에우클레이데스 · 단편들 §6.26-6.28

선분 비에 의한 제곱 등가와 원의 할선과 접선

29개 구절 중 17번째 · 그리스어

요약

정리 26과 27에서는 직선상의 선분의 비와 제곱의 비의 관계로부터 직사각형과 제곱의 등가 관계를 증명한다. 정리 28에서는 원의 접선과 할선에 관해 성립하는 선분 비의 성질을 직사각형과 제곱의 등가성을 이용해 증명한다.

§6.26κϚ΄.

26.

Ἔστω, ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ Α∠ πρὸς τὸ ἀπὸ ∠ ὅτι τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒΓ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ τῆς Β∠ τετραγώνῳ.

ΑΒ의 ΒΓ에 대한 비가 Α∠의 제곱의 ∠의 제곱에 대한 비와 같다고 하자. 이때 ΑΒ와 ΒΓ가 만드는 직사각형이 Β∠의 제곱과 같음을 (보여야 한다).

κείσθω τῇ Γ∠ ἴση ἡ ∠Ε·

Γ∠와 같은 ∠Ε가 놓이게 하라.

τὸ ἄρα ὑπὸ ΕΑΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ Γ∠, τουτέστιν τοῦ ὑπὸ Γ∠Ε, ἴσον τῷ ἀπὸ Α∠.

그러므로 ΕΑ와 ΑΓ가 만드는 직사각형과 Γ∠의 제곱(즉 Γ∠와 ∠Ε가 만드는 직사각형)의 합은 Α∠의 제곱과 같다.

ἐπεὶ οὗν ἐστιν, ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως τὸ ἀπὸ Α∠ πρὸς τὸ ἀπὸ ∠Γ, διελόντι ἐστίν, ὡς ἡ ΑΓ πρὸς τὴν ΓΒ, τουτέστιν ὡς τὸ ὑπὸ ΕΑΓ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΑ, ΒΓ οὕτως τὸ ὑπὸ ΕΑΓ πρὸς τὸ ὑπὸ Γ∠Ε ἴσον ἄρα ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΑΕ, ΒΓ τῷ ὑπὸ Γ∠Ε. ἀνάλογον καὶ διελόντι ἐστίν, ὡς ἡ Α∠ πρὸς τὴν ∠Ε, τουτέστιν πρὸς τὴν ∠Γ, οὕτως ἡ ∠Β πρὸς τὴν ΒΓ καὶ λοιπὴ ἄρα ἡ ΑΒ πρὸς λοιπὴν τὴν Β∠ ἐστιν, ὡς ἡ Β∠ πρὸς τὴν ΒΓ. τὸ ἄρα ὑπὸ ΑΒΓ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ τῆς Β∠ τετραγώνῳ.

그러므로 ΑΒ의 ΒΓ에 대한 비가 Α∠의 제곱의 ∠Γ의 제곱에 대한 비와 같으므로, 분비에 의해, ΑΓ의 ΓΒ에 대한 비(즉 ΕΑ와 ΑΓ가 만드는 직사각형의 ΕΑ와 ΒΓ가 만드는 직사각형에 대한 비)는 ΕΑ와 ΑΓ가 만드는 직사각형의 Γ∠와 ∠Ε가 만드는 직사각형에 대한 비와 같다. 그러므로 ΑΕ와 ΒΓ가 만드는 직사각형은 Γ∠와 ∠Ε가 만드는 직사각형과 같다. 비례하고 분비에 의해, Α∠의 ∠Ε(즉 ∠Γ)에 대한 비는 ∠Β의 ΒΓ에 대한 비와 같다. 그러므로 나머지 ΑΒ의 나머지 Β∠에 대한 비도 Β∠의 ΒΓ에 대한 비와 같다. 그러므로 ΑΒ와 ΒΓ가 만드는 직사각형은 Β∠의 제곱과 같다.

§6.27κζ΄.

27.

Ἔστω δὲ πάλιν, ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΓ. οὕτως τὸ ἀπὸ Α∠ τετράγωνον πρὸς τὸ ἀπὸ ∠Γ τετράγωνον·

다시, ΑΒ의 ΒΓ에 대한 비가 Α∠의 제곱의 ∠Γ의 제곱에 대한 비와 같다고 하자.

ὅτι τὸ ὑπὸ ΑΒΓ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ τῆς Β∠ τετραγώνῳ.

이때 ΑΒ와 ΒΓ가 만드는 직사각형이 Β∠의 제곱과 같음을 (보여야 한다).

κείσθω γὰρ ὁμοίως τῇ Γ∠ ἴση ἡ ∠Ε·

왜냐하면 똑같이 Γ∠와 같은 ∠Ε가 놓이게 하라.

τὸ ἄρα ὑπὸ ΓΑΕ μετὰ τοῦ ἀπὸ Γ∠, τουτέστιν τοῦ ὑπὸ Ε∠Γ, ἴσον τῷ ἀπὸ Α∠.

그러므로 ΓΑ와 ΑΕ가 만드는 직사각형과 Γ∠의 제곱(즉 Ε∠와 ∠Γ가 만드는 직사각형)의 합은 Α∠의 제곱과 같다.

καὶ γίνεται κατὰ διαίρεσιν, ὡς ἡ ΑΓ πρὸς τὴν ΓΒ, τουτέστιν ὡς τὸ ὑπὸ ΕΑΓ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΑ, ΓΒ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΓΑΕ πρὸς τὸ ὑπὸ Ε∠ ἴσον ἄρα ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΑΕ. ΓΒ τῷ ὑπὸ Ε∠Γ. ἀνάλογον καὶ συνθέντι ἐστίν, ὡς ἡ Α∠ πρὸς τὴν ∠Ε, τουτέστιν πρὸς τὴν ∠Γ. οὕτως ἡ ∠Β πρὸς τὴν ΒΓ καὶ ὅλη ἄρα ἡ ΑΒ πρὸς ὅλην τὴν Β∠ ἐστιν, ὡς ἡ Β∠ πρὸς τὴν ΒΓ. τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΑΒΓ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ τῆς Β∠ τετραγώνῳ.

그리고 분할에 의해, ΑΓ의 ΓΒ에 대한 비(즉 ΕΑ와 ΑΓ가 만드는 직사각형의 ΕΑ와 ΓΒ가 만드는 직사각형에 대한 비)는 ΓΑ와 ΑΕ가 만드는 직사각형의 Ε∠가 만드는 직사각형에 대한 비와 같게 된다. 그러므로 ΑΕ와 ΓΒ가 만드는 직사각형은 Ε∠와 ∠Γ가 만드는 직사각형과 같다. 비례하고 합비에 의해, Α∠의 ∠Ε(즉 ∠Γ)에 대한 비는 ∠Β의 ΒΓ에 대한 비와 같다. 그러므로 전체 ΑΒ의 전체 Β∠에 대한 비도 Β∠의 ΒΓ에 대한 비와 같다. 그러므로 ΑΒ와 ΒΓ가 만드는 직사각형은 Β∠의 제곱과 같다.

§6.28κη΄.

28.

Κύκλου τοῦ ΑΒΓ ἐφαπτέσθωσαν αἱ Α∠, ∠Γ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΑΓ. καὶ διήχθω τυχοῦσα ἡ ∠Β·

원 ΑΒΓ에 Α∠와 ∠Γ가 접하고, ΑΓ가 연결되게 하라. 그리고 임의의 직선 ∠Β가 그어지게 하라.

ὅτι γίνεται, ὡς ἡ Β∠ πρὸς τὴν ∠Ε, οὕτως ἡ Β πρὸς τὴν ΖΕ. ἐπεὶ γὰρ ἴση ἐστὶν ἡ Α∠ τῇ ∠Γ, τὸ ἄρα ὑπὸ ΑΖΓ μετὰ τοῦ ἀπὸ Ζ∠ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ ∠Α. ἀλλὰ τὸ μὲν ὑπὸ ΑΖΓ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ ΒΖΕ, τὸ δὲ ἀπὸ ∠Α. ἐστιν τὸ ὑπὸ Β∠Ε·

이때 Β∠의 ∠Ε에 대한 비는 Β [Ζ]의 ΖΕ에 대한 비와 같음을 (보여야 한다). 왜냐하면 Α∠는 ∠Γ와 같으므로, 그러므로 ΑΖ와 ΖΓ가 만드는 직사각형과 Ζ∠의 제곱의 합은 ∠Α의 제곱과 같다. 그러나 ΑΖ와 ΖΓ가 만드는 직사각형은 ΒΖ와 ΖΕ가 만드는 직사각형과 같고, ∠Α의 제곱은 Β∠와 ∠Ε가 만드는 직사각형과 같다.

τὸ ἄρα ὑπὸ ΒΖΕ μετὰ τοῦ ἀπὸ ∠Ζ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ Β∠Ε. ἐὰν δὲ τοῦτο, γίνεται, ὡς ἡ Β∠ πρὸς τὴν ∠Ε, οὕτως ἡ ΒΖ πρὸς τὴν ΖΕ.

그러므로 ΒΖ와 ΖΕ가 만드는 직사각형과 ∠Ζ의 제곱의 합은 Β∠와 ∠Ε가 만드는 직사각형과 같다. 그리고 만약 이것이 성립한다면, Β∠ 의 ∠Ε에 대한 비는 ΒΖ의 ΖΕ에 대한 비와 같게 된다.

어휘·문법 주석

6.26τὸ ἀπὸ ∠ — 원문의 "τὸ ἀπὸ ∠"는 "Γ"가 탈락된 것으로, 문맥과 이어지는 논증 과정을 볼 때 실제로는 "∠Γ의 제곱"(τὸ ἀπὸ ∠Γ)을 의미하는 것으로 해석된다.
6.26τοῦ ὑπὸ Γ∠Ε — "τοῦ ὑπὸ Γ∠Ε"에 관하여, 이는 두 선분 Γ∠와 ∠Ε가 만드는 직사각형을 의미한다. 기하학 텍스트에서는 두 인접한 선분이 만드는 직사각형을 나타내기 위해 이와 같이 세 글자를 나란히 쓰는 생략 표현이 사용된다.
6.27τὸ ὑπὸ Ε∠ — "τὸ ὑπὸ Ε∠"에서, 직전의 "τοῦ ὑπὸ Ε∠Γ"(Ε∠와 ∠Γ가 만드는 직사각형)과의 대응 관계를 고려할 때, "Γ"가 누락되어 실제로는 "Ε∠와 ∠Γ가 만드는 직사각형"을 뜻하는 것으로 해석된다.
6.28οὕτως ἡ Β πρὸς τὴν ΖΕ — "ἡ Β πρὸς τὴν ΖΕ"에서, 증명 마지막 부분의 "οὕτως ἡ ΒΖ πρὸς τὴν ΖΕ"와 비교해 볼 때 "Β" 뒤에 "Ζ"가 누락되었음이 분명하며, 실제로는 "ΒΖ"를 의미한다.
6.28ἐὰν δὲ τοῦτο — 생략 표현인 "ἐὰν δὲ τοῦτο"(만약 이것이 성립한다면)는 직전의 등식(ΒΖ와 ΖΕ가 만드는 직사각형과 ∠Ζ의 제곱의 합이 Β∠와 ∠Ε가 만드는 직사각형과 같다는 것)이 참일 때, 뒤이어 비례식이 도출됨을 나타낸다.

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에우클레이데스, 단편들 §6.26-6.28. Humanitext Reader, https://reader.humanitext.ai/ko/text/urn:cts:greekLit:tlg1799.tlg016.humanitext-grc1:6.26-6.28

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