§6.23κγ΄.
23.
Ἔστω τὸ ὑπὸ ΑΒΓ ἴσον τῷ ἀπὸ Β∠ τετραγώνῳ·
ΑΒ와 ΒΓ가 만드는 직사각형이 Β∠의 제곱과 같다고 하자.
ὅτι γίνεται γ, τὸ μὲν ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς Α∠Γ καὶ τῆς Β∠ ἴσον τῷ ὑπὸ Α∠, ∠Γ, τὸ δὲ ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς Α∠Γ καὶ τῆς ΒΓ ἴσον τῷ ἀπὸ ∠Γ τετραγώνῳ, τὸ δὲ ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς Α∠Γ καὶ τῆς ΒΑ ἴσον τῷ ἀπὸ Α∠ τετραγώνῳ.
이때 세 가지가 성립함을 (보여야 한다). 첫째, Α∠와 ∠Γ의 합과 Β∠가 만드는 직사각형은 Α∠와 ∠Γ가 만드는 직사각형과 같고, 둘째, Α∠와 ∠Γ의 합과 ΒΓ가 만드는 직사각형은 ∠Γ의 제곱과 같으며, 셋째, Α∠와 ∠Γ의 합과 ΒΑ가 만드는 직사각형은 Α∠의 제곱과 같다.
ἐπεὶ γὰρ τὸ ὑπὸ ΑΒΓ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ Β∠, ἀνάλογον καὶ ὅλη πρὸς ὅλην καὶ ἀνάπαλιν καὶ συνθέντι· ἔστιν ἄρα, ὡς συναμφότερος ἡ Γ∠, ∠Α πρὸς τὴν ∠Α, οὕτως ἡ Γ∠ πρὸς τὴν ∠Β·
왜냐하면 ΑΒ와 ΒΓ가 만드는 직사각형이 Β∠의 제곱과 같으므로, 전체와 전체의 비도 비례하고 역비와 합비에 의해, 따라서 Γ∠와 ∠Α의 합의 ∠Α에 대한 비는 Γ∠의 ∠Β에 대한 비와 같다.
τὸ ἄρα ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς Α∠, ∠Γ καὶ τῆς Β∠ ἴσον ἐστὶ τῷ ὑπὸ τῶν Α∠Γ. πάλιν, ἐπεὶ ὅλη ἡ Α∠ πρὸς ὅλην τὴν ∠Γ ἐστιν, ὡς ἡ ∠Β πρὸς τὴν ΒΓ, συνθέντι ἐστίν, ὡς συναμφότερος ἡ Α∠Γ πρὸς τὴν ∠Γ, οὕτως ἡ ∠Γ πρὸς τὴν ΓΒ·
그러므로 Α∠와 ∠Γ의 합과 Β∠가 만드는 직사각형은 Α∠와 ∠Γ가 만드는 직사각형과 같다. 다시, 전체 Α∠의 전체 ∠Γ에 대한 비가 ∠Β의 ΒΓ에 대한 비와 같으므로, 합비에 의해 Α∠와 ∠Γ의 합의 ∠Γ에 대한 비는 ∠Γ의 ΓΒ에 대한 비와 같다.
τὸ ἄρα ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς Α∠Γ καὶ τῆς ΓΒ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ ∠Γ. πάλιν, ἐπεὶ ὅλη ἡ Α∠ πρὸς ὅλην τὴν ∠Γ ἐστιν, ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν Β∠, ἀνάπαλιν καὶ συνθέντι ἐστίν, ὡς συναμφότερος ἡ Γ∠Α πρὸς τὴν ∠Α, οὕτως ἡ ∠Α πρὸς τὴν ΑΒ·
그러므로 Α∠와 ∠Γ의 합과 ΓΒ가 만드는 직사각형은 ∠Γ의 제곱과 같다. 다시, 전체 Α∠의 전체 ∠Γ에 대한 비가 ΑΒ의 Β∠에 대한 비와 같으므로, 역비와 합비에 의해 Γ∠와 ∠Α의 합의 ∠Α에 대한 비는 ∠Α의 ΑΒ에 대한 비와 같다.
τὸ ἄρα ὑπὸ συναμφοτέρου τῆς Α∠Γ καὶ τῆς ΑΒ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ Α∠ τετραγώνῳ.
그러므로 Α∠와 ∠Γ의 합과 ΑΒ가 만드는 직사각형은 Α∠의 제곱과 같다.
§6.24κδ΄.
24.
Εὐθεῖα ἡ ΑΒ καὶ δύο σημεῖα τὰ Γ, Δ, καὶ ἔστω τὸ ἀπὸ Γ∠ τετράγωνον ἴσον τῷ δὲς ὑπὸ ΑΓ Β∠·
직선 ΑΒ가 있고 두 점 Γ, Δ가 있으며, Γ∠의 제곱이 ΑΓ와 Β∠가 만드는 직사각형의 두 배와 같다고 하자.
ὅτι καὶ τὸ ἀπὸ ΑΒ τετράγωνον ἴσον ἐστὶν τοῖς ἀπὸ τῶν Α∠, ΓΒ τετραγώνοις.
이때 Α방의 제곱도 Α∠와 ΓΒ의 각 제곱의 합과 같음을 (보여야 한다).
ἐπεὶ γὰρ τὸ ἀπὸ Γ∠ ἴσον ἐστὶν τῷ θὶς ὑπὸ ΑΓ, ∠Β, τὸ ἄρα δίς ὑπὸ ΑΓΒ ἴσον ἐστὶν τῷ τε ἀπὸ τῆς Γ∠ καὶ τῷ δὶς ὑπὸ τῶν ΑΓ∠.
왜냐하면 Γ∠의 제곱이 ΑΓ와 ∠Β가 만드는 직사각형의 두 배와 같으므로, 따라서 ΑΓ와 ΓΒ가 만드는 직사각형의 두 배는 Γ∠의 제곱과 ΑΓ와 ∠가 만드는 직사각형의 두 배의 합과 같다.
κοινὸν προσκείσθω τὸ ἀπὸ ΑΓ·
공통된 것인 ΑΓ의 제곱을 더하라.
τὸ ἄρα δὶς ὑπὸ ΑΓΒ μετὰ τοῦ ἀπὸ ΑΓ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ Α∠.
그러므로 ΑΓ와 ΓΒ가 만드는 직사각형의 두 배와 ΑΓ의 제곱의 합은 Α∠의 제곱과 같다.
κοινὸν προσκείσθω τὸ ἀπὸ ΒΓ·
공통된 것인 ΒΓ의 제곱을 더하라.
ὅλον ἄρα τὸ ἀπὸ ΑΒ τετράγωνον ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν Α∠, ΓΒ τετραγώνοις.
그러므로 전체 ΑΒ의 제곱은 Α∠와 ΓΒ의 각 제곱의 합과 같다.
§6.25κε΄.
25.
Ἔστω τὸ ὑπὸ τῶν ΑΒΓ ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς Β∠·
ΑΒ와 ΒΓ가 만드는 직사각형이 Β∠의 제곱과 같다고 하자.
ὅτι γίνεται γ, τὸ μὲν ὑπὸ τῆς τῶν Α∠, ∠Γ ὑπεροχῆς καὶ τῆς Β∠ ἴσον τῷ ὑπὸ Α∠Γ τὸ δὲ ὑπὸ τῆς τῶν Α∠Γ ὑπεροχῆς καὶ τῆς ΒΓ ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς ∠Γ τετραγώνῳ, τὸ δὲ ὑπὸ τῆς τῶν Α∠, ∠Γ ὑπεροχῆς καὶ τῆς ΒΑ ἴσον τῷ ἀπὸ τῆς Α∠ τετραγώνῳ.
이때 세 가지가 성립함을 (보여야 한다). 첫째, Α∠와 ∠Γ의 차와 Β∠가 만드는 직사각형은 Α∠와 ∠Γ가 만드는 직사각형과 같고, 둘째, Α∠와 ∠Γ의 차와 ΒΓ가 만드는 직사각형은 ∠Γ의 제곱과 같으며, 셋째, Α∠와 ∠Γ의 차와 ΒΑ가 만드는 직사각형은 Α∠의 제곱과 같다.
ἐπεὶ γάρ ἐστιν, ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν Β∠, οὕτως ἡ Β∠ πρὸς τὴν ΒΓ, λοιπὴ πρὸς λοιπὴν καὶ διελόντι· ἔστιν οὖν, ὡς ἡ τῶν Α∠, ∠Γ ὑπεροχὴ πρὸς τὴν ∠Γ, οὕτως ἡ Α∠ πρὸς τὴν ∠Β τὸ ἄρα ὑπὸ τῆς τῶν Α∠, ∠ ὑπεροχῆς καὶ τῆς ∠Β ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ τῶν Α∠, ∠Γ. πάλιν, ἐπεὶ λοιπὴ ἡ Α∠ πρὸς λοιπὴν τὴν ∠Γ ἐστιν, ὡς ἡ ∠Β πρὸς τὴν ΒΓ, διελόντι ἐστίν, ὡς ἡ τῶν Α∠Γ ὑπεροχὴ πρὸς τὴν ∠Γ, οὕτως ἡ ∠Γ πρὸς τὴν ΓΒ·
왜냐하면 ΑΒ의 Β∠에 대한 비가 Β∠의 ΒΓ에 대한 비와 같으므로, 나머지와 나머지의 비도 비례하고 분비에 의해, 따라서 Α∠와 ∠Γ의 차의 ∠Γ에 대한 비는 Α∠의 ∠Β에 대한 비와 같다. 그러므로 Α∠와 ∠의 차와 ∠Β가 만드는 직사각형은 Α∠와 ∠Γ가 만드는 직사각형과 같다. 다시, 나머지 Α∠의 나머지 ∠Γ에 대한 비가 ∠Β의 ΒΓ에 대한 비와 같으므로, 분비에 의해 Α∠와 ∠Γ의 차의 ∠Γ에 대한 비는 ∠Γ의 ΓΒ에 대한 비와 같다.
τὸ ἄρα ὑπὸ τῆς τῶν Α∠, ∠Γ ὑπεροχῆς καὶ τῆς ΒΓ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ τῆς ΔΓ τετραγώνῳ.
그러므로 Α∠와 ∠Γ의 차와 ΒΓ가 만드는 직사각형은 ΔΓ의 제곱과 같다.
πάλιν, ἐπεί ἐστιν, ὡς ἡ Α∠ πρὸς τὴν ∠Γ οὕτως ἡ ΑΒ πρὸς τὴν Β∠, ἀνάπαλιν καὶ διελόντι ἐστίν, ὡς ἡ τῶν Απαλιν, ∠Γ ὑπεροχὴ πρὸς τὴν ∠Α, οὕτως ἡ ∠Α πρὸς τὴν ΑΒ τὸ ἄρα ὑπὸ τῆς τῶν Α∠, ∠Γ ὑπεροχῆς καὶ τῆς ΑΒ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ τῆς Α∠ τετραγώνῳ.
다시, Α∠의 ∠Γ에 대한 비가 ΑΒ의 Β∠에 대한 비와 같으므로, 역비와 분비에 의해 Απαλιν과 ∠Γ의 차의 ∠Α에 대한 비는 ∠Α의 ΑΒ에 대한 비와 같다. 그러므로 Α∠와 ∠Γ의 차와 ΑΒ가 만드는 직사각형은 Α∠의 제곱과 같다.