§6.20κ΄. Ἔστω δύο τρίγωνα τὰ ΑΒΓ, ∠ΕΖ ἴσας ἔχοντα τὰς Α, ∠ γωνίας·
κ΄. 二つの三角形 ΑΒΓ, ∠ΕΖ があり、等しい角 Α, ∠ を持つとせよ。
ὅτι ἐστίν, ὡς τὸ ὑπὸ ΒΑΓ πρὸς τὸ ὑπὸ Ε∠Ζ, οὕτως τὸ ΑΒΓ τρίγωνον πρὸς τὸ Ε∠ τρίγωνον.
このとき、ΒΑ, ΑΓ の包む長方形の、Ε∠, ∠Ζ の包む長方形に対する比は、三角形 ΑΒΓ の、三角形 ∠ΕΖ に対する比に等しいことを（示すべきである）。
ἤχθωσαν κάθετοι αἱ ΒΗ, ΕΘ.
ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ μὲν Α γωνία τῇ ∠, ἡ δὲ Η τῇ Θ, ἔστιν ἄρα, ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΗ, οὕτως ἡ ∠Ε πρὸς τὴν ΕΘ. ἀλλ᾿ ὡς μὲν ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΗ, οὕτως ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΒΑΓ πρὸς τὸ ὑπὸ ΒΗ, ΑΓ, ὡς δὲ ἡ ∠Ε πρὸς τὴν ΕΘ, οὕτως ἐστὶν τὸ ὑπὸ Ε∠Ζ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΘ, ∠Ζ ἔστιν ἄρα, ὡς τὸ ὑπὸ ΒΑΓ πρὸς τὸ ὑπὸ ΒΗ, ΑΓ, οὕτως τὸ ὑπὸ Ε∠Ζ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΘ, ∠Ζ· καὶ ἐναλλάξ.
垂線 ΒΗ, ΕΘ が引かれるとせよ。 さて、角 Α は ∠ に等しく、Η は Θ に等しいので、したがって、ΑΒ の ΒΗ に対する比は、∠Ε の ΕΘ に対する比に等しい。 しかし、ΑΒ の ΒΗ に対する比は、ΒΑ, ΑΓ の包む長方形の、ΒΗ, ΑΓ の包む長方形に対する比に等しく、∠Ε の ΕΘ に対する比は、Ε∠, ∠Ζ の包む長方形の、ΕΘ, ∠Ζ の包む長方形に対する比に等しい。 したがって、ΒΑ, ΑΓ の包む長方形の、ΒΗ, ΑΓ の包む長方形に対する比は、Ε∠, ∠Ζ の包む長方形の、ΕΘ, ∠Ζ の包む長方形に対する比に等しく、交互比によっても同様である。
ἀλλ᾿ ὡς τὸ ὑπὸ ΒΗ, ΑΓ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΘ, ∠Ζ, οὕτως ἐστὶν τὸ ΑΒΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ∠ΕΖ τρίγωνον·
しかし、ΒΗ, ΑΓ の包む長方形の、ΕΘ, ∠Ζ の包む長方形に対する比は、三角形 ΑΒΓ の、三角形 ∠ΕΖ に対する比に等しい。
ἐκατέρα γὰρ τῶν ΒΗ, ΕΘ κάθετός ἐστιν ἑκατέρου τῶν εἰρημένων τριγώνων·
なぜなら、ΒΗ, ΕΘ のそれぞれは、上述のそれぞれの三角形の垂線だからである。
καὶ ὡς ἄρα τὸ ὑπὸ ΒΑΓ πρὸς τὸ ὑπὸ Ε∠Ζ, οὕτως ἐστὶν τὸ ΑΒΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ∠ΕΖ τρίγωνον.
したがってまた、ΒΑ, ΑΓ の包む長方形の、 Ε∠, ∠Ζ の包む長方形に対する比は、三角形 ΑΒΓ の、三角形 ∠ΕΖ に対する比に等しい。
§6.21κα΄. Ἔστωσαν δὴ αἱ Α, ∠ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι·
κα΄. 次に、角 Α, ∠ が二直角に等しいとせよ。
ὅτι πάλιν γίνεται, ὡς τὸ ὑπὸ ΒΑΓ πρὸς τὸ ὑπὸ Ε∠Ζ, οὕτως τὸ ΑΒΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ∠ΕΖ τρίγωνον.
このとき、再び、ΒΑ, ΑΓ の包む長方形の、Ε∠, ∠Ζ の包む長方形に対する比は、三角形 ΑΒΓ の、三角形 ∠ΕΖ に対する比に等しくなる。
ἐκβεβλήσθω ἡ ΒΑ, καὶ κείσθω τῇ ΒΑ ἴση ἡ ΑΗ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΓΗ.
ἐπεὶ οὖν αἱ Α, Δ γωνίαι δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν, ἀλλὰ καὶ αἱ ὑπὸ ΒΑΓ, ΓΑΗ γωνίαι δυσὶν ὀρθαῖς, ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΓΑΗ γωνία τῇ ∠.
ΒΑ が延長され、ΒΑ に等しい ΑΗ が置かれ、ΓΗ が結ばれるとせよ。 さて、角 Α, Δ は二直角に等しく、さらに角 ΒΑΓ, ΓΑΗ も二直角に等しいので、したがって角 ΓΑΗ は ∠ に等しい。
ἔστιν οὖν, ὡς τὸ ὑπὸ ΗΑΓ πρὸς τὸ ὑπὸ Ε∠Ζ, οὕτως τὸ ΑΗΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ∠ΕΖ τρίγωνον ἴση δέ ἐστιν ἡ μὲν ΗΑ τῇ ΑΒ, τὸ δὲ ΗΑΓ τρίγωνον τῷ ΑΒΓ τριγώνῳ·
したがって、ΗΑ, ΑΓ の包む長方形の、Ε∠, ∠Ζ の包む長方形に対する比は、三角形 ΑΗΓ の、三角形 ∠ΕΖ に対する比に等しい。 ところで、ΗΑ は ΑΒ に等しく、三角形 ΑΗΓ は三角形 ΑΒΓ に等しい。
ἔστιν ἄρα, ὡς τὸ ὑπὸ ΒΑΓ πρὸς τὸ ὑπὸ Ε∠Ζ, οὕτως τὸ ΑΒΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ∠ΕΖ τρίγωνον.
したがって、ΒΑ, ΑΓ の包む長方形の、Ε∠, ∠Ζ の包む長方形に対する比は、三角形 ΑΒΓ の、三角形 ∠ΕΖ に対する比に等しい。
§6.22κβ΄. Εὐθεῖα ἡ ΑΒ, καὶ ἐπ᾿ αὐτῆς δύο σημεῖα τὰ Γ, ∠, ἔστω δὲ τὸ δὶς ὑπὸ ΑΒ, Γ∠ ἴσον τῷ ἀπὸ ΓΒ·
κβ΄. 直線 ΑΒ があり、その上に二つの点 Γ, ∠ がある。 そして、ΑΒ, Γ∠ の包む長方形の二倍が、ΓΒ の平方に等しいとせよ。
ὅτι καὶ τὸ ἀπὸ Α∠ ἴσον ἐστὶν τοῖς ἀπὸ τῶν Α ∠Β τετραγώνοις.
このとき、Α∠ の平方も、ΑΓ, ∠Β の各正方形の和に等しい。
ἐπεὶ γὰρ τὸ δὶς ὑπὸ ΑΒ, Γγώνοις. ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ ΓΒ, κοινὸν ἀφῃρήσθω τὸ δὶς ὑπὸ Β∠Γ λοιπὸν ἄρα τὸ δὲς ὑπὸ Α∠Γ ἴσον ἐστὶν τοῖς ἀπὸ τῶν Γ∠, ∠Β τετραγώνοις.
なぜなら、ΑΒ, Γ∠ の包む長方形の二倍が ΓΒ の平方に等しいので、共通のものとして Β∠, Γ の包む長方形の二倍が引かれるとせよ。 したがって、残りの Α∠, Γ の包む長方形の二倍は、Γ∠, ∠Β の各正方形の和に等しい。
κοινὸν ἀφῃρήσθω τὸ ἀπὸ ΓΔ τετράγωνον·
共通のものとして ΓΔ の正方形が引かれるとせよ。
λοιπὸν ἄρα τὸ θὶς ὑπὸ ΑΓ∠ μετὰ τοῦ ἀπὸ Γ∠ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ ∠Β τετραγώνῳ.
したがって、残りの ΑΓ, ∠ の包む長方形の二倍と Γ∠ の平方の和は、∠Β の正方形に等しい。
κοινὸν προσκείσθω τὸ ἀπὸ ΑΓ τετράγωνον·
共通のものとして ΑΓ の正方形が加えられるとせよ。
ὅλον ἄρα τὸ ἀπὸ Α∠ τετράγωνον ἴσον ἐστὶν τοῖς ἀπὸ τῶν ΑΓ, ∠Β τετραγώνοις.
したがって、全体の Α∠ の正方形は、ΑΓ, ∠Β の各正方形の和に等しい。