§6.3γ΄.
3.
Εἰς τρεῖς εὐθείας τὰς ΑΒ, ΓΑ, ∠Α διήχθωσαν δύο εὐθεῖαι αἱ ΘΕ. Θ∠·
세 직선 ΑΒ, ΓΑ, ∠Α에 대하여 두 직선 ΘΕ, Θ∠이 그어져 있다고 하자.
ὅτι ἐστίν, ὡς τὸ ὑπὸ ΘΕ ΗΖ πρὸς τὸ ὑπὸ ΘΗ, ΖΕ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΘΒ, ∠Γ πρὸς τὸ ὑπὸ Θ∠, ΒΓ.
ἤχθω διὰ μὲν τοῦ Θ τῇ ΖΓΑ παράλληλος ἡ ΚΛ, καὶ αἱ ∠Α, ΑΒ συμπιπτέτωσαν αὐτῇ κατὰ τὰ Κ, Λ σημεῖα, διὰ δὲ τοῦ Λ τῇ ∠Α παράλληλος ἡ ΛΜ καὶ συμπιπτέ τω τῇ ΕΘ ἐπὶ τὸ Μ.
ἐπεὶ οὖν ἐστιν, ὡς μὲν ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΖΑ, οὕτως ἡ ΕΘ πρὸς τὴν ΘΛ, ὡς δὲ ἡ Α πρὸς τὴν ΖΗ, οὕτως ἡ ΘΛ πρὸς τὴν ΘΜ καὶ γὰρ ἡ Θ Κ πρὸς τὴν ΘΗ ἐν παραλλήλῳ· διίσου ἄρα ἐστίν, ὡς ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΖΗ, οὕτως ἡ ΕΘ πρὸς τὴν ΘΜ. τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΘΕ, ΗΖ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ τῶν ΕΖ, ΘΜ. ἄλλο δέ τι τυχὸν τὸ ὑπὸ τῶν ΕΖ, ΘΗ ἔστιν ἄρα, ὡς τὸ ὑπὸ τῶν ΕΘ, ΗΖ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΕΖ, ΗΘ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΕΖ, ΘΜ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΖ, ΗΘ, τουτέστιν ἡ ΘΜ πρὸς ΘΗ, τουτέστιν ἡ ΛΘ πρὸς τὴν ΘΚ. κατὰ τὰ αὐτὰ καί, ὡς ἡ ΚΘ πρὸς τὴν ΘΛ, οὕτως τὸ ὑπὸ Θ∠, ΒΓ πρὸς τὸ ὑπὸ ΘΒ, Γ∠ ἀνάπαλιν ἄρα γίνεται, ὡςἡ ΛΘπρὸς τὴν ΘΚ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΘΒ, Γ∠ πρὸς τὸ ὑπὸ Θ∠, ΒΓ. ὡς δὲ ἡ ΛΘ πρὸς τὴν Θ Κ, οὕτως ἐδείχθη τὸ ὑπὸ ΕΘ, Η πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΖ, ΗΘ καὶ ὡς ἄρα τὸ ὑπὸ ΕΘ, ΗΖ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΖ, ΗΘ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΘΒ, Γ∠ πρὸς τὸ ὑπὸ Θ∠, ΒΓ.
Διὰ δὲ τοῦ συνημμένου οὕτως·
ΘΕ, ΗΖ의 곱의 ΘΗ, ΖΕ의 곱에 대한 비는, ΘΒ, ∠Γ의 곱의 Θ∠, ΒΓ의 곱에 대한 비와 같음을 (보여야 한다). Θ를 지나고 ΖΓΑ에 평행한 직선 ΚΛ을 그어라. 그리고 ∠Α, ΑΒ가 이것과 점 Κ, Λ에서 만난다고 하자. 또한 Λ를 지나고 ∠Α에 평행한 직선 ΛΜ을 긋고, 그것이 ΕΘ와 점 Μ에서 만나게 하라. 그러므로 ΕΖ의 ΖΑ에 대한 비가 ΕΘ의 ΘΛ에 대한 비와 같고, Α의 ΖΗ에 대한 비가 ΘΛ의 ΘΜ에 대한 비와 같으므로 (실제로 평행선에서 이것은 ΘΚ의 ΘΗ에 대한 비와 같기 때문이다), 등비간격에 의해 ΕΖ의 ΖΗ에 대한 비는 ΕΘ의 ΘΜ에 대한 비와 같다. 그러므로 ΘΕ, ΗΖ의 곱은 ΕΖ, ΘΜ의 곱과 같다. 그리고 임의로 취해진 다른 곱인 ΕΖ, ΘΗ가 있다고 하면, 그러므로 ΕΘ, ΗΖ의 곱의 ΕΖ, ΗΘ의 곱에 대한 비는, ΕΖ, ΘΜ의 곱의 ΕΖ, ΗΘ의 곱에 대한 비와 같고, 이것은 즉 ΘΜ의 ΘΗ에 대한 비이며, 이것은 즉 ΛΘ의 ΘΚ에 대한 비이다. 같은 이유로 또한, ΚΘ의 ΘΛ에 대한 비는 Θ∠, ΒΓ의 곱의 ΘΒ, Γ∠의 곱에 대한 비와 같다. 그러므로 반비에 의해, ΛΘ의 ΘΚ에 대한 비는 ΘΒ, Γ∠의 곱의 Θ∠, ΒΓ의 곱에 대한 비와 같이 된다. 그런데 ΛΘ의 ΘΚ에 대한 비는 ΕΘ, Η의 곱의 ΕΖ, ΗΘ의 곱에 대한 비와 같음이 증명되었다. 그러므로 결국 ΕΘ, ΗΖ의 곱의 ΕΖ, ΗΘ의 곱에 대한 비는, ΘΒ, Γ∠의 곱의 Θ∠, ΒΓ의 곱에 대한 비와 같다. 합성비에 의해서는 다음과 같다.
ἐπεὶ ὁ τοῦ ὑπὸ ΘΕ, ΗΖ πρὸς τὸ ὑπὸ ΘΗ, ΖΕ συνῆπται λόγος ἔκ τε τοῦ, ὃν ἔχει ἡ ΘΕ πρὸς τὴν ΕΖ, καὶ τοῦ, ὃν ἔχει ἡ ΖΗ πρὸς τὴν ΗΘ, καί ἐστιν, ὡς μὲν ἡ ΘΕ πρὸς τὴν ΕΖ, οὕτως ἡ Θ∠ πρὸς τὴν ΖΑ, ὡς δὲ ἡ ΖΗ πρὸς τὴν ΗΘ, οὕτως ἡ ΖΑ πρὸς τὴν ΘΚ, το ἄρα ὑπὸ ΘΕ, ΗΖ προς το ὑπὸ ΘΗ, ΕΖ συνῆπται ἔκ τε τοῦ, ὃν ἔχει ἡ ΘΛ πρὸς τὴν ΖΑ, καὶ τοῦ ὃν ἔχει ἡ ΖΑ πρὸς τὴν ΘΚ. ὁ δὲ συνημμένος ἔκ τε τοῦ τῆς ΘΛ πρὸς τὴν ΖΑ καὶ τοῦ τῆς ΖΑ πρὸς τὴν ΘΚ ὁ αὐτός ἐστιν τῷ τῆς ΘΛ πρὸς τὴν ΘΚ·
ΘΕ, ΗΖ의 곱의 ΘΗ, ΖΕ의 곱에 대한 비는, ΘΕ의 ΕΖ에 대한 비와 ΖΗ의 ΗΘ에 대한 비로부터 합성되며, ΘΕ의 ΕΖ에 대한 비는 Θ∠의 ΖΑ에 대한 비와 같고, 한편 ΖΗ의 ΗΘ에 대한 비는 ΖΑ의 ΘΚ에 대한 비와 같으므로, 그러므로 ΘΕ, ΗΖ의 곱의 ΘΗ, ΕΖ의 곱에 대한 비는, ΘΛ의 ΖΑ에 대한 비와 ΖΑ의 ΘΚ에 대한 비로부터 합성된다. 그리고 ΘΛ의 ΖΑ에 대한 비와 ΖΑ의 ΘΚ에 대한 비로부터 합성된 비는, ΘΛ의 ΘΚ에 대한 비와 같다.
ἔστιν ἄρα, ὡς τὸ ὑπὸ ΘΕ, ΗΖ πρὸς τὸ ὑπὸ ΘΗ, ΖΕ, οὕτως ἡ ΘΛ πρὸς τὴν ΘΚ. διὰ ταὐτὰ καί, ὡς τὸ ὑπὸ Θ∠, ΒΓ πρὸς τὸ ὑπὸ ΘΒ, Γ∠, οὕτως ἐστὶν ἡ ΘΚ πρὸς τὴν ΘΛ. καὶ ἀνάπαλίν ἐστιν, ὡς τὸ ὑπὸ ΘΒ, Γ∠ πρὸς τὸ ὑπὸ Θ∠, ΒΓ, οὕτως ἡ ΘΛ πρὸς τὴν ΘΚ. ἦν δὲ καί, ὡς τὸ ὑπὸ τῶν ΘΕ, ΖΗ πρὸς τὸ ὑπὸ ΘΗ, ΖΕ, οὕτως ἡ ΘΛ πρὸς τὴν ΘΚ·
그러므로 ΘΕ, ΗΖ의 곱의 ΘΗ, ΖΕ의 곱에 대한 비는, ΘΛ의 ΘΚ에 대한 비와 같다. 같은 이유로 또한, Θ∠, ΒΓ의 곱의 ΘΒ, Γ∠의 곱에 대한 비는 ΘΚ의 ΘΛ에 대한 비와 같다. 그리고 반비에 의해, ΘΒ, Γ∠의 곱의 Θ∠, ΒΓ의 곱에 대한 비는 ΘΛ의 ΘΚ에 대한 비와 같다. 그런데 또한 ΘΕ, ΖΗ의 곱의 ΘΗ, ΖΕ의 곱에 대한 비는, ΘΛ의 ΘΚ에 대한 비와 같았다.
καὶ ὡς ἄρα τὸ ὑπὸ τῶν ΘΕ, ΖΗ πρὸς τὸ ὑπὸ ΘΗ, ΖΕ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΘΒ, Γ∠ πρὸς τὸ ὑπὸ Θ∠, ΒΓ.
그러므로 결국 ΘΕ, ΖΗ의 곱의 ΘΗ, ΖΕ의 곱에 대한 비는, ΘΒ, Γ∠의 곱의 Θ∠, ΒΓ의 곱에 대한 비와 같다.