§6.29κθ΄.
29.
Τμήματος δοθέντος τοῦ ἐπὶ τῆς ΑΒ κλάσαι εὐθεῖαν θεῖαν τὴν ΑΓΒ ἐν λόγῳ τῷ δοθέντι.
ΑΒ 위에 주어진 원호에서, 주어진 비를 가지는 꺾은선 ΑΓΒ를 긋는 것.
γεγονέτω, καὶ διήχθω ἀπὸ τοῦ Γ ἐφαπτομένη ἡ Γ∠ ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ ΑΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΓ, οὕτως ἡ Α∠ πρὸς ∠ Β. λόγος δὲ τοῦ ἀπὸ ΑΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΒ, δοθείς·
이것이 이루어졌다고 하고, Γ로부터 접선 Γ∠가 그어졌다고 하자. 그러면 ΑΓ의 제곱의 ΒΓ의 제곱에 대한 비는 Α∠의 ∠Β에 대한 비와 같다. 그리고 ΑΓ의 제곱의 ΓΒ의 제곱에 대한 비는 주어져 있다.
ὥστε καὶ ὁ τῆς Α∠ πρὸς τὴν Β∠ δοθείς.
따라서 Α∠의 Β∠에 대한 비도 주어져 있다.
καί ἐστιν δύο δοθέντα τὰ Α, Β·
그리고 두 개의 주어진 점 Α, Β가 있다.
δοθὲν ἄρα ἐστὶν τὸ ∠·
그러므로 ∠도 주어져 있다.
ὥστε καὶ τὸ Γ δοθέν.
따라서 Γ도 주어져 있다.
Συντεθήσεται δὴ τὸ πρόβλημα οὕτως.
문제는 다음과 같이 구성될 것이다.
ἔστω τὸ μὲν τμῆμα τὸ ΑΒΓ, ὁ δὲ λόγος ὁ τῆς πρὸς τὴν Ζ, καὶ πεποιήσθω, ὡς τὸ ἀπὸ Ε πρὸς τὸ ἀπὸ Ζ, οὕτως ἡ Α∠ πρὸς τὴν ∠Β, καὶ ἤχθω ἐφαπτομένη ἡ ∠Γ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΓ, ΓΒ. λέγω, ὅτι αἱ ΑΓ, ΓΒ ποιοῦσι τὸ πρόβλημα.
원호를 ΑΒΓ라 하고, 비를 [Ε]의 Ζ에 대한 비라 하자. 그리고 Ε의 제곱의 Ζ의 제곱에 대한 비가 Α∠의 ∠Β에 대한 비와 같게 만들어지게 하고, 접선 ∠Γ가 그어지고, ΑΓ, ΓΒ가 연결된다고 하자. 나는 ΑΓ, ΓΒ가 문제를 해결한다고 주장한다.
ἐπεὶ γάρ ἐστιν, ὡς τὸ ἀπὸ Ε πρὸς τὸ ἀπὸ Ζ, οὕτως ἡ Α∠ πρὸς τὴν ∠Β, ὡς δὲ ἡ Α∠ πρὸς τὴν ∠Β, οὕτως τὸ ἀπὸ ΑΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΒ διὰ τὸ ἔφάπτεσθαι τὴν ΓΔ, καὶ ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ Ε πρὸς τὸ ἀπὸ Ζ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΑΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΒ ὥστε καί, ὡς ἡ πρὸς τὴν Ζ, οὕτως ἡ ΑΓ πρὸς τὴν ΓΒ. ἡ ΑΓΒ ἄρα ποιεῖ τὸ πρόβλημα.
왜냐하면 Ε의 제곱의 Ζ의 제곱에 대한 비가 Α∠의 ∠Β에 대한 비와 같고, Α∠의 ∠Β에 대한 비는 ΓΔ가 접하므로 ΑΓ의 제곱의 ΓΒ의 제곱에 대한 비와 같기 때문이다. 그러므로 Ε의 제곱의 Ζ의 제곱에 대한 비는 ΑΓ의 제곱의 ΓΒ의 제곱에 대한 비와 같다. 따라서 [Ε]의 Ζ에 대한 비도 ΑΓ의 ΓΒ에 대한 비와 같다. 그러므로 꺾은선 ΑΓΒ는 문제를 해결한다.
§6.30λ΄.
30.
Κύκλος, οὗ διάμετρος ἡ ΑΒ, καὶ ἀπὸ τυχόντος ἐπ᾿ αὐτὴν κάθετος ἡ ∠Ε, διήχθω ἡ ∠Ζ, ἐπεζεύχθω ἡ ΕΖ καὶ ἐκβεβλήσθω, καί, καθ᾿ ὃ συμπίπτει τῇ διαμέτρῳ, ἔστω τὸ Η·
지름이 ΑΒ인 원이 있고, 원 위의 임의의 점으로부터 지름에 내린 수선을 ∠Ε라 하고, ∠Ζ가 그어지고, ΕΖ가 연결되어 연장되어 지름과 만나는 점을 Η라 하자.
ὅτι ἐστίν, ὡς ἡ ΑΗ πρὸς τὴν ΗΒ, οὕτως ἡ ΑΘ πρὸς τὴν ΘΒ.
ἐπεζεύχθωσαν αἱ ∠Α, ΑΕ, ΑΖ.
ἐπεὶ οὖν ἐπὶ διάμετρον κάθετος ἡ ∠Ε, ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ∠ΑΒ τῇ ὑπὸ ΒΑΕ. ἀλλ᾿ ἡ ὑπὸ ∠ΑΒ τῇ ἐν τῷ αὐτῷ τμήματι ἴση ἐστὶν τῇ ὑπὸ ΘΖΒ, ἡ δὲ ὑπὸ ΒΑΕ ἴση ἐστὶν τῇ ἐκτὸς τετραπλεύρου τῇ ὑπὸ ΒΖΗ καὶ ἡ ὑπὸ ΘΖΒ ἄρα γωνία ἴση ἐστὶν τῇ ὑπὸ ΒΖΗ. καί ἐστιν ὀρθὴ ἡ ὑπὸ ΑΖΒ γωνία·
이때 ΑΗ의 ΗΒ에 대한 비는 ΑΘ의 ΘΒ에 대한 비와 같음을 (보여야 한다). ∠Α, ΑΕ, ΑΖ가 연결된다고 하자. 그런데 ∠Ε는 지름에 대한 수선이므로, 각 ∠ΑΒ는 각 ΒΑΕ와 같다. 그런데 각 ∠ΑΒ는 같은 원호 위의 각 ΘΖΒ와 같고, 각 ΒΑΕ는 내접사각형의 외각인 각 ΒΖΗ와 같다. 그러므로 각 ΘΖΒ 역시 각 ΒΖΗ와 같다. 그리고 각 ΑΖΒ는 직각이다.
διὰ δὴ τὸ λῆμμα γίνεται, ὡς ἡ ΑΗ πρὸς τὴν ΗΒ, οὕτως ἡ Α πρὸς τὴν ΒΘ.
그러므로 보조정리에 의해, ΑΗ의 ΗΒ에 대한 비는 Α[Θ]의 [Θ]Β에 대한 비와 같다.
§6.31λα΄.
31.
Ἡμικύκλιον τὸ ἐπὶ τῆς ΑΒ, καὶ ἀπὸ τῶν Α,Β σημείων τῇ ΑΒ πρὸς ὀρθὰς γωνίας εὐθεῖαι γραμμαὶ ἤχθωσαν αἱ ΒΔ, ΑΕ, καὶ ἤχθω τυχοῦσα ἡ ΔΕ, καὶ ἀπὸ τοῦ τῇ ∠Ε πρὸς ὀρθὰς γωνίας εὐθεῖα γραμμὴ ἡ ΖΗ συμπιπτέτω τῇ ΑΒ κατὰ τὸ Η ὅτι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕ, ΒΔ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ τῶν ΑΗΒ.
ὅτι ἄρα ἐστίν, ὡς ἡ ΕΑ πρὸς τὴν ΑΗ, οὕτως ἡ ΗΒ πρὸς τὴν Β∠.
ΑΒ 위에 반원이 있고, 점 Α, Β로부터 ΑΒ에 대하여 직각으로 직선 ΒΔ, ΑΕ가 그어지고, 임의의 직선 ΔΕ가 그어지고, [Ζ]로부터 ∠Ε에 대하여 직각인 직선 ΖΗ가 그어져 ΑΒ와 Η에서 만난다고 하자. 이때 ΑΕ와 ΒΔ가 만드는 직사각형은 ΑΗ와 ΗΒ가 만드는 직사각형과 같음을 (보여야 한다). 즉, ΕΑ의 ΑΗ에 대한 비는 ΗΒ의 Β∠에 대한 비와 같다.
περὶ ἴσας γωνίας ἀνάλογόν εἰσιν αἱ πλευραί·
같은 각을 끼고 있는 변들은 비례한다.
ὅτι ἄρα ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ τῶν ΑΗΕ γωνία τῇ ὑπὸ τῶν ΒΔΗ γωνίᾳ.
그러므로 각 ΑΗΕ는 각 ΒΔΗ와 같다.
ἀλλὰ ἡ μὲν ὑπὸ ΑΗΕ ἴση ἐστὶν ἐν τῷ αὐτῷ τμήματι τῇ ὑπὸ ΑΖΕ, ἡ δὲ ὑπὸ Β∠Η πάλιν ἐν τῷ αὐτῷ τμήματι τῇ ὑπὸ ΒΖΗ ὅτι ἄρα ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΖΕ γωνία τῇ ὑπὸ ΒΖΗ γωνίᾳ.
그런데 각 ΑΗΕ는 같은 원호 위에서 각 ΑΖΕ와 같고, 각 Β∠Η 역시 같은 원호 위에서 각 ΒΖΗ와 같다. 그러므로 각 ΑΖΕ는 각 ΒΖΗ와 같다.
ἔστιν δέ·
그리고 참으로 그러하다.
ὀρθὴ γάρ ἐστιν ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΑΖΒ, ΕΖΗ γωνιῶν.
왜냐하면 각 ΑΖΒ, ΕΖΗ 각각은 직각이기 때문이다.
§6.32τῷ ΑΒΓ τριγώνῳ, κοινοῦ δ᾿ ἀφαιρουμένου τοῦ ΑΒΕ λοιπὸν τὸ ∠ΑΕ λοιπῷ τῷ ΑΓE ἐστιν ἴσον καί ἐστιν ἐπὶ τῆς αὐτῆς βάσεως.
삼각형 ΑΒΓ에서 공통인 ΑΒΕ가 빠지면 남은 ∠ΑΕ는 남은 ΑΓΕ와 같고, 그것들은 같은 밑변 위에 있다.