§6.29κθ΄. Τμήματος δοθέντος τοῦ ἐπὶ τῆς ΑΒ κλάσαι εὐθεῖαν θεῖαν τὴν ΑΓΒ ἐν λόγῳ τῷ δοθέντι.
29. 在 ΑΒ 上给定的圆弧上，引一条具有给定比的折线 ΑΓΒ。
γεγονέτω, καὶ διήχθω ἀπὸ τοῦ Γ ἐφαπτομένη ἡ Γ∠ ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ ΑΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΒΓ, οὕτως ἡ Α∠ πρὸς ∠ Β. λόγος δὲ τοῦ ἀπὸ ΑΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΒ, δοθείς· ὥστε καὶ ὁ τῆς Α∠ πρὸς τὴν Β∠ δοθείς.
设已作，并从 Γ 引切线 Γ∠；因此，正如 ΑΓ 的平方对 ΒΓ 的平方的比，等于 Α∠ 对 ∠Β 的比。 而 ΑΓ 的平方对 ΓΒ 的平方的比是给定的；因此 Α∠ 对 Β∠ 的比也是给定的。
καί ἐστιν δύο δοθέντα τὰ Α, Β· δοθὲν ἄρα ἐστὶν τὸ ∠· ὥστε καὶ τὸ Γ δοθέν.
且有两个给定的点 Α、Β；因此 ∠ 也是给定的；从而 Γ 也是给定的。
Συντεθήσεται δὴ τὸ πρόβλημα οὕτως. ἔστω τὸ μὲν τμῆμα τὸ ΑΒΓ, ὁ δὲ λόγος ὁ τῆς πρὸς τὴν Ζ, καὶ πεποιήσθω, ὡς τὸ ἀπὸ Ε πρὸς τὸ ἀπὸ Ζ, οὕτως ἡ Α∠ πρὸς τὴν ∠Β, καὶ ἤχθω ἐφαπτομένη ἡ ∠Γ, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΑΓ, ΓΒ. λέγω, ὅτι αἱ ΑΓ, ΓΒ ποιοῦσι τὸ πρόβλημα.
此问题将如此构造：设圆弧为 ΑΒΓ，比为 [Ε] 对 Ζ 的比，并使正如 Ε 的平方对 Ζ 的平方的比，等于 Α∠ 对 ∠Β 的比，引切线 ∠Γ，并连接 ΑΓ、ΓΒ。 我 claim，ΑΓ、ΓΒ 满足该问题。
ἐπεὶ γάρ ἐστιν, ὡς τὸ ἀπὸ Ε πρὸς τὸ ἀπὸ Ζ, οὕτως ἡ Α∠ πρὸς τὴν ∠Β, ὡς δὲ ἡ Α∠ πρὸς τὴν ∠Β, οὕτως τὸ ἀπὸ ΑΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΒ διὰ τὸ ἔφάπτεσθαι τὴν ΓΔ, καὶ ὡς ἄρα τὸ ἀπὸ Ε πρὸς τὸ ἀπὸ Ζ, οὕτως τὸ ἀπὸ ΑΓ πρὸς τὸ ἀπὸ ΓΒ ὥστε καί, ὡς ἡ πρὸς τὴν Ζ, οὕτως ἡ ΑΓ πρὸς τὴν ΓΒ. ἡ ΑΓΒ ἄρα ποιεῖ τὸ πρόβλημα.
因为，由于正如 Ε 的平方对 Ζ 的平方的比，等于 Α∠ 对 ∠Β 的比，而正如 Α∠ 对 ∠Β 的比，由于 ΓΔ 是切线，等于 ΑΓ 的平方对 ΓΒ 的平方的比；因此，正如 Ε 的平方对 Ζ 的平方的比，等于 ΑΓ 的平方对 ΓΒ 的平方的比；从而，正如 [Ε] 对 Ζ 的比，等于 ΑΓ 对 ΓΒ 的比。 因此，折线 ΑΓΒ 满足该问题。
§6.30λ΄. Κύκλος, οὗ διάμετρος ἡ ΑΒ, καὶ ἀπὸ τυχόντος ἐπ᾿ αὐτὴν κάθετος ἡ ∠Ε, διήχθω ἡ ∠Ζ, ἐπεζεύχθω ἡ ΕΖ καὶ ἐκβεβλήσθω, καί, καθ᾿ ὃ συμπίπτει τῇ διαμέτρῳ, ἔστω τὸ Η· ὅτι ἐστίν, ὡς ἡ ΑΗ πρὸς τὴν ΗΒ, οὕτως ἡ ΑΘ πρὸς τὴν ΘΒ.
ἐπεζεύχθωσαν αἱ ∠Α, ΑΕ, ΑΖ.
ἐπεὶ οὖν ἐπὶ διάμετρον κάθετος ἡ ∠Ε, ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ∠ΑΒ τῇ ὑπὸ ΒΑΕ. ἀλλ᾿ ἡ ὑπὸ ∠ΑΒ τῇ ἐν τῷ αὐτῷ τμήματι ἴση ἐστὶν τῇ ὑπὸ ΘΖΒ, ἡ δὲ ὑπὸ ΒΑΕ ἴση ἐστὶν τῇ ἐκτὸς τετραπλεύρου τῇ ὑπὸ ΒΖΗ καὶ ἡ ὑπὸ ΘΖΒ ἄρα γωνία ἴση ἐστὶν τῇ ὑπὸ ΒΖΗ. καί ἐστιν ὀρθὴ ἡ ὑπὸ ΑΖΒ γωνία· διὰ δὴ τὸ λῆμμα γίνεται, ὡς ἡ ΑΗ πρὸς τὴν ΗΒ, οὕτως ἡ Α πρὸς τὴν ΒΘ.
30. 设有一圆，其直径为 ΑΒ，并从其上任意点向直径下引垂线 ∠Ε，引 ∠Ζ，连接 ΕΖ 并延长，设其与直径相交于 Η；求证正如 ΑΗ 对 ΗΒ 的比，等于 ΑΘ 对 ΘΒ 的比。 连接 ∠Α、ΑΕ、ΑΖ。 既然 ∠Ε 是直径的垂线，所以角 ∠ΑΒ 等于角 ΒΑΕ。 但是角 ∠ΑΒ 等于同弧上的角 ΘΖΒ，而角 ΒΑΕ 等于内接四角形的外角 ΒΖΗ；因此角 ΘΖΒ 也等于角 ΒΖΗ。 且角 ΑΖΒ 是直角；因此由引理可知，正如 ΑΗ 对 ΗΒ 的比，等于 Α[Θ] 对 [Θ]Β 的比。
§6.31λα΄. Ἡμικύκλιον τὸ ἐπὶ τῆς ΑΒ, καὶ ἀπὸ τῶν Α,Β σημείων τῇ ΑΒ πρὸς ὀρθὰς γωνίας εὐθεῖαι γραμμαὶ ἤχθωσαν αἱ ΒΔ, ΑΕ, καὶ ἤχθω τυχοῦσα ἡ ΔΕ, καὶ ἀπὸ τοῦ τῇ ∠Ε πρὸς ὀρθὰς γωνίας εὐθεῖα γραμμὴ ἡ ΖΗ συμπιπτέτω τῇ ΑΒ κατὰ τὸ Η ὅτι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΕ, ΒΔ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ τῶν ΑΗΒ.
ὅτι ἄρα ἐστίν, ὡς ἡ ΕΑ πρὸς τὴν ΑΗ, οὕτως ἡ ΗΒ πρὸς τὴν Β∠.
31. 设在 ΑΒ 上有一半圆，从点 Α、Β 向 ΑΒ 引垂线 ΒΔ、ΑΕ，引任意直线 ΔΕ，并从 [Ζ] 引与 ∠Ε 成直角的直线 ΖΗ 交 ΑΒ 于 Η；求证 ΑΕ 与 ΒΔ 所包长方形等于 ΑΗ 与 ΗΒ 所包长方形。 即，正如 ΕΑ 对 ΑΗ 的比，等于 ΗΒ 对 Β∠ 的比。
περὶ ἴσας γωνίας ἀνάλογόν εἰσιν αἱ πλευραί· ὅτι ἄρα ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ τῶν ΑΗΕ γωνία τῇ ὑπὸ τῶν ΒΔΗ γωνίᾳ.
等角两旁的边成比例；因此角 ΑΗΕ 等于角 ΒΔΗ。
ἀλλὰ ἡ μὲν ὑπὸ ΑΗΕ ἴση ἐστὶν ἐν τῷ αὐτῷ τμήματι τῇ ὑπὸ ΑΖΕ, ἡ δὲ ὑπὸ Β∠Η πάλιν ἐν τῷ αὐτῷ τμήματι τῇ ὑπὸ ΒΖΗ ὅτι ἄρα ἴση ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΑΖΕ γωνία τῇ ὑπὸ ΒΖΗ γωνίᾳ.
但是角 ΑΗΕ 在同弧上等于角 ΑΖΕ，而角 Β∠Η 又在同弧上等于角 ΒΖΗ；因此角 ΑΖΕ 等于角 ΒΖΗ。
ἔστιν δέ· ὀρθὴ γάρ ἐστιν ἑκατέρα τῶν ὑπὸ ΑΖΒ, ΕΖΗ γωνιῶν.
而事实确实如此；因为角 ΑΖΒ、ΕΖΗ 各自都是直角。
§6.32τῷ ΑΒΓ τριγώνῳ, κοινοῦ δ᾿ ἀφαιρουμένου τοῦ ΑΒΕ λοιπὸν τὸ ∠ΑΕ λοιπῷ τῷ ΑΓE ἐστιν ἴσον καί ἐστιν ἐπὶ τῆς αὐτῆς βάσεως.
在三角形 ΑΒΓ 中，减去公共的 ΑΒΕ 后，余下的 ∠ΑΕ 等于余下的 ΑΓΕ，且它们在相同的底边上。