§6.20κ΄. Ἔστω δύο τρίγωνα τὰ ΑΒΓ, ∠ΕΖ ἴσας ἔχοντα τὰς Α, ∠ γωνίας· ὅτι ἐστίν, ὡς τὸ ὑπὸ ΒΑΓ πρὸς τὸ ὑπὸ Ε∠Ζ, οὕτως τὸ ΑΒΓ τρίγωνον πρὸς τὸ Ε∠ τρίγωνον.
20. 设有两个三角形 ΑΒΓ、∠ΕΖ，其角 Α、∠ 相等；求证正如 ΒΑ 与 ΑΓ 所包长方形对 Ε∠ 与 ∠Ζ 所包长方形的比，等于三角形 ΑΒΓ 对三角形 ∠ΕΖ 的比。
ἤχθωσαν κάθετοι αἱ ΒΗ, ΕΘ.
ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ μὲν Α γωνία τῇ ∠, ἡ δὲ Η τῇ Θ, ἔστιν ἄρα, ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΗ, οὕτως ἡ ∠Ε πρὸς τὴν ΕΘ. ἀλλ᾿ ὡς μὲν ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΗ, οὕτως ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΒΑΓ πρὸς τὸ ὑπὸ ΒΗ, ΑΓ, ὡς δὲ ἡ ∠Ε πρὸς τὴν ΕΘ, οὕτως ἐστὶν τὸ ὑπὸ Ε∠Ζ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΘ, ∠Ζ ἔστιν ἄρα, ὡς τὸ ὑπὸ ΒΑΓ πρὸς τὸ ὑπὸ ΒΗ, ΑΓ, οὕτως τὸ ὑπὸ Ε∠Ζ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΘ, ∠Ζ· καὶ ἐναλλάξ.
引垂线 ΒΗ、ΕΘ。 于是，因为角 Α 等于 ∠，且 Η 等于 Θ，所以正如 ΑΒ 对 ΒΗ 的比等于 ∠Ε 对 ΕΘ 的比。 而正如 ΑΒ 对 ΒΗ 的比等于 ΒΑ 与 ΑΓ 所包长方形对 ΒΗ 与 ΑΓ 所包长方形的比，而正如 ∠Ε 对 ΕΘ 的比等于 Ε∠ 与 ∠Ζ 所包长方形对 ΕΘ 与 ∠Ζ 所包长方形的比；因此，正如 ΒΑ 与 ΑΓ 所包长方形对 ΒΗ 与 ΑΓ 所包长方形的比，等于 Ε∠ 与 ∠Ζ 所包长方形对 ΕΘ 与 ∠Ζ 所包长方形的比；成交互比亦同。
ἀλλ᾿ ὡς τὸ ὑπὸ ΒΗ, ΑΓ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΘ, ∠Ζ, οὕτως ἐστὶν τὸ ΑΒΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ∠ΕΖ τρίγωνον· ἐκατέρα γὰρ τῶν ΒΗ, ΕΘ κάθετός ἐστιν ἑκατέρου τῶν εἰρημένων τριγώνων· καὶ ὡς ἄρα τὸ ὑπὸ ΒΑΓ πρὸς τὸ ὑπὸ Ε∠Ζ, οὕτως ἐστὶν τὸ ΑΒΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ∠ΕΖ τρίγωνον.
而正如 ΒΗ 与 ΑΓ 所包长方形对 ΕΘ 与 ∠Ζ 所包长方形的比，等于三角形 ΑΒΓ 对三角形 ∠ΕΖ 的比；因为 ΒΗ、ΕΘ 分别是上述各三角形的垂线；因此，正如 ΒΑ 与 ΑΓ 所包长方形对 Ε∠ 与 ∠Ζ 所包长方形的比，等于三角形 ΑΒΓ 对三角形 ∠ΕΖ 的比。
§6.21κα΄. Ἔστωσαν δὴ αἱ Α, ∠ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι· ὅτι πάλιν γίνεται, ὡς τὸ ὑπὸ ΒΑΓ πρὸς τὸ ὑπὸ Ε∠Ζ, οὕτως τὸ ΑΒΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ∠ΕΖ τρίγωνον.
21. 设角 Α、∠ 等于两直角；求证再次，正如 ΒΑ 与 ΑΓ 所包长方形对 Ε∠ 与 ∠Ζ 所包长方形的比，等于三角形 ΑΒΓ 对三角形 ∠ΕΖ 的比。
ἐκβεβλήσθω ἡ ΒΑ, καὶ κείσθω τῇ ΒΑ ἴση ἡ ΑΗ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΓΗ.
ἐπεὶ οὖν αἱ Α, Δ γωνίαι δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν, ἀλλὰ καὶ αἱ ὑπὸ ΒΑΓ, ΓΑΗ γωνίαι δυσὶν ὀρθαῖς, ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΓΑΗ γωνία τῇ ∠.
延长 ΒΑ，并设 ΑΗ 等于 ΒΑ，且连接 ΓΗ。 于是，因为角 Α、Δ 等于两直角，且角 ΒΑΓ、ΓΑΗ 也等于两直角，所以角 ΓΑΗ 等于 ∠。
ἔστιν οὖν, ὡς τὸ ὑπὸ ΗΑΓ πρὸς τὸ ὑπὸ Ε∠Ζ, οὕτως τὸ ΑΗΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ∠ΕΖ τρίγωνον ἴση δέ ἐστιν ἡ μὲν ΗΑ τῇ ΑΒ, τὸ δὲ ΗΑΓ τρίγωνον τῷ ΑΒΓ τριγώνῳ· ἔστιν ἄρα, ὡς τὸ ὑπὸ ΒΑΓ πρὸς τὸ ὑπὸ Ε∠Ζ, οὕτως τὸ ΑΒΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ∠ΕΖ τρίγωνον.
因此，正如 ΗΑ 与 ΑΓ 所包长方形对 Ε∠ 与 ∠Ζ 所包长方形的比，等于三角形 ΑΗΓ 对三角形 ∠ΕΖ 的比。 而 ΗΑ 等于 ΑΒ，且三角形 ΑΗΓ 等于三角形 ΑΒΓ；因此，正如 ΒΑ 与 ΑΓ 所包长方形对 Ε∠ 与 ∠Ζ 所包长方形的比，等于三角形 ΑΒΓ 对三角形 ∠ΕΖ 的比。
§6.22κβ΄. Εὐθεῖα ἡ ΑΒ, καὶ ἐπ᾿ αὐτῆς δύο σημεῖα τὰ Γ, ∠, ἔστω δὲ τὸ δὶς ὑπὸ ΑΒ, Γ∠ ἴσον τῷ ἀπὸ ΓΒ· ὅτι καὶ τὸ ἀπὸ Α∠ ἴσον ἐστὶν τοῖς ἀπὸ τῶν Α ∠Β τετραγώνοις.
22. 设有一直线 ΑΒ，其上有两点 Γ、∠，并设二倍的 ΑΒ 与 Γ∠ 所包长方形等于 ΓΒ 的平方；求证 Α∠ 的平方也等于 ΑΓ、∠Β 各平方之和。
ἐπεὶ γὰρ τὸ δὶς ὑπὸ ΑΒ, Γγώνοις. ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ ΓΒ, κοινὸν ἀφῃρήσθω τὸ δὶς ὑπὸ Β∠Γ λοιπὸν ἄρα τὸ δὲς ὑπὸ Α∠Γ ἴσον ἐστὶν τοῖς ἀπὸ τῶν Γ∠, ∠Β τετραγώνοις.
因为，由于二倍的 ΑΒ 与 Γ∠ 所包长方形等于 ΓΒ 的平方，设减去公共的二倍的 Β∠ 与 Γ 所包长方形；因此，剩余的二倍的 Α∠ 与 Γ 所包长方形等于 Γ∠、∠Β 各平方之和。
κοινὸν ἀφῃρήσθω τὸ ἀπὸ ΓΔ τετράγωνον· λοιπὸν ἄρα τὸ θὶς ὑπὸ ΑΓ∠ μετὰ τοῦ ἀπὸ Γ∠ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ ∠Β τετραγώνῳ.
设减去公共的 ΓΔ 的平方；因此，剩余的二倍的 ΑΓ 与 ∠ 所包长方形加上 Γ∠ 的平方，等于 ∠Β 的平方。
κοινὸν προσκείσθω τὸ ἀπὸ ΑΓ τετράγωνον· ὅλον ἄρα τὸ ἀπὸ Α∠ τετράγωνον ἴσον ἐστὶν τοῖς ἀπὸ τῶν ΑΓ, ∠Β τετραγώνοις.
设加上公共的 ΑΓ 的平方；因此，整个 Α∠ 的平方等于 ΑΓ、∠Β 各平方之和。