§6.23κγ΄. Ἔστω τὸ ὑπὸ ΑΒΓ ἴσον τῷ ἀπὸ Β∠ τετραγώνῳ·
κγ΄. ΑΒ, ΒΓ の包む長方形が Β∠ の平方に等しいとせよ。
ὅτι γίνεται γ, τὸ μὲν ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς Α∠Γ καὶ τῆς Β∠ ἴσον τῷ ὑπὸ Α∠, ∠Γ, τὸ δὲ ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς Α∠Γ καὶ τῆς ΒΓ ἴσον τῷ ἀπὸ ∠Γ τετραγώνῳ, τὸ δὲ ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς Α∠Γ καὶ τῆς ΒΑ ἴσον τῷ ἀπὸ Α∠ τετραγώνῳ.
このとき、三つのことが成り立つ。 第一に、Α∠, ∠Γ の和と Β∠ の包む長方形は、Α∠, ∠Γ の包む長方形に等しく、第二に、Α∠, ∠Γ の和と ΒΓ の包む長方形は、∠Γ の平方に等しく、第三に、Α∠, ∠Γ の... の和と ΒΑ の包む長方形は、Α∠ の平方に等しい。
ἐπεὶ γὰρ τὸ ὑπὸ ΑΒΓ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ Β∠, ἀνάλογον καὶ ὅλη πρὸς ὅλην καὶ ἀνάπαλιν καὶ συνθέντι· ἔστιν ἄρα, ὡς συναμφότερος ἡ Γ∠, ∠Α πρὸς τὴν ∠Α, οὕτως ἡ Γ∠ πρὸς τὴν ∠Β·
なぜなら、ΑΒ, ΒΓ の包む長方形が Β∠ の平方に等しいので、全体と全体の比も比例し、逆比にし、また合比にすると、したがって、Γ∠, ∠Α の和の ∠Α に対する比は、Γ∠ の ∠Β に対する比に等しい。
τὸ ἄρα ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς Α∠, ∠Γ καὶ τῆς Β∠ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν Α∠Γ. πάλιν, ἐπεὶ ὅλη ἡ Α∠ πρὸς ὅλην τὴν ∠Γ ἐστιν, ὡς ἡ ∠Β πρὸς τὴν ΒΓ, συνθέντι ἐστίν, ὡς συναμφότερος ἡ Α∠Γ πρὸς τὴν ∠Γ, οὕτως ἡ ∠Γ πρὸς τὴν ΓΒ·
したがって、Α∠, ∠Γ の和と Β∠ の包む長方形は、Α∠, ∠Γ の包む長方形に等しい。 再び、全体の Α∠ の全体の ∠Γ に対する比が、∠Β の ΒΓ に対する比に等しいので、合比にすると、Α∠, ∠Γ の和の ∠Γ に対する比は、∠Γ の ΓΒ に対する比に等しい。
τὸ ἄρα ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς Α∠Γ καὶ τῆς ΓΒ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ ∠Γ. πάλιν, ἐπεὶ ὅλη ἡ Α∠ πρὸς ὅλην τὴν ∠Γ ἐστιν, ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν Β∠, ἀνάπαλιν καὶ συνθέντι ἐστίν, ὡς συναμφότερος ἡ Γ∠Α πρὸς τὴν ∠Α, οὕτως ἡ ∠Α πρὸς τὴν ΑΒ·
したがって、Α∠, ∠Γ の和と ΓΒ の包む長方形は、∠Γ の平方に等しい。 再び、全体の Α∠ の全体の ∠Γ に対する比が、 ΑΒ の Β∠ に対する比に等しいので、逆比にし、また合比にすると、Γ∠, ∠Α の和の ∠Α に対する比は、∠Α の ΑΒ に対する比に等しい。
τὸ ἄρα ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς Α∠Γ καὶ τῆς ΑΒ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ Α∠ τετραγώνῳ.
したがって、Α∠, ∠Γ の和と ΑΒ の包む長方形は、Α∠ の平方に等しい。
§6.24κδ΄. Εὐθεῖα ἡ ΑΒ καὶ δύο σημεῖα τὰ Γ, Δ, καὶ ἔστω τὸ ἀπὸ Γ∠ τετράγωνον ἴσον τῷ δὲς ὑπὸ ΑΓ Β∠·
κδ΄. 直線 ΑΒ があり、二つの点 Γ, Δ がある。 そして、 Γ∠ の平方が ΑΓ, Β∠ の包む長方形の二倍に等しいとせよ。
ὅτι καὶ τὸ ἀπὸ ΑΒ τετράγωνον ἴσον ἐστὶν τοῖς ἀπὸ τῶν Α∠, ΓΒ τετραγώνοις.
このとき、ΑΒ の平方も Α∠, ΓΒ の各平方の和に等しい。
ἐπεὶ γὰρ τὸ ἀπὸ Γ∠ ἴσον ἐστὶν τῷ θὶς ὑπὸ ΑΓ, ∠Β, τὸ ἄρα δίς ὑπὸ ΑΓΒ ἴσον ἐστὶν τῷ τε ἀπὸ τῆς Γ∠ καὶ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ∠.
なぜなら、Γ∠ の平方が ΑΓ, ∠Β の包む長方形の二倍に等しいので、したがって、ΑΓ, ΓΒ の包む長方形の二倍は、Γ∠ の平方と ΑΓ, ∠ の包む長方形の二倍の和に等しい。
κοινὸν προσκείσθω τὸ ἀπὸ ΑΓ·
共通のものとして ΑΓ の平方が加えられるとせよ。
τὸ ἄρα δὶς ὑπὸ ΑΓΒ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΑΓ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ Α∠.
したがって、ΑΓ, ΓΒ の包む長方形の二倍と ΑΓ の平方の和は、Α∠ の平方に等しい。
κοινὸν προσκείσθω τὸ ἀπὸ ΒΓ·
共通のものとして ΒΓ の平方が加えられるとせよ。
ὅλον ἄρα τὸ ἀπὸ ΑΒ τετράγωνον ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν Α∠, ΓΒ τετραγώνοις.
したがって、全体の ΑΒ の平方は、Α∠, ΓΒ の各平方の和に等しい。
§6.25κε΄. Ἔστω τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒΓ ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς Β∠·
κε΄. ΑΒ, ΒΓ の包む長方形が Β∠ の平方に等しいとせよ。
ὅτι γίνεται γ, τὸ μὲν ὑπὸ τῆς τῶν Α∠, ∠Γ ὑπεροχῆς καὶ τῆς Β∠ ἴσον τῷ ὑπὸ Α∠Γ τὸ δὲ ὑπὸ τῆς τῶν Α∠Γ ὑπεροχῆς καὶ τῆς ΒΓ ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς ∠Γ τετραγώνῳ, τὸ δὲ ὑπὸ τῆς τῶν Α∠, ∠Γ ὑπεροχῆς καὶ τῆς ΒΑ ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς Α∠ τετραγώνῳ.
このとき、三つのことが成り立つ。 第一に、Α∠, ∠Γ の差と Β∠ の包む長方形は、Α∠, ∠Γ の包む長方形に等しく、第二に、Α∠, ∠Γ の差と ΒΓ の包む長方形は、∠Γ の平方に等しく、第三に、Α∠, ∠Γ の差と ΒΑ の包む長方形は、Α∠ の平方に等しい。
ἐπεὶ γάρ ἐστιν, ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν Β∠, οὕτως ἡ Β∠ πρὸς τὴν ΒΓ, λοιπὴ πρὸς λοιπὴν καὶ διελόντι· ἔστιν οὖν, ὡς ἡ τῶν Α∠, ∠Γ ὑπεροχὴ πρὸς τὴν ∠Γ, οὕτως ἡ Α∠ πρὸς τὴν ∠Β τὸ ἄρα ὑπὸ τῆς τῶν Α∠, ∠ ὑπεροχῆς καὶ τῆς ∠Β ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ τῶν Α∠, ∠Γ. πάλιν, ἐπεὶ λοιπὴ ἡ Α∠ πρὸς λοιπὴν τὴν ∠Γ ἐστιν, ὡς ἡ ∠Β πρὸς τὴν ΒΓ, διελόντι ἐστίν, ὡς ἡ τῶν Α∠Γ ὑπεροχὴ πρὸς τὴν ∠Γ, οὕτως ἡ ∠Γ πρὸς τὴν ΓΒ·
なぜなら、ΑΒ の Β∠ に対する比は Β∠ の ΒΓ に対する比に等しく、残りのものの残りのものに対する比も（等しく）、また分比にすると、したがって、 Α∠, ∠Γ の差の ∠Γ に対する比は、Α∠ の ∠Β に対する比に等しい。 したがって、Α∠, ∠ の差と ∠Β の包む長方形は、Α∠, ∠Γ の包む長方形に等しい。 再び、残りの Α∠ の残りの ∠Γ に対する比が、∠Β の ΒΓ に対する比に等しいので、分比にすると、Α∠, ∠Γ の差の ∠Γ に対する比は、∠Γ の ΓΒ に対する比に等しい。
τὸ ἄρα ὑπὸ τῆς τῶν Α∠, ∠Γ ὑπεροχῆς καὶ τῆς ΒΓ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ τῆς ΔΓ τετραγώνῳ.
したがって、Α∠, ∠Γ の差と ΒΓ の包む長方形は、ΔΓ の平方に等しい。
πάλιν, ἐπεί ἐστιν, ὡς ἡ Α∠ πρὸς τὴν ∠Γ οὕτως ἡ ΑΒ πρὸς τὴν Β∠, ἀνάπαλιν καὶ διελόντι ἐστίν, ὡς ἡ τῶν Απαλιν, ∠Γ ὑπεροχὴ πρὸς τὴν ∠Α, οὕτως ἡ ∠Α πρὸς τὴν ΑΒ τὸ ἄρα ὑπὸ τῆς τῶν Α∠, ∠Γ ὑπεροχῆς καὶ τῆς ΑΒ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ τῆς Α∠ τετραγώνῳ.
再び、Α∠ の ∠Γ に対する比が、ΑΒ の Β∠ に対する比に等しいので、逆比にし、また分比にすると、Απαλιν, ∠Γ の差の ∠Α に対する比は、∠Α の ΑΒ に対する比に等しい。 したがって、Α∠, ∠Γ の差と ΑΒ の包む長方形は、Α∠ の平方に等しい。