§6.23κγ΄. Ἔστω τὸ ὑπὸ ΑΒΓ ἴσον τῷ ἀπὸ Β∠ τετραγώνῳ· ὅτι γίνεται γ, τὸ μὲν ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς Α∠Γ καὶ τῆς Β∠ ἴσον τῷ ὑπὸ Α∠, ∠Γ, τὸ δὲ ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς Α∠Γ καὶ τῆς ΒΓ ἴσον τῷ ἀπὸ ∠Γ τετραγώνῳ, τὸ δὲ ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς Α∠Γ καὶ τῆς ΒΑ ἴσον τῷ ἀπὸ Α∠ τετραγώνῳ.
23. 设 ΑΒ 与 ΒΓ 所包长方形等于 Β∠ 的平方；求证有三事成立：第一，Α∠ 与 ∠Γ 之和与 Β∠ 所包长方形等于 Α∠ 与 ∠Γ 所包长方形；第二，Α∠ 与 ∠Γ 之和与 ΒΓ 所包长方形等于 ∠Γ 的平方；第三，Α∠ 与 ∠Γ 之和与 ΒΑ 所包长方形等于 Α∠ 的平方。
ἐπεὶ γὰρ τὸ ὑπὸ ΑΒΓ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ Β∠, ἀνάλογον καὶ ὅλη πρὸς ὅλην καὶ ἀνάπαλιν καὶ συνθέντι· ἔστιν ἄρα, ὡς συναμφότερος ἡ Γ∠, ∠Α πρὸς τὴν ∠Α, οὕτως ἡ Γ∠ πρὸς τὴν ∠Β· τὸ ἄρα ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς Α∠, ∠Γ καὶ τῆς Β∠ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν Α∠Γ. πάλιν, ἐπεὶ ὅλη ἡ Α∠ πρὸς ὅλην τὴν ∠Γ ἐστιν, ὡς ἡ ∠Β πρὸς τὴν ΒΓ, συνθέντι ἐστίν, ὡς συναμφότερος ἡ Α∠Γ πρὸς τὴν ∠Γ, οὕτως ἡ ∠Γ πρὸς τὴν ΓΒ· τὸ ἄρα ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς Α∠Γ καὶ τῆς ΓΒ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ ∠Γ. πάλιν, ἐπεὶ ὅλη ἡ Α∠ πρὸς ὅλην τὴν ∠Γ ἐστιν, ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν Β∠, ἀνάπαλιν καὶ συνθέντι ἐστίν, ὡς συναμφότερος ἡ Γ∠Α πρὸς τὴν ∠Α, οὕτως ἡ ∠Α πρὸς τὴν ΑΒ· τὸ ἄρα ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς Α∠Γ καὶ τῆς ΑΒ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ Α∠ τετραγώνῳ.
因为，由于 ΑΒ 与 ΒΓ 所包长方形等于 Β∠ 的平方，全量与全量成比例，且经由反比与合比；因此，正如 Γ∠ 与 ∠Α 之和对 ∠Α 的比，等于 Γ∠ 对 ∠Β 的比；因此，Α∠ 与 ∠Γ 之和与 Β∠ 所包长方形等于 Α∠ 与 ∠Γ 所包长方形。 再次，因为全量 Α∠ 对全量 ∠Γ 的比，等于 ∠Β 对 ΒΓ 的比，经由合比，正如 Α∠ 与 ∠Γ 之和对 ∠Γ 的比，等于 ∠Γ 对 ΓΒ 的比；因此，Α∠ 与 ∠Γ 之和与 ΓΒ 所包长方形等于 ∠Γ 的平方。 再次，因为全量 Α∠ 对全量 ∠Γ 的比，等于 ΑΒ 对 Β∠ 的比，经由反比与合比，正如 Γ∠ 与 ∠Α 之和对 ∠Α 的比，等于 ∠Α 对 ΑΒ 的比；因此，Α∠ 与 ∠Γ 之和与 ΑΒ 所包长方形等于 Α∠ 的平方。
§6.24κδ΄. Εὐθεῖα ἡ ΑΒ καὶ δύο σημεῖα τὰ Γ, Δ, καὶ ἔστω τὸ ἀπὸ Γ∠ τετράγωνον ἴσον τῷ δὲς ὑπὸ ΑΓ Β∠· ὅτι καὶ τὸ ἀπὸ ΑΒ τετράγωνον ἴσον ἐστὶν τοῖς ἀπὸ τῶν Α∠, ΓΒ τετραγώνοις.
24. 设有一直线 ΑΒ 与两点 Γ、Δ，并设 Γ∠ 的平方等于二倍的 ΑΓ 与 Β∠ 所包长方形；求证 ΑΒ 的平方也等于 Α∠ 与 ΓΒ 的各平方之和。
ἐπεὶ γὰρ τὸ ἀπὸ Γ∠ ἴσον ἐστὶν τῷ θὶς ὑπὸ ΑΓ, ∠Β, τὸ ἄρα δίς ὑπὸ ΑΓΒ ἴσον ἐστὶν τῷ τε ἀπὸ τῆς Γ∠ καὶ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ∠.
因为，由于 Γ∠ 的平方等于二倍的 ΑΓ 与 ∠Β 所包长方形，因此二倍的 ΑΓ 与 ΓΒ 所包长方形等于 Γ∠ 的平方与二倍的 ΑΓ 与 ∠ 所包长方形之和。
κοινὸν προσκείσθω τὸ ἀπὸ ΑΓ· τὸ ἄρα δὶς ὑπὸ ΑΓΒ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΑΓ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ Α∠.
设加上公共的 ΑΓ 的平方；因此二倍的 ΑΓ 与 ΓΒ 所包长方形加上 ΑΓ 的平方，等于 Α∠ 的平方。
κοινὸν προσκείσθω τὸ ἀπὸ ΒΓ· ὅλον ἄρα τὸ ἀπὸ ΑΒ τετράγωνον ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν Α∠, ΓΒ τετραγώνοις.
设加上公共的 ΒΓ 的平方；因此整个 ΑΒ 的平方等于 Α∠ 与 ΓΒ 的各平方之和。
§6.25κε΄. Ἔστω τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒΓ ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς Β∠· ὅτι γίνεται γ, τὸ μὲν ὑπὸ τῆς τῶν Α∠, ∠Γ ὑπεροχῆς καὶ τῆς Β∠ ἴσον τῷ ὑπὸ Α∠Γ τὸ δὲ ὑπὸ τῆς τῶν Α∠Γ ὑπεροχῆς καὶ τῆς ΒΓ ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς ∠Γ τετραγώνῳ, τὸ δὲ ὑπὸ τῆς τῶν Α∠, ∠Γ ὑπεροχῆς καὶ τῆς ΒΑ ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς Α∠ τετραγώνῳ.
25. 设 ΑΒ 与 ΒΓ 所包长方形等于 Β∠ 的平方；求证有三事成立：第一，Α∠ 与 ∠Γ 的差与 Β∠ 所包长方形等于 Α∠ 与 ∠Γ 所包长方形；第二，Α∠ 与 ∠Γ 的差与 ΒΓ 所包长方形等于 ∠Γ 的平方；第三，Α∠ 与 ∠Γ 的差与 ΒΑ 所包长方形等于 Α∠ 的平方。
ἐπεὶ γάρ ἐστιν, ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν Β∠, οὕτως ἡ Β∠ πρὸς τὴν ΒΓ, λοιπὴ πρὸς λοιπὴν καὶ διελόντι· ἔστιν οὖν, ὡς ἡ τῶν Α∠, ∠Γ ὑπεροχὴ πρὸς τὴν ∠Γ, οὕτως ἡ Α∠ πρὸς τὴν ∠Β τὸ ἄρα ὑπὸ τῆς τῶν Α∠, ∠ ὑπεροχῆς καὶ τῆς ∠Β ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ τῶν Α∠, ∠Γ. πάλιν, ἐπεὶ λοιπὴ ἡ Α∠ πρὸς λοιπὴν τὴν ∠Γ ἐστιν, ὡς ἡ ∠Β πρὸς τὴν ΒΓ, διελόντι ἐστίν, ὡς ἡ τῶν Α∠Γ ὑπεροχὴ πρὸς τὴν ∠Γ, οὕτως ἡ ∠Γ πρὸς τὴν ΓΒ· τὸ ἄρα ὑπὸ τῆς τῶν Α∠, ∠Γ ὑπεροχῆς καὶ τῆς ΒΓ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ τῆς ΔΓ τετραγώνῳ.
因为，由于正如 ΑΒ 对 Β∠ 的比，等于 Β∠ 对 ΒΓ 的比，余量对余量成比例，且经由分比；因此，正如 Α∠ 与 ∠Γ 的差对 ∠Γ 的比，等于 Α∠ 对 ∠Β 的比；因此，Α∠ 与 ∠ 的差与 ∠Β 所包长方形等于 Α∠ 与 ∠Γ 所包长方形。 再次，因为余量 Α∠ 对余量 ∠Γ 的比，等于 ∠Β 对 ΒΓ 的比，经由分比，正如 Α∠ 与 ∠Γ 的差对 ∠Γ 的比，等于 ∠Γ 对 ΓΒ 的比；因此，Α∠ 与 ∠Γ 的差与 ΒΓ 所包长方形等于 ΔΓ 的平方。
πάλιν, ἐπεί ἐστιν, ὡς ἡ Α∠ πρὸς τὴν ∠Γ οὕτως ἡ ΑΒ πρὸς τὴν Β∠, ἀνάπαλιν καὶ διελόντι ἐστίν, ὡς ἡ τῶν Απαλιν, ∠Γ ὑπεροχὴ πρὸς τὴν ∠Α, οὕτως ἡ ∠Α πρὸς τὴν ΑΒ τὸ ἄρα ὑπὸ τῆς τῶν Α∠, ∠Γ ὑπεροχῆς καὶ τῆς ΑΒ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ τῆς Α∠ τετραγώνῳ.
再次，因为正如 Α∠ 对 ∠Γ 的比，等于 ΑΒ 对 Β∠ 的比，经由反比与分比，正如 Απαλιν 与 ∠Γ 的差对 ∠Α 的比，等于 ∠Α 对 ΑΒ 的比；因此，Α∠ 与 ∠Γ 的差与 ΑΒ 所包长方形等于 Α∠ 的平方。