欧几里得 · 残篇 §6.26-6.28

线段比导致的平方等价与圆的割线切线

第 17 段，共 29 段 · 希腊语

内容简介

定理26与27利用线段比与其平方比的关系，证明了长方形与平方的等量关系。定理28通过长方形与平方的等价性，证明了圆的切线与割线所涉线段比例的性质。

§6.26κϚ΄. Ἔστω, ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ Α∠ πρὸς τὸ ἀπὸ ∠ ὅτι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒΓ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ τῆς Β∠ τετραγώνῳ.

26. 设正如 ΑΒ 对 ΒΓ 的比，等于 Α∠ 的平方对 ∠ 的平方的比；求证 ΑΒ 与 ΒΓ 所包长方形等于 Β∠ 的平方。

κείσθω τῇ Γ∠ ἴση ἡ ∠Ε· τὸ ἄρα ὑπὸ ΕΑΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ Γ∠, τουτέστιν τοῦ ὑπὸ Γ∠Ε, ἴσον τῷ ἀπὸ Α∠.

设置 ∠Ε 等于 Γ∠；因此，ΕΑ 与 ΑΓ 所包长方形加上 Γ∠ 的平方，也就是 Γ∠ 与 ∠Ε 所包长方形，等于 Α∠ 的平方。

ἐπεὶ οὗν ἐστιν, ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ Α∠ πρὸς τὸ ἀπὸ ∠Γ, διελόντι ἐστίν, ὡς ἡ ΑΓ πρὸς τὴν ΓΒ, τουτέστιν ὡς τὸ ὑπὸ ΕΑΓ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΑ, ΒΓ οὕτως τὸ ὑπὸ ΕΑΓ πρὸς τὸ ὑπὸ Γ∠Ε ἴσον ἄρα ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΑΕ, ΒΓ τῷ ὑπὸ Γ∠Ε. ἀνάλογον καὶ διελόντι ἐστίν, ὡς ἡ Α∠ πρὸς τὴν ∠Ε, τουτέστιν πρὸς τὴν ∠Γ, οὕτως ἡ ∠Β πρὸς τὴν ΒΓ καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ΑΒ πρὸς λοιπὴν τὴν Β∠ ἐστιν, ὡς ἡ Β∠ πρὸς τὴν ΒΓ. τὸ ἄρα ὑπὸ ΑΒΓ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ τῆς Β∠ τετραγώνῳ.

因此，因为正如 ΑΒ 对 ΒΓ 的比，等于 Α∠ 的平方对 ∠Γ 的平方的比，经由分比，正如 ΑΓ 对 ΓΒ 的比，也就是 ΕΑ 与 ΑΓ 所包长方形对 ΕΑ 与 ΒΓ 所包长方形的比，等于 ΕΑ 与 ΑΓ 所包长方形对 Γ∠ 与 ∠Ε 所包长方形的比；因此，ΑΕ 与 ΒΓ 所包长方形等于 Γ∠ 与 ∠Ε 所包长方形。按比例且经由分比，正如 Α∠ 对 ∠Ε（也就是对 ∠Γ）的比，等于 ∠Β 对 ΒΓ 的比；因此，余量 ΑΒ 对余量 Β∠ 的比，也等于 Β∠ 对 ΒΓ 的比。因此，ΑΒ 与 ΒΓ 所包长方形等于 Β∠ 的平方。

§6.27κζ΄. Ἔστω δὲ πάλιν, ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ. οὕτως τὸ ἀπὸ Α∠ τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ ∠Γ τετράγωνον· ὅτι τὸ ὑπὸ ΑΒΓ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ τῆς Β∠ τετραγώνῳ.

27. 又设，正如 ΑΒ 对 ΒΓ 的比，等于 Α∠ 的平方对 ∠Γ 的平方的比；求证 ΑΒ 与 ΒΓ 所包长方形等于 Β∠ 的平方。

κείσθω γὰρ ὁμοίως τῇ Γ∠ ἴση ἡ ∠Ε· τὸ ἄρα ὑπὸ ΓΑΕ μετὰ τοῦ ἀπὸ Γ∠, τουτέστιν τοῦ ὑπὸ Ε∠Γ, ἴσον τῷ ἀπὸ Α∠.

因为设同样置 ∠Ε 等于 Γ∠；因此，ΓΑ 与 ΑΕ 所包长方形加上 Γ∠ 的平方，也就是 Ε∠ 与 ∠Γ 所包长方形，等于 Α∠ 的平方。

καὶ γίνεται κατὰ διαίρεσιν, ὡς ἡ ΑΓ πρὸς τὴν ΓΒ, τουτέστιν ὡς τὸ ὑπὸ ΕΑΓ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΑ, ΓΒ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΓΑΕ πρὸς τὸ ὑπὸ Ε∠ ἴσον ἄρα ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΑΕ. ΓΒ τῷ ὑπὸ Ε∠Γ. ἀνάλογον καὶ συνθέντι ἐστίν, ὡς ἡ Α∠ πρὸς τὴν ∠Ε, τουτέστιν πρὸς τὴν ∠Γ. οὕτως ἡ ∠Β πρὸς τὴν ΒΓ καὶ ὅλη ἄρα ἡ ΑΒ πρὸς ὅλην τὴν Β∠ ἐστιν, ὡς ἡ Β∠ πρὸς τὴν ΒΓ. τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΒΓ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ τῆς Β∠ τετραγώνῳ.

并且经由分比，正如 ΑΓ 对 ΓΒ 的比，也就是 ΕΑ 与 ΑΓ 所包长方形对 ΕΑ 与 ΓΒ 所包长方形的比，等于 ΓΑ 与 ΑΕ 所包长方形对 Ε∠ 所包长方形的比；因此，ΑΕ 与 ΓΒ 所包长方形等于 Ε∠ 与 ∠Γ 所包长方形。按比例且经由合比，正如 Α∠ 对 ∠Ε（也就是对 ∠Γ）的比，等于 ∠Β 对 ΒΓ 的比；因此，整个 ΑΒ 对整个 Β∠ 的比，也等于 Β∠ 对 ΒΓ 的比。因此， ΑΒ 与 ΒΓ 所包长方形等于 Β∠ 的平方。

§6.28κη΄. Κύκλου τοῦ ΑΒΓ ἐφαπτέσθωσαν αἱ Α∠, ∠Γ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΓ. καὶ διήχθω τυχοῦσα ἡ ∠Β·

28. 设 Α∠ 与 ∠Γ 切于圆 ΑΒΓ，并设 ΑΓ 连结。

ὅτι γίνεται, ὡς ἡ Β∠ πρὸς τὴν ∠Ε, οὕτως ἡ Β πρὸς τὴν ΖΕ. ἐπεὶ γὰρ ἴση ἐστὶν ἡ Α∠ τῇ ∠Γ, τὸ ἄρα ὑπὸ ΑΖΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ Ζ∠ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ ∠Α. ἀλλὰ τὸ μὲν ὑπὸ ΑΖΓ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ ΒΖΕ, τὸ δὲ ἀπὸ ∠Α. ἐστιν τὸ ὑπὸ Β∠Ε·

并设引任意直线 ∠Β；求证，正如 Β∠ 对 ∠Ε 的比，等于 Β [Ζ] 对 ΖΕ 的比。因为，由于 Α∠ 等于 ∠Γ，因此 ΑΖ 与 ΖΓ 所包长方形加上 Ζ∠ 的平方，等于 ∠Α 的平方。但 ΑΖ 与 ΖΓ 所包长方形等于 ΒΖ 与 ΖΕ 所包长方形，而 ∠Α 的平方等于 Β∠ 与 ∠Ε 所包长方形；因此，ΒΖ 与 ΖΕ 所包长方形加上 ∠Ζ 的平方，等于 Β∠ 与 ∠Ε 所包长方形。

τὸ ἄρα ὑπὸ ΒΖΕ μετὰ τοῦ ἀπὸ ∠Ζ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ Β∠Ε. ἐὰν δὲ τοῦτο, γίνεται, ὡς ἡ Β∠ πρὸς τὴν ∠Ε, οὕτως ἡ ΒΖ πρὸς τὴν ΖΕ.

并且如果这是真的，就正如 Β∠ 对 ∠Ε 的比，等于 ΒΖ 对 ΖΕ 的比。

词汇与语法注释

6.26τὸ ἀπὸ ∠ — 原文中的 “τὸ ἀπὸ ∠” 缺少字母 “Γ”，结合上下文和接下来的证明步骤，可以判断其指代的是 “∠Γ 的平方”（τὸ ἀπὸ ∠Γ）。
6.26τοῦ ὑπὸ Γ∠Ε — 关于 “τοῦ ὑπὸ Γ∠Ε”，这指的是由 Γ∠ 与 ∠Ε 两条线段所包的长方形。在几何文本中，通常会用这种三个字母的简写形式来表示由两个相邻线段所包的长方形。
6.27τὸ ὑπὸ Ε∠ — 关于 “τὸ ὑπὸ Ε∠”，考虑到它与前文 “τοῦ ὑπὸ Ε∠Γ”（Ε∠ 与 ∠Γ 所包长方形）的对应关系，此处省略了字母 “Γ”，实际上应理解为 “Ε∠ 与 ∠Γ 所包长方形”。
6.28οὕτως ἡ Β πρὸς τὴν ΖΕ — 关于 “ἡ Β πρὸς τὴν ΖΕ”，对比证明末尾的 “οὕτως ἡ ΒΖ πρὸς τὴν ΖΕ”，显然在 “Β” 后面遗漏了字母 “Ζ”，因此实际上是指 “ΒΖ”。
6.28ἐὰν δὲ τοῦτο — 省略表达 “ἐὰν δὲ τοῦτο”（如果这是真的/如果这成立）表示，如果前述等式（ΒΖ 与 ΖΕ 所包长方形加上 ∠Ζ 的平方等于 Β∠ 与 ∠Ε 所包长方形）成立，则可以推导出接下来的比例式。

引用这一段

欧几里得, 残篇 §6.26-6.28. Humanitext Reader, https://reader.humanitext.ai/zh/text/urn:cts:greekLit:tlg1799.tlg016.humanitext-grc1:6.26-6.28

请注明译文为AI草稿以及访问日期。

译文、注释与简介为AI生成的草稿，并根据读者反馈持续修订。