§6.17ιζ΄. Ἀλλὰ δὴ μὴ ἔστω παράλληλος ἡ ΑΒ τῇ Γ∠, ἀλλὰ συμπιπτέτω κατὰ τὸ Ν.
ἐπεὶ οὖν ἀπὸ τοῦ αὐτοῦ σημείου τοῦ ∠ εἰς τρεῖς εὐθείας τὰς ΒΝ, ΒΓ, ΒΖ δύο εὐθεῖαι διηγμέναι εἰσὶν αἱ ∠Ε, ∠Ν, ἔστιν, ὡς τὸ ὑπὸ Ν∠, ΓΖ πρὸς τὸ ὑπὸ ΝΓ, ∠Ζ, οὕτως τὸ ὑπὸ ∠Ε, ΚΛ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΛ, Κ∠.
ιζ΄. しかし、ΑΒ が Γ∠ に平行ではないとし、点 Ν で交わるとせよ。 さて、同一の点 ∠ から3つの直線 ΒΝ, ΒΓ, ΒΖ に対して2つの直線 ∠Ε, ∠Ν が引かれているので、Ν∠ と ΓΖ の包む長方形の、 ΝΓ と ∠Ζ の包む長方形に対する比は、∠Ε と ΚΛ の包む長方形の、ΕΛ と Κ∠ の包む長方形に対する比に等しくなる。
ὡς δὲ τὸ ὑπὸ Ε∠, ΚΛ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΛ, Κ∠, οὕτως ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΕΘ, ΓΗ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΓ, ΘΗ·
ところで、Ε∠ と ΚΛ の包む長方形の、ΕΛ と Κ∠ の包む長方形に対する比は、ΕΘ と ΓΗ の包む長方形の、ΕΓ と ΘΗ の包む長方形に対する比に等しい。
πάλιν γὰρ εἰς τρεῖς τὰς ΓΛ, ∠Θ, ΗΚ ἀπὸ τοῦ αὐτοῦ σημείου τοῦ Ε δύο ἠγμέναι εἰσὶν αἱ ΕΓ, Ε∠·
なぜなら、再び 3つの直線 ΓΛ, ∠Θ, ΗΚ に対して同一の点 Ε から2つの直線 ΕΓ, Ε∠ が引かれているからである。
καὶ ὡς ἄρα τὸ ὑπὸ ΕΘ, ΓΗ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΓ, ΘΗ, οὕτως τὸ ὑπὸ Ν∠, ΓΖ πρὸς τὸ ὑπὸ ΝΓ, Ζ∠.
したがってまた、ΕΘ と ΓΗ の包む長方形の、ΕΓ と ΘΗ の包む長方形に対する比は、Ν∠ と ΓΖ の包む長方形の、ΝΓ と Ζ∠ の包む長方形に対する比に等しい。
διὰ δὴ τὸ προγεγραμμένον εὐθεῖά ἐστιν ἡ διὰ τῶν Α, Θ, ∠·
したがって、前に書かれたこと（定理14）により、Α, Θ, ∠ を通る線は直線である。
καὶ ἡ διὰ τῶν Α, Μ, Δ ἄρα εὐθεῖά ἐστιν.
したがってまた、Α, Μ, Δ を通る線も直線である。
§6.18ιη΄. Τρίγωνον τὸ ΑΒΓ, καὶ τῇ ΒΓ παράλληλος ἤχθω ἡ Α∠, καὶ διήχθωσαν αἱ ∠Ε, ΖΗ, ἔστω δέ, ὡς τὸ ἀπὸ ΕΒ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΓΒ, οὕτως ἡ ΒΗ πρὸς τὴν ΗΓ·
ιη΄. 三角形 ΑΒΓ があり、ΒΓ に平行な直線 Α∠ が引かれ、∠Ε, ΖΗ が引かれるとせよ。 そして、ΕΒ の平方の、ΕΓ, ΓΒ の包む長方形に対する比は、ΒΗ の ΗΓ に対する比に等しいとせよ。
ὅτι, ἐὰν ἐπιζευχθῇ ἡ Β∠, γίνεται εὐθεῖα ἡ διὰ τῶν Θ, Κ, Γ.
ἐπεί ἔστιν, ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΕΒ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΓΒ, οὕτως ἡ ΒH πρὸς ΗΓ, κοινὸς ἄρα προσκείσθω ὁ τῆς ΓΕ πρὸς ΕΒ λόγος ὁ αὐτὸς ὢν τῷ τοῦ ὑπὸ ΕΓΒ πρὸς τὸ ὑπὸ ΚΒΓ·
このとき、Β∠ が結ばれるならば、 Θ, Κ, Γ を通る線は直線となることを（示すべきである）。 さて、ΕΒ の平方の、ΕΓ, ΓΒ の包む長方形に対する比は、ΒΗ の ΗΓ に対する比に等しいので、共通の比として ΓΕ の ΕΒ に対する比を加えよ。 この比は、ΕΓ, ΓΒ の包む長方形の、ΚΒ, ΒΓ の包む長方形に対する比に等しい。
δι᾿ ἴσου ἄρα ὁ τοῦ ἀπὸ ΕΒ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΒΓ λόγος, τουτέστιν ὁ τῆς ΕΒ πρὸς τὴν ΒΓ, ὁ αὐτός ἐστιν τῷ συνημμένῳ ἔκ τε τοῦ τῆς ΒΗ πρὸς ΗΓ καὶ τοῦ τοῦ ὑπὸ ΕΓΒ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΒΓ, ὅς ἔστιν ὁ αὐτὸς τῷ τῆς ΕΓ πρὸς ΕΒ·
したがって、等比により、ΕΒ の平方の、 ΕΒ, ΒΓ の包む長方形に対する比、すなわち ΕΒ の ΒΓ に対する比は、ΒΗ の ΗΓ に対する比と、ΕΓ, ΓΒ の包む長方形の、ΕΒ, ΒΓ の包む長方形に対する比とから合成された比に等しく、この比は ΕΓ の ΕΒ に対する比に等しい。
ὥστε ὁ τοῦ ἀπὸ ΕΒ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΒΓ συνῆπται ἔκ τε τοῦ ὃν ἔχει ἡ ΒΗ πρὸς ΗΓ καὶ τοῦ ὃν ἔχει ἡ ΕΓ πρὸς ΕΒ, ὅς ἐστιν ὁ αὐτὸς τῷ τοῦ ὑπὸ ΕΓ, ΒΗ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΒ, ΓΗ. ὡς δὲ ἡ ΕΒ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως ἐστὶν διὰ τὸ προγεγραμμένον λῆμμα τὸ ὑπὸ ∠Ε, ΖΘ πρὸς τὸ ὑπὸ ∠Ζ, ΘΕ·
したがって、ΕΒ の平方の、 ΕΒ, ΒΓ の包む長方形に対する比は、ΒΗ の ΗΓ に対する比と、ΕΓ の ΕΒ に対する比とから合成されており、この比は、ΕΓ と ΒΗ の包む長方形の、ΕΒ と ΓΗ の包む長方形に対する比に等しい。 ところで、前に書かれた補題により、ΕΒ の ΒΓ に対する比は、 ∠Ε と ΖΘ の包む長方形の、∠Ζ と ΘΕ の包む長方形に対する比に等しい。
καὶ ὡς ἄρα τὸ ὑπὸ ΓΕ, ΒΗ πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΗ, ΕΒ, οὕτως ἐστὶν τὸ ὑπὸ ∠Ε, ΖΘ πρὸς τὸ ὑπὸ ∠Ζ, ΘΕ. εὐθεῖα ἄρα ἐστὶν ἡ διὰ τῶν Θ, Κ, Γ·
したがってまた、ΓΕ と ΒΗ の包む長方形の、ΓΗ と ΕΒ の包む長方形に対する比は、∠Ε と ΖΘ の包む長方形の、∠Ζ と ΘΕ の包む長方形に対する比に等しい。 したがって、Θ, Κ, Γ を通る線は直線である。
τοῦτο γὰρ ἐν τοῖς πτωτικοῖς τῶν ἀναστροφίων.
なぜなら、これは反転に関する種々の不確定な場合の中にあるからである。
§6.19ιθ΄. Εἰς τρεῖς εὐθείας τὰς ΑΒ, ΑΓ, Α∠ ἀπό τινος σημείου τοῦ Ε δύο διήχθωσαν αἱ ΕΖ, ΕΒ, ἔστω δέ, ὡς ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΖΗ, οὕτως ἡ ΘΕ πρὸς τὴν ΘΗ ὅτι γίνεται καί, ὡς ἡ ΒΕ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως ἡ Ε∠ πρὸς τὴν ∠Γ.
ἤχθω διὰ τοῦ Η τῇ ΒΕ παράλληλος ἡ ΛΚ.
ἐπεὶ οὖν ἐστιν, ὡς ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΖΗ, οὕτως ἡ ΕΘ πρὸς τὴν ΘΗ, ἀλλ᾿ ὡς μὲν ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΖΗ, οὕτως ἡ ΕΒ πρὸς τὴν ΗΚ, ὡς δὲ ἡ ΕΘ πρὸς τὴν ΘΗ, οὕτως ἐστὶν ἡ ∠Ε πρὸς τὴν ΗΛ, καὶ ὡς ἄρα ἡ ΒΕ πρὸς τὴν ΗΚ, οὕτως ἐστὶν ἡ ∠Ε πρὸς τὴν ΗΛ. ἐναλλάξ ἐστιν, ὡς ἡ ΕΒ πρὸς τὴν Ε∠, οὕτως ἡ Κ πρὸς τὴν ΗΛ. ὡς δὲ ἡ ΚΗ πρὸς τὴν ΗΛ, οὕτως ἐστὶν ἡ ΒΓ πρὸς τὴν Γ∠ καὶ ὡς ἄρα ἡ ΒΕ πρὸς τὴν Ε∠, οὕτως ἡ ΒΓ πρὸς τὴν Γ∠.
ιθ΄. 3つの直線 ΑΒ, ΑΓ, Α∠ に対し、ある点 Ε から2つの直線 ΕΖ, ΕΒ が引かれ、ΕΖ の ΖΗ に対する比は、ΘΕ の ΘΗ に対する比に等しいとせよ。 このとき、 ΒΕ の ΒΓ に対する比は、Ε∠ の ∠Γ に対する比に等しくなることを（示すべきである）。 Η を通り ΒΕ に平行な直線 ΛΚ を引け。 さて、ΕΖ の ΖΗ に対する比は、ΕΘ の ΘΗ に対する比に等しいが、ΕΖ の ΖΗ に対する比は、ΕΒ の ΗΚ に対する比に等しく、ΕΘ の ΘΗ に対する比は、∠Ε の ΗΛ に対する比に等しいので、したがってまた、ΒΕ の ΗΚ に対する比は、∠Ε の ΗΛ に対する比に等しい。 交互比により、ΕΒ の Ε∠ に対する比は、 Κ の ΗΛ に対する比に等しい。 ところで、ΚΗ の ΗΛ に対する比は、ΒΓ の Γ∠ に対する比に等しい。 したがってまた、ΒΕ の Ε∠ に対する比は、ΒΓ の Γ∠ に対する比に等しい。
ἐναλλάξ ἐστιν, ὡς ἡ ΕΒ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως ἡ Ε∠ πρὸς τὴν ∠Γ.
τὰ δὲ πτωτικὰ ὁμοίως.
交互比により、ΒΕ の ΒΓ に対する比は、Ε∠ の ∠Γ に対する比に等しい。 他の場合についても同様である。