§6.20κ΄.
20.
Ἔστω δύο τρίγωνα τὰ ΑΒΓ, ∠ΕΖ ἴσας ἔχοντα τὰς Α, ∠ γωνίας·
두 삼각형 ΑΒΓ, ∠ΕΖ가 있고, 등각 Α, ∠를 가진다고 하자.
ὅτι ἐστίν, ὡς τὸ ὑπὸ ΒΑΓ πρὸς τὸ ὑπὸ Ε∠Ζ, οὕτως τὸ ΑΒΓ τρίγωνον πρὸς τὸ Ε∠ τρίγωνον.
이때 ΒΑ와 ΑΓ가 만드는 직사각형의, Ε∠와 ∠Ζ가 만드는 직사각형에 대한 비는, 삼각형 ΑΒΓ의, 삼각형 ∠ΕΖ에 대한 비와 같음을 (보여야 한다).
ἤχθωσαν κάθετοι αἱ ΒΗ, ΕΘ.
ἐπεὶ οὖν ἴση ἐστὶν ἡ μὲν Α γωνία τῇ ∠, ἡ δὲ Η τῇ Θ, ἔστιν ἄρα, ὡς ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΗ, οὕτως ἡ ∠Ε πρὸς τὴν ΕΘ. ἀλλ᾿ ὡς μὲν ἡ ΑΒ πρὸς τὴν ΒΗ, οὕτως ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΒΑΓ πρὸς τὸ ὑπὸ ΒΗ, ΑΓ, ὡς δὲ ἡ ∠Ε πρὸς τὴν ΕΘ, οὕτως ἐστὶν τὸ ὑπὸ Ε∠Ζ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΘ, ∠Ζ ἔστιν ἄρα, ὡς τὸ ὑπὸ ΒΑΓ πρὸς τὸ ὑπὸ ΒΗ, ΑΓ, οὕτως τὸ ὑπὸ Ε∠Ζ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΘ, ∠Ζ· καὶ ἐναλλάξ.
수선 ΒΗ, ΕΘ를 그어라. 그러므로 각 Α는 ∠와 같고, Η는 Θ와 같으므로, ΑΒ의 ΒΗ에 대한 비는, ∠Ε의 ΕΘ에 대한 비와 같다. 그런데 ΑΒ의 ΒΗ에 대한 비는, ΒΑ와 ΑΓ가 만드는 직사각형의, ΒΗ와 ΑΓ가 만드는 직사각형에 대한 비와 같고, ∠Ε의 ΕΘ에 대한 비는, Ε∠와 ∠Ζ가 만드는 직사각형의, ΕΘ와 ∠Ζ가 만드는 직사각형에 대한 비와 같다. 그러므로 ΒΑ와 ΑΓ가 만드는 직사각형의, ΒΗ와 ΑΓ가 만드는 직사각형에 대한 비는, Ε∠와 ∠Ζ가 만드는 직사각형의, ΕΘ와 ∠Ζ가 만드는 직사각형에 대한 비와 같고, 교대비에 의해서도 그러하다.
ἀλλ᾿ ὡς τὸ ὑπὸ ΒΗ, ΑΓ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΘ, ∠Ζ, οὕτως ἐστὶν τὸ ΑΒΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ∠ΕΖ τρίγωνον·
그런데 ΒΗ와 ΑΓ가 만드는 직사각형의, ΕΘ와 ∠Ζ가 만드는 직사각형에 대한 비는, 삼각형 ΑΒΓ의, 삼각형 ∠ΕΖ에 대한 비와 같다.
ἐκατέρα γὰρ τῶν ΒΗ, ΕΘ κάθετός ἐστιν ἑκατέρου τῶν εἰρημένων τριγώνων·
왜냐하면 ΒΗ, ΕΘ의 각각은 상술한 각각의 삼각형의 수선이기 때문이다.
καὶ ὡς ἄρα τὸ ὑπὸ ΒΑΓ πρὸς τὸ ὑπὸ Ε∠Ζ, οὕτως ἐστὶν τὸ ΑΒΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ∠ΕΖ τρίγωνον.
그러므로 또한 ΒΑ와 ΑΓ가 만드는 직사각형의, Ε∠와 ∠Ζ가 만드는 직사각형에 대한 비는, 삼각형 ΑΒΓ의, 삼각형 ∠ΕΖ에 대한 비와 같다.
§6.21κα΄.
21.
Ἔστωσαν δὴ αἱ Α, ∠ δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι·
이제 각 Α, ∠가 두 직각과 같다고 하자.
ὅτι πάλιν γίνεται, ὡς τὸ ὑπὸ ΒΑΓ πρὸς τὸ ὑπὸ Ε∠Ζ, οὕτως τὸ ΑΒΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ∠ΕΖ τρίγωνον.
이때 다시 ΒΑ와 ΑΓ가 만드는 직사각형의, Ε∠와 ∠Ζ가 만드는 직사각형에 대한 비는, 삼각형 ΑΒΓ의, 삼각형 ∠ΕΖ에 대한 비와 같게 됨을 (보여야 한다).
ἐκβεβλήσθω ἡ ΒΑ, καὶ κείσθω τῇ ΒΑ ἴση ἡ ΑΗ, καὶ ἐπεζεύχθω ἡ ΓΗ.
ἐπεὶ οὖν αἱ Α, Δ γωνίαι δυσὶν ὀρθαῖς ἴσαι εἰσίν, ἀλλὰ καὶ αἱ ὑπὸ ΒΑΓ, ΓΑΗ γωνίαι δυσὶν ὀρθαῖς, ἴση ἄρα ἐστὶν ἡ ὑπὸ ΓΑΗ γωνία τῇ ∠.
ΒΑ를 연장하고, ΒΑ와 같은 ΑΗ를 놓고, ΓΗ를 이어라. 그러므로 각 Α, Δ는 두 직각과 같고, 또한 각 ΒΑΓ, ΓΑΗ도 두 직각과 같으므로, 따라서 각 ΓΑΗ는 ∠와 같다.
ἔστιν οὖν, ὡς τὸ ὑπὸ ΗΑΓ πρὸς τὸ ὑπὸ Ε∠Ζ, οὕτως τὸ ΑΗΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ∠ΕΖ τρίγωνον ἴση δέ ἐστιν ἡ μὲν ΗΑ τῇ ΑΒ, τὸ δὲ ΗΑΓ τρίγωνον τῷ ΑΒΓ τριγώνῳ·
그러므로 ΗΑ와 ΑΓ가 만드는 직사각형의, Ε∠와 ∠Ζ가 만드는 직사각형에 대한 비는, 삼각형 ΑΗΓ의, 삼각형 ∠ΕΖ에 대한 비와 같다. 그런데 ΗΑ는 ΑΒ와 같고, 삼각형 ΑΗΓ는 삼각형 ΑΒΓ와 같다.
ἔστιν ἄρα, ὡς τὸ ὑπὸ ΒΑΓ πρὸς τὸ ὑπὸ Ε∠Ζ, οὕτως τὸ ΑΒΓ τρίγωνον πρὸς τὸ ∠ΕΖ τρίγωνον.
그러므로 ΒΑ와 ΑΓ가 만드는 직사각형의, Ε∠와 ∠Ζ가 만드는 직사각형에 대한 비는, 삼각형 ΑΒΓ의, 삼각형 ∠ΕΖ에 대한 비와 같다.
§6.22κβ΄.
22.
Εὐθεῖα ἡ ΑΒ, καὶ ἐπ᾿ αὐτῆς δύο σημεῖα τὰ Γ, ∠, ἔστω δὲ τὸ δὶς ὑπὸ ΑΒ, Γ∠ ἴσον τῷ ἀπὸ ΓΒ·
직선 ΑΒ가 있고, 그 위에 두 점 Γ, ∠가 있으며, ΑΒ와 Γ∠가 만드는 직사각형의 두 배가 ΓΒ의 제곱과 같다고 하자.
ὅτι καὶ τὸ ἀπὸ Α∠ ἴσον ἐστὶν τοῖς ἀπὸ τῶν Α ∠Β τετραγώνοις.
이때 Α∠의 제곱도 ΑΓ, ∠Β의 각 제곱의 합과 같음을 (보여야 한다).
ἐπεὶ γὰρ τὸ δὶς ὑπὸ ΑΒ, Γγώνοις. ἴσον ἐστὶ τῷ ἀπὸ ΓΒ, κοινὸν ἀφῃρήσθω τὸ δὶς ὑπὸ Β∠Γ λοιπὸν ἄρα τὸ δὲς ὑπὸ Α∠Γ ἴσον ἐστὶν τοῖς ἀπὸ τῶν Γ∠, ∠Β τετραγώνοις.
왜냐하면 ΑΒ와 Γ∠가 만드는 직사각형의 두 배가 ΓΒ의 제곱과 같으므로, 공통된 것인 Β∠과 Γ가 만드는 직사각형의 두 배를 빼라. 그러므로 남은 Α∠과 Γ가 만드는 직사각형의 두 배는 Γ∠, ∠Β의 각 제곱의 합과 같다.
κοινὸν ἀφῃρήσθω τὸ ἀπὸ ΓΔ τετράγωνον·
공통된 것인 ΓΔ의 제곱을 빼라.
λοιπὸν ἄρα τὸ θὶς ὑπὸ ΑΓ∠ μετὰ τοῦ ἀπὸ Γ∠ ἴσον ἐστὶν τῷ ἀπὸ ∠Β τετραγώνῳ.
그러므로 남은 ΑΓ와 ∠가 만드는 직사각형의 두 배와 Γ∠의 제곱의 합은 ∠Β의 제곱과 같다.
κοινὸν προσκείσθω τὸ ἀπὸ ΑΓ τετράγωνον·
공통된 것인 ΑΓ의 제곱을 더하라.
ὅλον ἄρα τὸ ἀπὸ Α∠ τετράγωνον ἴσον ἐστὶν τοῖς ἀπὸ τῶν ΑΓ, ∠Β τετραγώνοις.
그러므로 전체 Α∠의 제곱은 ΑΓ, ∠Β의 각 제곱의 합과 같다.