§6.17ιζ΄. Ἀλλὰ δὴ μὴ ἔστω παράλληλος ἡ ΑΒ τῇ Γ∠, ἀλλὰ συμπιπτέτω κατὰ τὸ Ν.
ἐπεὶ οὖν ἀπὸ τοῦ αὐτοῦ σημείου τοῦ ∠ εἰς τρεῖς εὐθείας τὰς ΒΝ, ΒΓ, ΒΖ δύο εὐθεῖαι διηγμέναι εἰσὶν αἱ ∠Ε, ∠Ν, ἔστιν, ὡς τὸ ὑπὸ Ν∠, ΓΖ πρὸς τὸ ὑπὸ ΝΓ, ∠Ζ, οὕτως τὸ ὑπὸ ∠Ε, ΚΛ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΛ, Κ∠.
17. 然而，设 ΑΒ 不平行于 Γ∠，而相交于点 Ν。 于是，因为自同一点 ∠ 向三直线 ΒΝ、ΒΓ、ΒΖ 引出了两直线 ∠Ε、∠Ν，所以 Ν∠ 与 ΓΖ 所包长方形对 ΝΓ 与 ∠Ζ 所包长方形的比，等于 ∠Ε 与 ΚΛ 所包长方形对 ΕΛ 与 Κ∠ 所包长方形的比。
ὡς δὲ τὸ ὑπὸ Ε∠, ΚΛ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΛ, Κ∠, οὕτως ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΕΘ, ΓΗ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΓ, ΘΗ· πάλιν γὰρ εἰς τρεῖς τὰς ΓΛ, ∠Θ, ΗΚ ἀπὸ τοῦ αὐτοῦ σημείου τοῦ Ε δύο ἠγμέναι εἰσὶν αἱ ΕΓ, Ε∠·
而 Ε∠ 与 ΚΛ 所包长方形对 ΕΛ 与 Κ∠ 所包长方形的比，等于 ΕΘ 与 ΓΗ 所包长方形对 ΕΓ 与 ΘΗ 所包长方形的比；因为再次向三直线 ΓΛ、∠Θ、ΗΚ 自同一点 Ε 引出了两直线 ΕΓ、Ε∠。
καὶ ὡς ἄρα τὸ ὑπὸ ΕΘ, ΓΗ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΓ, ΘΗ, οὕτως τὸ ὑπὸ Ν∠, ΓΖ πρὸς τὸ ὑπὸ ΝΓ, Ζ∠.
因此，ΕΘ 与 ΓΗ 所包长方形对 ΕΓ 与 ΘΗ 所包长方形的比，等于 Ν∠ 与 ΓΖ 所包长方形对 ΝΓ 与 Ζ∠ 所包长方形的比。
διὰ δὴ τὸ προγεγραμμένον εὐθεῖά ἐστιν ἡ διὰ τῶν Α, Θ, ∠· καὶ ἡ διὰ τῶν Α, Μ, Δ ἄρα εὐθεῖά ἐστιν.
于是，由于前文所述，过 Α、Θ、∠ 的线是直线；因此，过 Α、Μ、 Δ 的线也是直线。
§6.18ιη΄. Τρίγωνον τὸ ΑΒΓ, καὶ τῇ ΒΓ παράλληλος ἤχθω ἡ Α∠, καὶ διήχθωσαν αἱ ∠Ε, ΖΗ, ἔστω δέ, ὡς τὸ ἀπὸ ΕΒ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΓΒ, οὕτως ἡ ΒΗ πρὸς τὴν ΗΓ·
18. 设有一三角形 ΑΒΓ，并引平行于 ΒΓ 的直线 Α∠，且引 ∠Ε、ΖΗ，设 ΕΒ 的平方对 ΕΓ 与 ΓΒ 所包长方形的比，等于 ΒΗ 对 ΗΓ 的比；求证若连接 Β∠，则过 Θ、Κ、Γ 的线成为直线。
ὅτι, ἐὰν ἐπιζευχθῇ ἡ Β∠, γίνεται εὐθεῖα ἡ διὰ τῶν Θ, Κ, Γ.
ἐπεί ἔστιν, ὡς τὸ ἀπὸ τῆς ΕΒ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΓΒ, οὕτως ἡ ΒH πρὸς ΗΓ, κοινὸς ἄρα προσκείσθω ὁ τῆς ΓΕ πρὸς ΕΒ λόγος ὁ αὐτὸς ὢν τῷ τοῦ ὑπὸ ΕΓΒ πρὸς τὸ ὑπὸ ΚΒΓ· δι᾿ ἴσου ἄρα ὁ τοῦ ἀπὸ ΕΒ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΒΓ λόγος, τουτέστιν ὁ τῆς ΕΒ πρὸς τὴν ΒΓ, ὁ αὐτός ἐστιν τῷ συνημμένῳ ἔκ τε τοῦ τῆς ΒΗ πρὸς ΗΓ καὶ τοῦ τοῦ ὑπὸ ΕΓΒ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΒΓ, ὅς ἔστιν ὁ αὐτὸς τῷ τῆς ΕΓ πρὸς ΕΒ·
因为，正如 ΕΒ 的平方对 ΕΓ 与 ΓΒ 所包长方形的比，等于 ΒΗ 对 ΗΓ 的比，所以加上共同的 ΓΕ 对 ΕΒ 的比，此比等于 ΕΓ 与 ΓΒ 所包长方形对 ΚΒ 与 ΒΓ 所包长方形的比；因此，由等比，ΕΒ 的平方对 ΕΒ 与 ΒΓ 所包长方形的比（即 ΕΒ 对 ΒΓ 的比），等于由 ΒΗ 对 ΗΓ 的比以及 ΕΓ 与 ΓΒ 所包长方形对 ΕΒ 与 ΒΓ 所包长方形的比所合成的比，而后者等于 ΕΓ 对 ΕΒ 的比。
ὥστε ὁ τοῦ ἀπὸ ΕΒ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΒΓ συνῆπται ἔκ τε τοῦ ὃν ἔχει ἡ ΒΗ πρὸς ΗΓ καὶ τοῦ ὃν ἔχει ἡ ΕΓ πρὸς ΕΒ, ὅς ἐστιν ὁ αὐτὸς τῷ τοῦ ὑπὸ ΕΓ, ΒΗ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΒ, ΓΗ. ὡς δὲ ἡ ΕΒ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως ἐστὶν διὰ τὸ προγεγραμμένον λῆμμα τὸ ὑπὸ ∠Ε, ΖΘ πρὸς τὸ ὑπὸ ∠Ζ, ΘΕ· καὶ ὡς ἄρα τὸ ὑπὸ ΓΕ, ΒΗ πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΗ, ΕΒ, οὕτως ἐστὶν τὸ ὑπὸ ∠Ε, ΖΘ πρὸς τὸ ὑπὸ ∠Ζ, ΘΕ. εὐθεῖα ἄρα ἐστὶν ἡ διὰ τῶν Θ, Κ, Γ· τοῦτο γὰρ ἐν τοῖς πτωτικοῖς τῶν ἀναστροφίων.
因此，ΕΒ 的平方对 ΕΒ 与 ΒΓ 所包长方形的比，是由 ΒΗ 对 ΗΓ 的比以及 ΕΓ 对 ΕΒ 的比所合成的，而这等于 ΕΓ 与 ΒΗ 所包长方形对 ΕΒ 与 ΓΗ 所包长方形的比。 而正如 ΕΒ 对 ΒΓ 的比，由于前文所述的引理，等于 ∠Ε 与 ΖΘ 所包长方形对 ∠Ζ 与 ΘΕ 所包长方形的比；因此，ΓΕ 与 ΒΗ 所包长方形对 ΓΗ 与 ΕΒ 所包长方形的比，也等于 ∠Ε 与 ΖΘ 所包长方形对 ∠Ζ 与 ΘΕ 所包长方形的比。 所以过 Θ、Κ、Γ 的线是直线；因为这属于反转的各种不确定情况之一。
§6.19ιθ΄. Εἰς τρεῖς εὐθείας τὰς ΑΒ, ΑΓ, Α∠ ἀπό τινος σημείου τοῦ Ε δύο διήχθωσαν αἱ ΕΖ, ΕΒ, ἔστω δέ, ὡς ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΖΗ, οὕτως ἡ ΘΕ πρὸς τὴν ΘΗ ὅτι γίνεται καί, ὡς ἡ ΒΕ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως ἡ Ε∠ πρὸς τὴν ∠Γ.
ἤχθω διὰ τοῦ Η τῇ ΒΕ παράλληλος ἡ ΛΚ.
ἐπεὶ οὖν ἐστιν, ὡς ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΖΗ, οὕτως ἡ ΕΘ πρὸς τὴν ΘΗ, ἀλλ᾿ ὡς μὲν ἡ ΕΖ πρὸς τὴν ΖΗ, οὕτως ἡ ΕΒ πρὸς τὴν ΗΚ, ὡς δὲ ἡ ΕΘ πρὸς τὴν ΘΗ, οὕτως ἐστὶν ἡ ∠Ε πρὸς τὴν ΗΛ, καὶ ὡς ἄρα ἡ ΒΕ πρὸς τὴν ΗΚ, οὕτως ἐστὶν ἡ ∠Ε πρὸς τὴν ΗΛ. ἐναλλάξ ἐστιν, ὡς ἡ ΕΒ πρὸς τὴν Ε∠, οὕτως ἡ Κ πρὸς τὴν ΗΛ. ὡς δὲ ἡ ΚΗ πρὸς τὴν ΗΛ, οὕτως ἐστὶν ἡ ΒΓ πρὸς τὴν Γ∠ καὶ ὡς ἄρα ἡ ΒΕ πρὸς τὴν Ε∠, οὕτως ἡ ΒΓ πρὸς τὴν Γ∠.
19. 向三直线 ΑΒ、ΑΓ、Α∠ 自某点 Ε 引出两直线 ΕΖ、ΕΒ，设 ΕΖ 对 ΖΗ 的比等于 ΘΕ 对 ΘΗ 的比；求证亦有 ΒΕ 对 ΒΓ 的比等于 Ε∠ 对 ∠Γ 的比。 过 Η 作平行于 ΒΕ 的直线 ΛΚ。 于是，因为正如 ΕΖ 对 ΖΗ 的比等于 ΕΘ 对 ΘΗ 的比，但正如 ΕΖ 对 ΖΗ 的比等于 ΕΒ 对 ΗΚ 的比，而正如 ΕΘ 对 ΘΗ 的比等于 ∠Ε 对 ΗΛ 的比，所以 ΒΕ 对 ΗΚ 的比也等于 ∠Ε 对 ΗΛ 的比。 成交互比，正如 ΕΒ 对 Ε∠ 的比，等于 Κ 对 ΗΛ 的比。 而正如 ΚΗ 对 ΗΛ 的比等于 ΒΓ 对 Γ∠ 的比；所以 ΒΕ 对 Ε∠ 的比也等于 ΒΓ 对 Γ∠ 的比。
ἐναλλάξ ἐστιν, ὡς ἡ ΕΒ πρὸς τὴν ΒΓ, οὕτως ἡ Ε∠ πρὸς τὴν ∠Γ.
τὰ δὲ πτωτικὰ ὁμοίως.
成交互比，正如 ΒΕ 对 ΒΓ 的比等于 Ε∠ 对 ∠Γ 的比。 其他情况亦同。