§6.15ιεʹ. Τούτου προτεθεωρημένου ἔστω παράλληλος ἡ ΑΒ τῇ Γ∠, καὶ εἰς αὐτὰς ἐμπιπτέτωσαν εὐθεῖαι αἱ ΑΖ, ΖΒ, ΓΕ, Ε∠, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΒΓ, ΗΚ ὅτι εὐθεῖά ἐστιν ἡ διὰ τῶν Α, Μ, ∠.
15. 在此预先证明之后，设 ΑΒ 平行于 Γ∠，且直线 ΑΖ、ΖΒ、ΓΕ、Ε∠ 交于其上，并连接 ΒΓ、ΗΚ；求证过 Α、Μ、∠ 的线是直线。
Ἐπεζεύχθω ἡ ∠Μ καὶ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Θ.
ἐπεὶ οὖν τριγώνου τοῦ ΒΓΖ ἐκτὸς ἀπὸ τῆς κορυφῆς τοῦ Β σημείου τῇ Γ∠ παράλληλος ἦκται ἡ ΒΕ, καὶ διῆκται ἡ ∠ Ε, γίνεται, ὡς ἡ Γ Ζ πρὸς Ζ∠, οὕτως τὸ ὑπὸ ∠Ε, ΚΛ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΛ, Κ∠.
连接 ∠Μ 并延长至 Θ。 因为在三角形 ΒΓΖ 之外，自顶点点 Β 引出了平行于 Γ∠ 的直线 ΒΕ，且 ∠Ε 被引出，所以 ΓΖ 对 Ζ∠ 的比，等于 ∠Ε 与 ΚΛ 所包长方形对 ΕΛ 与 Κ∠ 所包长方形的比。
ὡς δὲ τὸ ὑπὸ ∠Ε, ΚΛ πρὸς τὸ ὑπὸ ∠ Κ, ΛΕ, οὕτως ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΓΗ, ΘΕ πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΕ, ΗΘ, ἐπεὶ εἰς τρεῖς εὐθείας τὰς ΓΛ, ∠Θ, ΗΚ δύο εἰσὶν διηγμέναι ἀπὸ τοῦ αὐτοῦ σημείου τοῦ Ε α ΕΓ, Ε∠ καὶ ὡς ἄρα ἡ ∠Ζ πρὸς ΖΓ οὕτως ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΓΕ, ΗΘ πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΗ ΘΕ. διὰ τὸ προγεγραμμένον ἄρα ἡ διὰ τῶν Α, Μ, ∠ ἐστιν εὐθεῖα.
而 ∠Ε 与 ΚΛ 所包长方形对 ∠Κ 与 ΛΕ 所包长方形的比，等于 ΓΗ 与 ΘΕ 所包长方形对 ΓΕ 与 ΗΘ 所包长方形的比，因为向三直线 ΓΛ、∠Θ、ΗΚ，自同一点 Ε 引出了两直线 ΕΓ、Ε∠。 因此，∠Ζ 对 ΖΓ 的比，等于 ΓΕ 与 ΗΘ 所包长方形对 ΓΗ 与 ΘΕ 所包长方形的比。 于是，由于前文所述，过 Α、Μ、∠ 的线是直线。
§6.16ιϚ΄. Εἰς δύο εὐθείας τὰς ΑΒ, ΑΓ ἀπὸ τοῦ αὐτοῦ σημείου τοῦ ∠ δύο διήχθωσαν αἱ ∠Β, ∠Ε, καὶ ἐπʼ αὐτῶν εἰλήφθω σημεῖα τὰ Η, Θ, ἔστω δέ, ὡς τὸ ὑπὸ ΕΗ, Ζ∠ πρὸς τὸ ὑπὸ ∠Ε, ΗΖ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΒΘ, Γ∠ πρὸς τὸ ὑπὸ Β∠, ΓΘ ὅτι εὐθεῖά ἐστιν ἡ διὰ τῶν Α, Η, Θ.
ἤχθω διὰ τοῦ Η τῇ Β∠ παράλληλος ἡ ΚΛ.
ἐπεὶ οὖν ἐστιν, ὡς τὸ ὑπὸ ΕΗ, Ζ∠ πρὸς τὸ ὑπὸ ∠Ε, ΖΗ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΒΘ, Γ∠ πρὸς τὸ ὑπὸ Β∠, ΓΘ, ἀλλὰ ὁ τοῦ ὑπὸ ΕΗ, Ζ∠ πρὸς τὸ ὑπὸ ∠Ε, ΗΖ συνῆπται λόγος ἔκ τε τοῦ ὃν ἔχει ἡ ΗΕ πρὸς Ε∠, τουτέστιν ἡ ΚΗ πρὸς Β∠, καὶ ἐξ οὗ ὃν ἔχει ἡ ∠Ζ πρὸς ΖΗ, τουτέστιν ἡ Γ∠ πρὸς τὴν ΗΛ, ὁ δὲ τοῦ ὑπὸ ΒΘ, Γ∠ πρὸς τὸ ὑπὸ Β∠, ΓΘ συνῆπται λόγος ἔκ τε τοῦ ὃν ἔχει ἡ ΘΒ πρὸς Β∠ καὶ ἐξ οὗ ὃν ἔχει ἡ ∠Γ πρὸς ΓΘ, καὶ ὁ ἔκ τε τοῦ τῆς Κ ἄρα πρὸς Β∠ καὶ τοῦ τῆς ∠Γ πρὸς ΗΛ ὁ αὐτός ἐστιν τῷ συνημμένῳ ἔκ τε τοῦ τῆς ΒΘ πρὸς Β∠ καὶ τοῦ τῆς ∠Γ πρὸς ΓΘ. ὁ δὲ τῆς ΚΗ πρὸς Β∠ συνῆπται ἔκ τε τοῦ τῆς ΚΗ πρὸς ΒΘ καὶ τοῦ τῆς ΒΘ πρὸς Β∠· ὁ ἄρα συνημμένος ἔκ τε τοῦ τῆς ΚΗ πρὸς ΒΘ καὶ τοῦ τῆς ΒΘ πρὸς Β∠ καὶ ἔτι τοῦ τῆς ∠Γ πρὸς ΗΛ ὁ αὐτός ἐστιν τῷ συνημμένῳ ἔκ τε τοῦ τῆς ΒΘ πρὸς Β∠ καὶ τοῦ τῆς ∠Γ πρὸς ΓΘ. κοινὸς ἐκκεκρούσθω ὁ τῆς Θ Β πρὸς Β∠ λόγος· λοιπὸς ἄρα ὁ συνημμένος ἔκ τε τοῦ τῆς ΚΗ πρὸς ΒΘ καὶ τοῦ τῆς ∠Γ πρὸς ΚΛ ὁ αὐτός ἐστιν τῷ τῆς ∠Γ πρὸς τὴν ΓΘ, τουτέστιν τῷ συνημμένῳ ἔκ τε τοῦ τῆς ∠Γ πρὸς τὴν ΗΛ καὶ τοῦ τῆς ΗΛ πρὸς τὴν ΘΓ. καὶ πάλιν κοινὸς ἐκκεκρούσθω ὁ τῆς ∠Γ πρὸς τὴν ΗΛ λόγος· λοιπὸς ἄρα ὁ τῆς ΚΗ πρὸς τὴν ΒΘ λόγος ὁ αὐτός ἐστιν τῷ τῆς ΗΛ πρὸς τὴν ΘΓ. καὶ ἐναλλάξ ἐστιν, ὡς ἡ ΚΗ πρὸς τὴν ΗΛ, οὕτως ἡ ΒΘ πρὸς τὴν ΘΓ. καί εἴσιν αἱ ΚΛ, ΒΓ παράλληλοι· εὐθεῖα ἄρα ἐστὶν ἡ διὰ τῶν Α, Η, Θ σημείων.
16. 向两直线 ΑΒ、ΑΓ，自同一点 ∠ 引出两直线 ∠Β、∠Ε，并在其上取点 Η、Θ，设 ΕΗ 与 Ζ∠ 所包长方形对 ∠Ε 与 ΗΖ 所包长方形的比，等于 ΒΘ 与 Γ∠ 所包长方形对 Β∠ 与 ΓΘ 所包长方形的比；求证过 Α、Η、Θ 的线是直线。 过 Η 作平行于 Β∠ 的直线 ΚΛ。 于是，因为 ΕΗ 与 Ζ∠ 所包长方形对 ∠Ε 与 ΖΗ 所包长方形的比，等于 ΒΘ 与 Γ∠ 所包长方形对 Β∠ 与 ΓΘ 所包长方形的比，而 ΕΗ 与 Ζ∠ 所包长方形对 ∠Ε 与 ΗΖ 所包长方形的比，是由 ΗΕ 对 Ε∠ 的比（即 ΚΗ 对 Β∠ 的比）以及 ∠Ζ 对 ΖΗ 的比（即 Γ∠ 对 ΗΛ 的比）所合成的，而 ΒΘ 与 Γ∠ 所包长方形对 Β∠ 与 ΓΘ 所包长方形的比，是由 ΘΒ 对 Β∠ 的比以及 ∠Γ 对 ΓΘ 的比所合成的，所以由 ΚΗ 对 Β∠ 的比与 ∠Γ 对 ΗΛ 的比所合成的比，等于由 ΒΘ 对 Β∠ 的比与 ∠Γ 对 ΓΘ 的比所合成的比。 而 ΚΗ 对 Β∠ 的比，是由 ΚΗ 对 ΒΘ 的比与 ΒΘ 对 Β∠ 的比所合成的；因此，由 ΚΗ 对 ΒΘ 的比、ΒΘ 对 Β∠ 的比以及 ∠Γ 对 ΗΛ 的比所合成的比，等于由 ΒΘ 对 Β∠ 的比与 ∠Γ 对 ΓΘ 的比所合成的比。 相消去共同的 ΘΒ 对 Β∠ 的比；因此，余下的由 ΚΗ 对 ΒΘ 的比与 ∠Γ 对 ΗΛ 的比所合成的比，等于 ∠Γ 对 ΓΘ 的比，即由 ∠Γ 对 ΗΛ 的比与 ΗΛ 对 ΘΓ 的比所合成的比。 再次消去共同的 ∠Γ 对 ΗΛ 的比；余下的 ΚΗ 对 ΒΘ 的比，等于 ΗΛ 对 ΘΓ 的比。 且成交互比，ΚΗ 对 ΗΛ 的比，等于 ΒΘ 对 ΘΓ 的比。 而 ΚΛ、ΒΓ 平行；所以过点 Α、Η、Θ 的线是直线。