§6.17ιζ΄.
17.
Ἀλλὰ δὴ μὴ ἔστω παράλληλος ἡ ΑΒ τῇ Γ∠, ἀλλὰ συμπιπτέτω κατὰ τὸ Ν.
ἐπεὶ οὖν ἀπὸ τοῦ αὐτοῦ σημείου τοῦ ∠ εἰς τρεῖς εὐθείας τὰς ΒΝ, ΒΓ, ΒΖ δύο εὐθεῖαι διηγμέναι εἰσὶν αἱ ∠Ε, ∠Ν, ἔστιν, ὡς τὸ ὑπὸ Ν∠, ΓΖ πρὸς τὸ ὑπὸ ΝΓ, ∠Ζ, οὕτως τὸ ὑπὸ ∠Ε, ΚΛ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΛ, Κ∠.
그러나 ΑΒ가 Γ∠에 평행하지 않다고 하고, 점 Ν에서 만난다고 하자. 그러므로 동일한 점 ∠로부터 세 직선 ΒΝ, ΒΓ, ΒΖ에 대하여 두 직선 ∠Ε, ∠Ν이 그어졌으므로, Ν∠와 ΓΖ가 만드는 직사각형의, ΝΓ와 ∠Ζ가 만드는 직사각형에 대한 비는, ∠Ε와 ΚΛ이 만드는 직사각형의, ΕΛ과 Κ∠가 만드는 직사각형에 대한 비와 같게 된다.
ὡς δὲ τὸ ὑπὸ Ε∠, ΚΛ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΛ, Κ∠, οὕτως ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΕΘ, ΓΗ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΓ, ΘΗ· πάλιν γὰρ εἰς τρεῖς τὰς ΓΛ, ∠Θ, ΗΚ ἀπὸ τοῦ αὐτοῦ σημείου τοῦ Ε δύο ἠγμέναι εἰσὶν αἱ ΕΓ, Ε∠·
그런데 Ε∠와 ΚΛ이 만드는 직사각형의, ΕΛ과 Κ∠가 만드는 직사각형에 대한 비는, ΕΘ와 ΓΗ가 만드는 직사각형의, ΕΓ와 ΘΗ가 만드는 직사각형에 대한 비와 같은데, 왜냐하면 다시 세 직선 ΓΛ, ∠Θ, ΗΚ에 대하여 동일한 점 Ε로부터 두 직선 ΕΓ, Ε∠가 그어졌기 때문이다.
καὶ ὡς ἄρα τὸ ὑπὸ ΕΘ, ΓΗ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΓ, ΘΗ, οὕτως τὸ ὑπὸ Ν∠, ΓΖ πρὸς τὸ ὑπὸ ΝΓ, Ζ∠.
그러므로 또한 ΕΘ와 ΓΗ가 만드는 직사각형의, ΕΓ와 ΘΗ가 만드는 직사각형에 대한 비는, Ν∠와 ΓΖ가 만드는 직사각형의, ΝΓ와 Ζ∠가 만드는 직사각형에 대한 비와 같다.
διὰ δὴ τὸ προγεγραμμένον εὐθεῖά ἐστιν ἡ διὰ τῶν Α, Θ, ∠·
그러므로 전에 기록된 것에 의해, Α, Θ, ∠를 지나는 선은 직선이다.
καὶ ἡ διὰ τῶν Α, Μ, Δ ἄρα εὐθεῖά ἐστιν.
그러므로 또한 Α, Μ, Δ를 지나는 선도 직선이다.
§6.18ιη΄.
18.
Τρίγωνον τὸ ΑΒΓ, καὶ τῇ ΒΓ παράλληλος ἤχθω ἡ Α∠, καὶ διήχθωσαν αἱ ∠Ε, ΖΗ, ἔστω δέ, ὡς τὸ ἀπὸ ΕΒ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΓΒ, οὕτως ἡ ΒΗ πρὸς τὴν ΗΓ·
삼각형 ΑΒΓ가 있고, ΒΓ에 평행한 직선 Α∠가 그어졌으며, ∠Ε, ΖΗ가 그어졌다고 하고, ΕΒ의 제곱의, ΕΓ와 ΓΒ가 만드는 직사각형에 대한 비가, ΒΗ의 ΗΓ에 대한 비와 같다고 하자.
ὅτι, ἐὰν ἐπιζευχθῇ ἡ Β∠, γίνεται εὐθεῖα ἡ διὰ τῶν Θ, Κ, Γ.
ἐπεί ἔστιν, ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΕΒ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΓΒ, οὕτως ἡ ΒH πρὸς ΗΓ, κοινὸς ἄρα προσκείσθω ὁ τῆς ΓΕ πρὸς ΕΒ λόγος ὁ αὐτὸς ὢν τῷ τοῦ ὑπὸ ΕΓΒ πρὸς τὸ ὑπὸ ΚΒΓ·
이때 Β∠이 이어지면, Θ, Κ, Γ를 지나는 선이 직선이 됨을 (보여야 한다). ΕΒ의 제곱의, ΕΓ와 ΓΒ가 만드는 직사각형에 대한 비가, ΒΗ의 ΗΓ에 대한 비와 같으므로, 공통된 비로서 ΓΕ의 ΕΒ에 대한 비를 더하라. 이 비는 ΕΓ와 ΓΒ가 만드는 직사각형의, ΚΒ와 ΒΓ가 만드는 직사각형에 대한 비와 같다.
δι᾿ ἴσου ἄρα ὁ τοῦ ἀπὸ ΕΒ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΒΓ λόγος, τουτέστιν ὁ τῆς ΕΒ πρὸς τὴν ΒΓ, ὁ αὐτός ἐστιν τῷ συνημμένῳ ἔκ τε τοῦ τῆς ΒΗ πρὸς ΗΓ καὶ τοῦ τοῦ ὑπὸ ΕΓΒ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΒΓ, ὅς ἔστιν ὁ αὐτὸς τῷ τῆς ΕΓ πρὸς ΕΒ·
그러므로 등비에 의해, ΕΒ의 제곱의, ΕΒ와 ΒΓ가 만드는 직사각형에 대한 비, 즉 ΕΒ의 ΒΓ에 대한 비는, ΒΗ의 ΗΓ에 대한 비와, ΕΓ와 ΓΒ가 만드는 직사각형의, ΕΒ와 ΒΓ가 만드는 직사각형에 대한 비로부터 합성된 비와 같고, 이 비는 ΕΓ의 ΕΒ에 대한 비와 같다.
ὥστε ὁ τοῦ ἀπὸ ΕΒ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΒΓ συνῆπται ἔκ τε τοῦ ὃν ἔχει ἡ ΒΗ πρὸς ΗΓ καὶ τοῦ ὃν ἔχει ἡ ΕΓ πρὸς ΕΒ, ὅς ἐστιν ὁ αὐτὸς τῷ τοῦ ὑπὸ ΕΓ, ΒΗ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΒ, ΓΗ. ὡς δὲ ἡ ΕΒ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως ἐστὶν διὰ τὸ προγεγραμμένον λῆμμα τὸ ὑπὸ ∠Ε, ΖΘ πρὸς τὸ ὑπὸ ∠Ζ, ΘΕ·
그러므로 ΕΒ의 제곱의, ΕΒ와 ΒΓ가 만드는 직사각형에 대한 비는, ΒΗ가 ΗΓ에 대하여 가지는 비와, ΕΓ가 ΕΒ에 대하여 가지는 비로부터 합성되어 있으며, 이 비는 ΕΓ와 ΒΗ가 만드는 직사각형의, ΕΒ와 ΓΗ가 만드는 직사각형에 대한 비와 같다. 그런데 앞서 쓰인 보조정리에 의해, ΕΒ의 ΒΓ에 대한 비는, ∠Ε와 ΖΘ가 만드는 직사각형의, ∠Ζ와 ΘΕ가 만드는 직사각형에 대한 비와 같다.
καὶ ὡς ἄρα τὸ ὑπὸ ΓΕ, ΒΗ πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΗ, ΕΒ, οὕτως ἐστὶν τὸ ὑπὸ ∠Ε, ΖΘ πρὸς τὸ ὑπὸ ∠Ζ, ΘΕ. εὐθεῖα ἄρα ἐστὶν ἡ διὰ τῶν Θ, Κ, Γ·
그러므로 또한 ΓΕ와 ΒΗ가 만드는 직사각형의, ΓΗ와 ΕΒ가 만드는 직사각형에 대한 비는, ∠Ε와 ΖΘ가 만드는 직사각형의, ∠Ζ와 ΘΕ가 만드는 직사각형에 대한 비와 같다. 그러므로 Θ, Κ, Γ를 지나는 선은 직선이다.
τοῦτο γὰρ ἐν τοῖς πτωτικοῖς τῶν ἀναστροφίων.
왜냐하면 이것은 반전에 관한 여러 부정형의 경우들 중에 있기 때문이다.
§6.19ιθ΄.
19.
Εἰς τρεῖς εὐθείας τὰς ΑΒ, ΑΓ, Α∠ ἀπό τινος σημείου τοῦ Ε δύο διήχθωσαν αἱ ΕΖ, ΕΒ, ἔστω δέ, ὡς ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΖΗ, οὕτως ἡ ΘΕ πρὸς τὴν ΘΗ ὅτι γίνεται καί, ὡς ἡ ΒΕ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως ἡ Ε∠ πρὸς τὴν ∠Γ.
ἤχθω διὰ τοῦ Η τῇ ΒΕ παράλληλος ἡ ΛΚ.
ἐπεὶ οὖν ἐστιν, ὡς ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΖΗ, οὕτως ἡ ΕΘ πρὸς τὴν ΘΗ, ἀλλ᾿ ὡς μὲν ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΖΗ, οὕτως ἡ ΕΒ πρὸς τὴν ΗΚ, ὡς δὲ ἡ ΕΘ πρὸς τὴν ΘΗ, οὕτως ἐστὶν ἡ ∠Ε πρὸς τὴν ΗΛ, καὶ ὡς ἄρα ἡ ΒΕ πρὸς τὴν ΗΚ, οὕτως ἐστὶν ἡ ∠Ε πρὸς τὴν ΗΛ. ἐναλλάξ ἐστιν, ὡς ἡ ΕΒ πρὸς τὴν Ε∠, οὕτως ἡ Κ πρὸς τὴν ΗΛ. ὡς δὲ ἡ ΚΗ πρὸς τὴν ΗΛ, οὕτως ἐστὶν ἡ ΒΓ πρὸς τὴν Γ∠ καὶ ὡς ἄρα ἡ ΒΕ πρὸς τὴν Ε∠, οὕτως ἡ ΒΓ πρὸς τὴν Γ∠.
세 직선 ΑΒ, ΑΓ, Α∠에 대하여 어떤 점 Ε로부터 두 직선 ΕΖ, ΕΒ가 그어졌고, ΕΖ의 ΖΗ에 대한 비가 ΘΕ의 ΘΗ에 대한 비와 같다고 하자. 이때 ΒΕ의 ΒΓ에 대한 비가 Ε∠의 ∠Γ에 대한 비와 같게 됨을 (보여야 한다). Η를 지나며 ΒΕ에 평행한 직선 ΛΚ를 그어라. 그러므로 ΕΖ의 ΖΗ에 대한 비가 ΕΘ의 ΘΗ에 대한 비와 같은데, 그런데 ΕΖ의 ΖΗ에 대한 비는 ΕΒ의 ΗΚ에 대한 비와 같고, ΕΘ의 ΘΗ에 대한 비는 ∠Ε의 ΗΛ에 대한 비와 같으므로, 그러므로 또한 ΒΕ의 ΗΚ에 대한 비는 ∠Ε의 ΗΛ에 대한 비와 같다. 교대비에 의해, ΕΒ의 Ε∠에 대한 비는, Κ의 ΗΛ에 대한 비와 같다. 그런데 ΚΗ의 ΗΛ에 대한 비는 ΒΓ의 Γ∠에 대한 비와 같다. 그러므로 또한 ΒΕ의 Ε∠에 대한 비는 ΒΓ의 Γ∠에 대한 비와 같다.
ἐναλλάξ ἐστιν, ὡς ἡ ΕΒ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως ἡ Ε∠ πρὸς τὴν ∠Γ.
τὰ δὲ πτωτικὰ ὁμοίως.
교대비에 의해, ΒΕ의 ΒΓ에 대한 비는 Ε∠의 ∠Γ에 대한 비와 같다. 다른 경우들에 대해서도 마찬가지이다.