠Α の ΑΖ に対する比、すなわち平行線において ΒΑ の ΑΛ に対する比は、ΓΑ の ΑΗ に対する比に等しい。 したがって ΛΗ は ΒΓ に平行である。 したがって、ΕΒ の ΒΛ に対する比は、平行線において ΕΘ の ΘΗ に対する比に等しい。 しかしまた、ΕΒ の ΒΛ に対する比は、平行線において ΕΚ の ΚΖ に対する比に等しく、したがって ΕΚ の ΚΖ に対する比は、ΕΘ の ΘΗ に対する比に等しい。 したがって ΘΚ は ΑΓ に平行である。 合成比によっては次のように（示される）。
ἐπεί ἐστιν, ὡς ἡ ΑΖ πρὸς τὴν ΖΗ, οὕτως ἡ Α∠ πρὸς τὴν ∠Γ. ἀνάπαλίν ἐστιν, ὡς ἡ ΗΖ πρὸς τὴν ΖΑ, οὕτως ἡ Γ∠ πρὸς τὴν ∠Α. συνθέντι καὶ ἐναλλὰξ καὶ ἀναστρέψαντί ἐστιν, ὡς ἡ Α∠ πρὸς τὴν ∠Ζ, οὕτως ἡ ΑΓ πρὸς τὴν ΓΗ. ἀλλʼ ὁ μὲν τῆς Α∠ πρὸς τὴν ∠Ζ συνῆπται ἔκ τε τοῦ τῆς ΑΒ πρὸς τὴν ΒΕ καὶ τοῦ τῆς ΕΚ πρὸς τὴν ΚΖ, ὁ δὲ τῆς ΑΓ πρὸς τὴν ΓΗ ἔκ τε τοῦ τῆς Α Β πρὸς τὴν ΒΕ καὶ τοῦ τῆς ΕΘ πρὸς τὴν ΘΗ ὁ ἄρα συνημμένος λόγος ἔκ τε τοῦ, ὃν ἔχει ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΕ, καὶ ἡ ΕΚ πρὸς τὴν ΚΖ, ὁ αὐτός ἔστιν τῷ συνημμένῳ ἔκ τε τοῦ, ὃν ἔχει ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΕ, καὶ ἡ ΕΘ πρὸς τὴν ΘΗ. καὶ κοινὸς ἐκκεκρούσθω ὁ τῆς ΑΒ πρὸς τὴν ΒΕ λόγος·
ΑΖ の ΖΗ に対する比は Α∠ の ∠Γ に対する比に等しいので、逆にして、ΗΖ の ΖΑ に対する比は Γ∠ の ∠Α に対する比に等しい。 加えて、交互にして、反転することにより、Α∠ の ∠Ζ に対する比は、ΑΓ の ΓΗ に対する比に等しい。 しかし、Α∠ の ∠Ζ に対する比は、ΑΒ の ΒΕ に対する比と、ΕΚ の ΚΖ に対する比から合成されており、一方、ΑΓ の ΓΗ に対する比は、ΑΒ の ΒΕ に対する比と、 ΕΘ の ΘΗ に対する比から合成されている。 したがって、ΑΒ の ΒΕ に対する比と、ΕΚ の ΚΖ に対する比から合成された比は、ΑΒ の ΒΕ に対する比と、ΕΘ の ΘΗ に対する比から合成された比と同一である。 そして、共通の比である ΑΒ の ΒΕ に対する比を取り除こう。
λοιπὸν ἄρα ὁ τῆς ΕΚ πρὸς τὴν ΚΖ λόγος ὁ αὐτός ἐστιν τῷ τῆς ΕΘ πρὸς τὴν ΘΗ. παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΘΚ τῇ ΑΓ.
したがって残された比である ΕΚ の ΚΖ に対する比は、ΕΘ の ΘΗ に対する比と同一である。 したがって ΘΚ は ΑΓ に平行である。
§6.2## Εἰς τὸ δεύτερον πόρισμα.
## 第二のポリス（マ）に対して。
β΄.
β΄. 図を ΑΒΓ∠ΕΖΗΘ とせよ。
Καταγραφὴ ἡ ΑΒΓ∠ΕΖΗΘ, ἔστω δὲ παράλληλος ἡ ΑΖ τῇ ∠Β, ὡς δὲ ἡ ΑΕ πρὸς τὴν ΕΖ, οὕτως ἡ ΓΗ πρὸς τὴν ΗΖ ὅτι εὐθεῖά ἐστιν ἡ διὰ τῶν Θ, Κ, Ζ.
ἤχθω διὰ τοῦ Η παρὰ τὴν ∠Ε ἡ ΗΛ, καὶ ἐπιζευχθεῖσα ἡ ΘΚ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Λ.
ἐπεῖ οὖν ἐστιν, ὡς ἡ ΑΕ πρὸς τὴν ΕΖ, οὕτως ἡ ΓΗ πρὸς τὴν ΗΖ, ἐναλλάξ ἐστιν, ὡς ἡ ΑΕ πρὸς τὴν ΓΗ οὕτως ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΖΗ. ὡς δὲ ἡ ΑΕ πρὸς τὴν ΓΗ οὕτως ἡ ΕΘ πρὸς τὴν ΗΛ καὶ ὡς ἀρα ἡ Ε πρὸς τὴν ΖΕ, οὕτως ἡ ΕΘ πρὸς τὴν ΗΛ. καί ἔστι παράλληλος ἡ ΕΘ τῇ ΗΛ·
そして ΑΖ は ∠Β に平行であり、ΑΕ の ΕΖ に対する比は ΓΗ の ΗΖ に対する比に等しいとせよ。 Θ, Κ, Ζ を通る（線）が直線であることを（示すべきである）。 Η を通り ∠Ε に平行な直線 ΗΛ を引き、結ばれた ΘΚ を Λ まで延長せよ。 さて、ΑΕ の ΕΖ に対する比は ΓΗ の ΗΖ に対する比に等しいので、交互にすることにより、ΑΕ の ΓΗ に対する比は ΕΖ の ΖΗ に対する比に等しい。 しかし、ΑΕ の ΓΗ に対する比は ΕΘ の ΗΛ に対する比に等しく、したがって、ΕΖ の ΖΗ に対する比は、ΕΘ の ΗΛ に対する比に等しい。 そして、ΕΘ は ΗΛ に平行である。
εὐθεῖα ἄρα ἐστὶν ἡ διὰ τῶν Θ, Λ, Ζ·
したがって、Θ, Λ, Ζ を通る（線）は直線である。
ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
これが示すべきことであった。