エウクレイデス · 断片集 §6.26-6.28

線分比による平方の等価と円の割線と接線

17 / 29 箇所 · ギリシア語

要旨

定理26と27では、直線上の線分の比と平方の比の関係から、包む長方形と平方の均等関係を証明する。定理28では、円の接線と割線に関して成立する線分比の性質を、長方形と平方の等価性を用いて証明する。

§6.26κϚ΄. Ἔστω, ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ Α∠ πρὸς τὸ ἀπὸ ∠ ὅτι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒΓ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ τῆς Β∠ τετραγώνῳ.

κϚ΄. ΑΒ の ΒΓ に対する比が、Α∠ の平方の ∠ の平方に対する比に等しいとせよ。このとき、ΑΒ, ΒΓ の包む長方形は Β∠ の平方に等しい。

κείσθω τῇ Γ∠ ἴση ἡ ∠Ε·

Γ∠ に等しい ∠Ε が置かれるとせよ。

τὸ ἄρα ὑπὸ ΕΑΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ Γ∠, τουτέστιν τοῦ ὑπὸ Γ∠Ε, ἴσον τῷ ἀπὸ Α∠.

したがって、ΕΑ, ΑΓ の包む長方形と Γ∠ の平方（すなわち Γ∠, ∠Ε の包む長方形）の和は、Α∠ の平方に等しい。

ἐπεὶ οὗν ἐστιν, ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ Α∠ πρὸς τὸ ἀπὸ ∠Γ, διελόντι ἐστίν, ὡς ἡ ΑΓ πρὸς τὴν ΓΒ, τουτέστιν ὡς τὸ ὑπὸ ΕΑΓ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΑ, ΒΓ οὕτως τὸ ὑπὸ ΕΑΓ πρὸς τὸ ὑπὸ Γ∠Ε ἴσον ἄρα ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΑΕ, ΒΓ τῷ ὑπὸ Γ∠Ε. ἀνάλογον καὶ διελόντι ἐστίν, ὡς ἡ Α∠ πρὸς τὴν ∠Ε, τουτέστιν πρὸς τὴν ∠Γ, οὕτως ἡ ∠Β πρὸς τὴν ΒΓ καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ΑΒ πρὸς λοιπὴν τὴν Β∠ ἐστιν, ὡς ἡ Β∠ πρὸς τὴν ΒΓ. τὸ ἄρα ὑπὸ ΑΒΓ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ τῆς Β∠ τετραγώνῳ.

したがって、ΑΒ の ΒΓ に対する比が、Α∠ の平方の ∠Γ の平方に対する比に等しいので、分比にすると、ΑΓ の ΓΒ に対する比（すなわち ΕΑ, ΑΓ の包む長方形の ΕΑ, ΒΓ の包む長方形に対する比）は、ΕΑ, ΑΓ の包む長方形の Γ∠, ∠Ε の包む長方形に対する比に等しい。したがって、ΑΕ, ΒΓ の包む長方形は Γ∠, ∠Ε の包む長方形に等しい。比例し、また分比にすると、Α∠ の ∠Ε（すなわち ∠Γ）に対する比は、 ∠Β の ΒΓ に対する比に等しい。したがって、残りの ΑΒ の残りの Β∠ に対する比も、Β∠ の ΒΓ に対する比に等しい。したがって、ΑΒ, ΒΓ の包む長方形は Β∠ の平方に等しい。

§6.27κζ΄. Ἔστω δὲ πάλιν, ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ. οὕτως τὸ ἀπὸ Α∠ τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ ∠Γ τετράγωνον·

κζ΄. 再び、ΑΒ の ΒΓ に対する比が、Α∠ の平方の ∠Γ の平方に対する比に等しいとせよ。

ὅτι τὸ ὑπὸ ΑΒΓ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ τῆς Β∠ τετραγώνῳ.

このとき、ΑΒ, ΒΓ の包む長方形は Β∠ の平方に等しい。

κείσθω γὰρ ὁμοίως τῇ Γ∠ ἴση ἡ ∠Ε·

同様に、Γ∠ に等しい ∠Ε が置かれるとせよ。

τὸ ἄρα ὑπὸ ΓΑΕ μετὰ τοῦ ἀπὸ Γ∠, τουτέστιν τοῦ ὑπὸ Ε∠Γ, ἴσον τῷ ἀπὸ Α∠.

したがって、ΓΑ, ΑΕ の包む長方形と Γ∠ の平方（すなわち Ε∠, ∠Γ の包む長方形）の和は、Α∠ の平方に等しい。

καὶ γίνεται κατὰ διαίρεσιν, ὡς ἡ ΑΓ πρὸς τὴν ΓΒ, τουτέστιν ὡς τὸ ὑπὸ ΕΑΓ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΑ, ΓΒ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΓΑΕ πρὸς τὸ ὑπὸ Ε∠ ἴσον ἄρα ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΑΕ. ΓΒ τῷ ὑπὸ Ε∠Γ. ἀνάλογον καὶ συνθέντι ἐστίν, ὡς ἡ Α∠ πρὸς τὴν ∠Ε, τουτέστιν πρὸς τὴν ∠Γ. οὕτως ἡ ∠Β πρὸς τὴν ΒΓ καὶ ὅλη ἄρα ἡ ΑΒ πρὸς ὅλην τὴν Β∠ ἐστιν, ὡς ἡ Β∠ πρὸς τὴν ΒΓ. τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΒΓ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ τῆς Β∠ τετραγώνῳ.

そして、分割によって、ΑΓ の ΓΒ に対する比（すなわち ΕΑ, ΑΓ の包む長方形の ΕΑ, ΓΒ の包む長方形に対する比）は、ΓΑ, ΑΕ の包む長方形の Ε∠ の包む長方形に対する比に等しくなる。したがって、ΑΕ, ΓΒ の包む長方形は Ε∠, ∠Γ の包む長方形に等しい。比例し、また合比にすると、Α∠ の ∠Ε（すなわち ∠Γ）に対する比は、∠Β の ΒΓ に対する比に等しい。したがって、全体の ΑΒ の全体の Β∠ に対する比も、Β∠ の ΒΓ に対する比に等しい。したがって、 ΑΒ, ΒΓ の包む長方形は Β∠ の平方に等しい。

§6.28κη΄. Κύκλου τοῦ ΑΒΓ ἐφαπτέσθωσαν αἱ Α∠, ∠Γ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΓ. καὶ διήχθω τυχοῦσα ἡ ∠Β·

κη΄. 円 ΑΒΓ に Α∠, ∠Γ が接しているとし、ΑΓ が結ばれるとせよ。そして任意の直線 ∠Β が引かれるとせよ。

ὅτι γίνεται, ὡς ἡ Β∠ πρὸς τὴν ∠Ε, οὕτως ἡ Β πρὸς τὴν ΖΕ. ἐπεὶ γὰρ ἴση ἐστὶν ἡ Α∠ τῇ ∠Γ, τὸ ἄρα ὑπὸ ΑΖΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ Ζ∠ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ ∠Α. ἀλλὰ τὸ μὲν ὑπὸ ΑΖΓ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ ΒΖΕ, τὸ δὲ ἀπὸ ∠Α. ἐστιν τὸ ὑπὸ Β∠Ε·

このとき、Β∠ の ∠Ε に対する比は、Β [Ζ] の ΖΕ に対する比に等しい。なぜなら、Α∠ は ∠Γ に等しいので、したがって、ΑΖ, ΖΓ の包む長方形と Ζ∠ の平方の和は、∠Α の平方に等しい。しかし、ΑΖ, ΖΓ の包む長方形は ΒΖ, ΖΕ の包む長方形に等しく、∠Α の平方は Β∠, ∠Ε の包む長方形に等しい。

τὸ ἄρα ὑπὸ ΒΖΕ μετὰ τοῦ ἀπὸ ∠Ζ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ Β∠Ε. ἐὰν δὲ τοῦτο, γίνεται, ὡς ἡ Β∠ πρὸς τὴν ∠Ε, οὕτως ἡ ΒΖ πρὸς τὴν ΖΕ.

したがって、ΒΖ, ΖΕ の包む長方形と ∠Ζ の平方の和は、Β∠, ∠Ε の包む長方形に等しい。そして、もしこれ（が成り立つ）ならば、Β∠ の ∠Ε に対する比は、ΒΖ の ΖΕ に対する比に等しくなる。

語釈・文法注

6.26τὸ ἀπὸ ∠ — 原文の "τὸ ἀπὸ ∠"（∠ の平方）について、文脈および直後の議論から "Γ" が脱落しており、実際には「∠Γ の平方」（τὸ ἀπὸ ∠Γ）を意味していると判断される。
6.26τοῦ ὑπὸ Γ∠Ε — "τοῦ ὑπὸ Γ∠Ε" について、これは Γ∠ と ∠Ε の二線分が包む長方形を指す。幾何学テキストでは、このように三つの文字を並べて二つの連続する線分が包む長方形を表す簡略表現が用いられる。
6.27τὸ ὑπὸ Ε∠ — "τὸ ὑπὸ Ε∠" において、直前の "τοῦ ὑπὸ Ε∠Γ"（Ε∠, ∠Γ の包む長方形）との対応関係から、二点目の "Γ" が脱落しており、実質的に「Ε∠ と ∠Γ の包む長方形」を意味すると解釈される。
6.28οὕτως ἡ Β πρὸς τὴν ΖΕ — "ἡ Β πρὸς τὴν ΖΕ" において、直後の証明の結びにある "οὕτως ἡ ΒΖ πρὸς τὴν ΖΕ" との比較から、"Β" の後に "Ζ" が脱落しており、実際には "ΒΖ" のことであると判断して翻訳している。
6.28ἐὰν δὲ τοῦτο — "ἐὰν δὲ τοῦτο" は「もしこれが成り立つならば」という省略表現であり、直前の等式（ΒΖ, ΖΕ の包む長方形と ∠Ζ の平方の和が Β∠, ∠Ε の包む長方形に等しいこと）から比例式が導かれることを示す。

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エウクレイデス, 断片集 §6.26-6.28. Humanitext Reader, https://reader.humanitext.ai/text/urn:cts:greekLit:tlg1799.tlg016.humanitext-grc1:6.26-6.28

AIによる草稿訳である旨と閲覧日を添えてください。

訳文・注・要旨はAIによる草稿で、読者の指摘により改訂されています。