§6.15ιεʹ. Τούτου προτεθεωρημένου ἔστω παράλληλος ἡ ΑΒ τῇ Γ∠, καὶ εἰς αὐτὰς ἐμπιπτέτωσαν εὐθεῖαι αἱ ΑΖ, ΖΒ, ΓΕ, Ε∠, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΒΓ, ΗΚ ὅτι εὐθεῖά ἐστιν ἡ διὰ τῶν Α, Μ, ∠.
ιεʹ. これが予備的に証明されたとして、ΑΒ が Γ∠ に平行であるとし、これらに直線 ΑΖ, ΖΒ, ΓΕ, Ε∠ が交わり、さらに ΒΓ, ΗΚ が結ばれるとせよ。 Α, Μ, ∠ を通る線は直線であることを（示すべきである）。
Ἐπεζεύχθω ἡ ∠Μ καὶ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Θ.
ἐπεὶ οὖν τριγώνου τοῦ ΒΓΖ ἐκτὸς ἀπὸ τῆς κορυφῆς τοῦ Β σημείου τῇ Γ∠ παράλληλος ἦκται ἡ ΒΕ, καὶ διῆκται ἡ ∠ Ε, γίνεται, ὡς ἡ Γ Ζ πρὸς Ζ∠, οὕτως τὸ ὑπὸ ∠Ε, ΚΛ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΛ, Κ∠.
∠Μ が結ばれ、Θ まで延長されるとせよ。 さて、三角形 ΒΓΖ の外側に、頂点 Β から Γ∠ に平行な直線 ΒΕ が引かれ、さらに ∠Ε が引かれているので、ΓΖ の Ζ∠ に対する比は、∠Ε と ΚΛ の包む長方形の、ΕΛ と Κ∠ の包む長方形に対する比に等しくなる。
ὡς δὲ τὸ ὑπὸ ∠Ε, ΚΛ πρὸς τὸ ὑπὸ ∠ Κ, ΛΕ, οὕτως ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΓΗ, ΘΕ πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΕ, ΗΘ, ἐπεὶ εἰς τρεῖς εὐθείας τὰς ΓΛ, ∠Θ, ΗΚ δύο εἰσὶν διηγμέναι ἀπὸ τοῦ αὐτοῦ σημείου τοῦ Ε α ΕΓ, Ε∠ καὶ ὡς ἄρα ἡ ∠Ζ πρὸς ΖΓ οὕτως ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΓΕ, ΗΘ πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΗ ΘΕ. διὰ τὸ προγεγραμμένον ἄρα ἡ διὰ τῶν Α, Μ, ∠ ἐστιν εὐθεῖα.
ところで、∠Ε と ΚΛ の包む長方形の、∠Κ と ΛΕ の包む長方形に対する比は、ΓΗ と ΘΕ の包む長方形の、ΓΕ と ΗΘ の包む長方形に対する比に等しい。 なぜなら、3つの直線 ΓΛ, ∠Θ, ΗΚ に対し、同一の点 Ε から2つの直線 ΕΓ, Ε∠ が引かれているからである。 したがってまた、∠Ζ の ΖΓ に対する比は、ΓΕ と ΗΘ の包む長方形の、ΓΗ と ΘΕ の包む長方形に対する比に等しい。 したがって、前に書かれたこと（定理14）により、Α, Μ, ∠ を通る線は直線である。
§6.16ιϚ΄. Εἰς δύο εὐθείας τὰς ΑΒ, ΑΓ ἀπὸ τοῦ αὐτοῦ σημείου τοῦ ∠ δύο διήχθωσαν αἱ ∠Β, ∠Ε, καὶ ἐπʼ αὐτῶν εἰλήφθω σημεῖα τὰ Η, Θ, ἔστω δέ, ὡς τὸ ὑπὸ ΕΗ, Ζ∠ πρὸς τὸ ὑπὸ ∠Ε, ΗΖ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΒΘ, Γ∠ πρὸς τὸ ὑπὸ Β∠, ΓΘ ὅτι εὐθεῖά ἐστιν ἡ διὰ τῶν Α, Η, Θ.
ἤχθω διὰ τοῦ Η τῇ Β∠ παράλληλος ἡ ΚΛ.
ἐπεὶ οὖν ἐστιν, ὡς τὸ ὑπὸ ΕΗ, Ζ∠ πρὸς τὸ ὑπὸ ∠Ε, ΖΗ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΒΘ, Γ∠ πρὸς τὸ ὑπὸ Β∠, ΓΘ, ἀλλὰ ὁ τοῦ ὑπὸ ΕΗ, Ζ∠ πρὸς τὸ ὑπὸ ∠Ε, ΗΖ συνῆπται λόγος ἔκ τε τοῦ ὃν ἔχει ἡ ΗΕ πρὸς Ε∠, τουτέστιν ἡ ΚΗ πρὸς Β∠, καὶ ἐξ οὗ ὃν ἔχει ἡ ∠Ζ πρὸς ΖΗ, τουτέστιν ἡ Γ∠ πρὸς τὴν ΗΛ, ὁ δὲ τοῦ ὑπὸ ΒΘ, Γ∠ πρὸς τὸ ὑπὸ Β∠, ΓΘ συνῆπται λόγος ἔκ τε τοῦ ὃν ἔχει ἡ ΘΒ πρὸς Β∠ καὶ ἐξ οὗ ὃν ἔχει ἡ ∠Γ πρὸς ΓΘ, καὶ ὁ ἔκ τε τοῦ τῆς Κ ἄρα πρὸς Β∠ καὶ τοῦ τῆς ∠Γ πρὸς ΗΛ ὁ αὐτός ἐστιν τῷ συνημμένῳ ἔκ τε τοῦ τῆς ΒΘ πρὸς Β∠ καὶ τοῦ τῆς ∠Γ πρὸς ΓΘ. ὁ δὲ τῆς ΚΗ πρὸς Β∠ συνῆπται ἔκ τε τοῦ τῆς ΚΗ πρὸς ΒΘ καὶ τοῦ τῆς ΒΘ πρὸς Β∠·
ιϚ΄. 2つの直線 ΑΒ, ΑΓ に対し、同一の点 ∠ から2つの直線 ∠Β, ∠Ε が引かれ、それらの上に点 Η, Θ が取られるとし、ΕΗ と Ζ∠ の包む長方形の、∠Ε と ΗΖ の包む長方形に対する比は、ΒΘ と Γ∠ の包む長方形の、Β∠ と ΓΘ の包む長方形に対する比に等しいとせよ。 Α, Η, Θ を通る線は直線であることを（示すべきである）。 Η を通り Β∠ に平行な直線 ΚΛ を引け。 さて、ΕΗ と Ζ∠ の包む長方形の、∠Ε と ΖΗ の包む長方形に対する比は、ΒΘ と Γ∠ の包む長方形の、Β∠ と ΓΘ の包む長方形に対する比に等しいが、ΕΗ と Ζ∠ の包む長方形の、∠Ε と ΗΖ の包む長方形に対する比は、ΗΕ の Ε∠ に対する比、すなわち ΚΗ の Β∠ に対する比と、∠Ζ の ΖΗ に対する比、すなわち Γ∠ の ΗΛ に対する比とから合成されており、また、ΒΘ と Γ∠ の包む長方形の、Β∠ と ΓΘ の包む長方形に対する比は、 ΘΒ の Β∠ に対する比と、∠Γ の ΓΘ に対する比とから合成されている。 したがって、ΚΗ の Β∠ に対する比と、∠Γ の ΗΛ に対する比とから合成される比は、ΒΘ の Β∠ に対する比と、∠Γ の ΓΘ に対する比とから合成される比に等しい。 ところで、ΚΗ の Β∠ に対する比は、ΚΗ の ΒΘ に対する比と、 ΒΘ の Β∠ に対する比とから合成される。
ὁ ἄρα συνημμένος ἔκ τε τοῦ τῆς ΚΗ πρὸς ΒΘ καὶ τοῦ τῆς ΒΘ πρὸς Β∠ καὶ ἔτι τοῦ τῆς ∠Γ πρὸς ΗΛ ὁ αὐτός ἐστιν τῷ συνημμένῳ ἔκ τε τοῦ τῆς ΒΘ πρὸς Β∠ καὶ τοῦ τῆς ∠Γ πρὸς ΓΘ. κοινὸς ἐκκεκρούσθω ὁ τῆς Θ Β πρὸς Β∠ λόγος·
したがって、ΚΗ の ΒΘ に対する比と、ΒΘ の Β∠ に対する比と、さらに ∠Γ の ΗΛ に対する比とから合成される比は、ΒΘ の Β∠ に対する比と、∠Γ の ΓΘ に対する比とから合成される比に等しい。 共通の比である ΘΒ の Β∠ に対する比を取り除け。
λοιπὸς ἄρα ὁ συνημμένος ἔκ τε τοῦ τῆς ΚΗ πρὸς ΒΘ καὶ τοῦ τῆς ∠Γ πρὸς ΚΛ ὁ αὐτός ἐστιν τῷ τῆς ∠Γ πρὸς τὴν ΓΘ, τουτέστιν τῷ συνημμένῳ ἔκ τε τοῦ τῆς ∠Γ πρὸς τὴν ΗΛ καὶ τοῦ τῆς ΗΛ πρὸς τὴν ΘΓ. καὶ πάλιν κοινὸς ἐκκεκρούσθω ὁ τῆς ∠Γ πρὸς τὴν ΗΛ λόγος·
したがって、残された ΚΗ の ΒΘ に対する比と、∠Γ の ΗΛ に対する比とから合成される比は、∠Γ の ΓΘ に対する比に等しく、すなわち ∠Γ の ΗΛ に対する比と、ΗΛ の ΘΓ に対する比とから合成される比に等しい。 そして再び、共通の比である ∠Γ の ΗΛ に対する比を取り除け。
λοιπὸς ἄρα ὁ τῆς ΚΗ πρὸς τὴν ΒΘ λόγος ὁ αὐτός ἐστιν τῷ τῆς ΗΛ πρὸς τὴν ΘΓ. καὶ ἐναλλάξ ἐστιν, ὡς ἡ ΚΗ πρὸς τὴν ΗΛ, οὕτως ἡ ΒΘ πρὸς τὴν ΘΓ. καί εἴσιν αἱ ΚΛ, ΒΓ παράλληλοι·
したがって、残された ΚΗ の ΒΘ に対する比は、ΗΛ の ΘΓ に対する比に等しい。 そして交互比により、ΚΗ の ΗΛ に対する比は、ΒΘ の ΘΓ に対する比に等しい。 そして ΚΛ, ΒΓ は平行である。
εὐθεῖα ἄρα ἐστὶν ἡ διὰ τῶν Α, Η, Θ σημείων.
したがって、点 Α, Η, Θ を通る線は直線である。