§6.12ιβ΄. Ἀποδεδειγμένων οὖν τούτων ἔσται δεῖξαι, ὅτι, ἐὰν παράλληλοι ὦσιν αἱ ΑΒ, Γ∠, καὶ εἰς αὐτὰς ἐμπίπτωσιν εὐθεῖαί τινες αἱ Α∠, Α Ζ, ΒΓ ΒΖ, καὶ ἐπιζευχθῶσιν αἱ Ε∠, ΕΓ, γίνεται εὐθεῖα ἡ διὰ τῶν Η, Μ, Κ.
ἐπεὶ γὰρ τρίγωνον τὸ ∠ΑΖ, καὶ τῇ ∠ Ζ παράλληλος ἡ ΑΕ, καὶ διῆκται ἡ ΕΓ συμπίπτουσα τῇ ∠ κατὰ τὸ Γ, διὰ τὸ προγεγραμμένον γίνεται, ὡς ἡ ∠ Ζ πρὸς τὴν ΖΓ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΓΕ, ΗΘ πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΗ, ΘΕ πάλιν, ἐπεὶ τρίγωνόν ἐστιν τὸ Γ ΒΖ, καὶ τῇ Γ∠ παράλληλος ἦκται ἡ ΒΕ, καὶ διῆκται ἡ ∠Ε συμπίπτουσα τῇ ΓΖ∠ κατὰ τὸ ∠, γίνεται, ὡς ἡ ΓΖ πρὸς τὴν Ζ∠, οὕτως τὸ ὑπὸ ∠Ε, ΛΚ πρὸς τὸ ὑπὸ ∠Κ, ΛΕ·
ιβ΄. したがって、これらが証明されたので、もし ΑΒ, Γ∠ が平行であり、これらにいくつかの直線 Α∠, ΑΖ, ΒΓ, ΒΖ が交わり、さらに Ε∠, ΕΓ が結ばれるならば、Η, Μ, Κ を通る線は直線になることを示すことができるであろう。 なぜなら、∠ΑΖ は三角形であり、∠Ζ に平行な直線 ΑΕ が引かれ、ΕΓ が引かれて ∠Ζ と点 Γ において交わっているから、前に書かれたこと（定理11）により、∠Ζ の ΖΓ に対する比は、ΓΕ と ΗΘ の包む長方形の、ΓΗ と ΘΕ の包む長方形に対する比に等しくなる。 次に、ΓΒΖ は三角形であり、Γ∠ に平行な直線 ΒΕ が引かれ、∠Ε が引かれて ΓΖ と点 ∠ において交わっているから、ΓΖ の Ζ∠ に対する比は、 ∠Ε と ΛΚ の包む長方形の、∠Κ と ΛΕ の包む長方形に対する比に等しくなる。
ἀνάπαλιν ἄρα γίνεται, ὡς ἡ ∠ Ζ πρὸς τὴν ΖΓ, οὕτως τὸ ὑπὸ ∠Κ, ΛΕ πρὸς τὸ ὑπὸ ∠Ε, ΛΚ. ἦν δὲ καί, ὡς ἡ ∠Ζ πρὸς τὴν Ζ οὕτως τὸ ὑπὸ ΓΕ, ΗΘ πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΗ, ΘΕ·
したがって、逆比例により、∠Ζ の ΖΓ に対する比は、∠Κ と ΛΕ の包む長方形の、∠Ε と ΛΚ の包む長方形に対する比に等しくなる。 しかしまた、∠Ζ の ΖΓ に対する比は、ΓΕ と ΗΘ の包む長方形の、ΓΗ と ΘΕ の包む長方形に対する比に等しかった。
καὶ ὡς ἄρα τὸ ὑπὸ ΓΕ, ΗΘ πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΗ, ΘΕ ὕτως ἐστὶν τὸ ὑπὸ ∠Κ, ΛΕ πρὸς τὸ ὑπὸ ∠Ε, ΚΛ. πεὶ οὖν εἰς δύο εὐθείας τὰς Γ ΜΛ, ΘΜ∠ δύο εὐθεῖαι διηγμέναι εἰσὶν αἱ ΕΓ, Ε∠, καί ἐστιν, ὡς τὸ ὑπὸ ΓΕ, ΗΘ πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΗ, ΘΕ, οὕτωσ τὸ ὑπὸ ∠Κ, ΕΛ πρὸς τὸ ὑπὸ ∠Ε, ΛΚ, εὐθεῖα ἄρα ἐστὶν ἡ διὰ τῶν Η, Μ, Κ τοῦτο γὰρ προδέδεικται.
したがってまた、ΓΕ と ΗΘ の包む長方形の、ΓΗ と ΘΕ の包む長方形に対する比は、∠Κ と ΛΕ の包む長方形の、∠Ε と ΚΛ の包む長方形に対する比に等しい。 さて、2つの直線 ΓΜΛ, ΘΜ∠ に対し、点 Ε から2つの直線 ΕΓ, Ε∠ が引かれており、そして、ΓΕ と ΗΘ の包む長方形の、ΓΗ と ΘΕ の包む長方形に対する比が、∠Κ と ΕΛ の包む長方形の、 ∠Ε と ΛΚ の包む長方形に対する比に等しいので、したがって、Η, Μ, Κ を通る線は直線である。 なぜなら、このことは前に証明されている（定理10）からである。
§6.13ιγ΄. Ἀλλὰ δὴ μὴ ἔστωσαν αἱ ΑΒ, Γ∠ παράλληλοι, ἀλλὰ συμπιπτέτωσαν κατὰ τὸ Ν·
ιγ΄. しかし、ΑΒ, Γ∠ は平行ではなく、点 Ν において交わるとせよ。
ὅτι πάλιν εὐθεῖά ἐστιν ἡ διὰ τῶν Η, Μ, Κ.
ἐπεὶ εἰς τρεῖς εὐθείας τὰς ΑΝ, ΑΖ, Α∠ ἀπὸ τοῦ αὐτοῦ σημείου τοῦ Γ δύο διηγμέναι εἰσὶν αἱ ΓΕ Γ∠, γίνεται, ὡς τὸ ὑπὸ ΓΕ, ΗΘ πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΗ, ΘΕ, οὕτως τὸ ὑπὸ τῶν ΓΝ, Ζ∠ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν Ν∠, Γ Ζ. πάλιν ἐπεὶ ἀπὸ τοῦ αὐτοῦ σημείου τοῦ ∠ εἰς τρεῖς εὐθείας τὰς ΒΝ, ΒΓ, ΒΖ δύο εἰσὶν διηγμέναι αἱ ∠Ε, ∠Ν, ἔστιν, ὡς τὸ ὑπὸ ΝΓ, Ζ∠ πρὸς τὸ ὑπὸ Ν∠, ΖΓ οὕτως τὸ ὑπὸ ∠Κ, ΕΛ πρὸς τὸ ὑπὸ ∠Ε, ΚΛ. ἀλλʼ ὡς τὸ ὑπὸ ΝΓ, Ζ∠ πρὸς τὸ ὑπὸ Ν∠, Γ Ζ, οὕτως ἐδείχθη τὸ ὑπὸ ΓΕ, πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΗ, ΘΕ καὶ ὡς ἄρα τὸ ὑπὸ ΓΕ ΘΗ πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΗ, ΘΕ, οὕτως ἐστὶν τὸ ὑπὸ ∠Κ, ΕΛ πρὸς τὸ ὑπὸ ∠Ε, ΚΛ. διὰ δὴ τὸ προγεγραμμένον εὐθεῖά ἐστιν ἡ διὰ τῶν Η, Μ, Κ.
この場合にもまた、Η, Μ, Κ を通る線は直線であることを（示すべきである）。 なぜなら、同一の点 Γ から、3つの直線 ΑΝ, ΑΖ, Α∠ に対し、2つの直線 ΓΕ, Γ∠ が引かれているので、ΓΕ と ΗΘ の包む長方形の、ΓΗ と ΘΕ の包む長方形に対する比は、ΓΝ と Ζ∠ の包む長方形の、 Ν∠ と ΓΖ の包む長方形に対する比に等しくなる。 次に、同一の点 ∠ から、3つの直線 ΒΝ, ΒΓ, ΒΖ に対し、2つの直線 ∠Ε, ∠Ν が引かれているので、ΝΓ と Ζ∠ の包む長方形の、Ν∠ と ΖΓ の包む長方形に対する比は、∠Κ と ΕΛ の包む長方形の、 ∠Ε と ΚΛ の包む長方形に対する比に等しい。 しかし、ΝΓ と Ζ∠ の包む長方形の、Ν∠ と ΓΖ の包む長方形に対する比は、ΓΕ と ΗΘ の包む長方形の、ΓΗ と ΘΕ の包む長方形に対する比に等しいことが示された。 したがってまた、ΓΕ と ΘΗ の包む長方形の、ΓΗ と ΘΕ の包む長方形に対する比は、∠Κ と ΕΛ の包む長方形の、∠Ε と ΚΛ の包む長方形に対する比に等しい。 したがって、まさに前に書かれたこと（定理10）により、Η, Μ, Κ を通る線は直線である。
§6.14ιδʹ. Ἔστω παράλληλος ἡ ΑΒ τῇ Γ∠, καὶ διήχθωσαν αἱ ΑΕ, ΓΒ, καὶ σημεῖον ἐπὶ τῆς ΒΗ τὸ Ζ, ὥστε εἶναι, ὡς τὴν ∠Ε πρὸς τὴν ΕΓ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΓΒ, ΗΖ πρὸς τὸ ὑπὸ ΖΒ, ΓΗ ὅτι εὐθεῖά ἐστιν ἡ διὰ τῶν Α, Ζ, ∠.
ιδʹ. ΑΒ が Γ∠ に平行であるとし、ΑΕ, ΓΒ が引かれ、さらに ΒΗ 上に点 Ζ があって、∠Ε の ΕΓ に対する比が、ΓΒ と ΗΖ の包む長方形の、ΖΒ と ΓΗ の包む長方形に対する比に等しいとせよ。 Α, Ζ, ∠ を通る線は直線であることを（示すべきである）。
ἤχθω διὰ μὲν τοῦ ∠ τῇ ΒΓ παράλληλος ἡ ∠Θ, καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ ΑΕ ἐπὶ τὸ Θ, διὰ δὲ τοῦ Θ τῇ Γ∠ παράλληλος ἡ Θ Κ, καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ Β ἐπὶ τὸ Κ.
ἐπεὶ οὖν ἐστιν, ὡς ἡ ∠Ε πρὸς τὴν ΕΓ. οὕτως τὸ ὑπὸ ΓΒ, Ζ πρὸς τὸ ὑπὸ ΒΖ, ΓΗ, ὡς δὲ ἡ ∠Ε πρὸς τὴν ΕΓ, οὕτως ἐστὶν ἥ τε ∠Θ πρὸς τὴν Γ καὶ τὸ ὑπὸ ∠Θ, ΒΖ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΓΗ, ἴσον ἄρα ἐστὶν τὸ ὑπὸ τῶν ΒΓ ΖΗ τῷ ὑπὸ ∠Θ, ΒΖ ἀνάλογον ἄρα ἐστίν, ὡς ἡ ΓΒ πρὸς τήν ΒΖ, οὕτως ἡ ∠Θ, τουτέστιν ἡ Γ Κ, πρὸς τὴν ΗΖ καὶ ὅλη ἄρα ἡ ΚΒ πρὸς ὅλην τὴν Β ἐστιν, ὡς ἡ ΚΓ πρὸς ΖΗ τουτέστιν ὡς ἡ ∠Θ πρὸς ΖΗ. ἀλλʼ ὡς ἡ ΚΒ πρὸς Β ἐν παραλλήλῳ, οὕτως ἐστὶν ἡ ΘΑ πρὸς ΑΗ καὶ ἡ ∠Θ πρὸς ΖΗ. καί εἰσιν παράλληλοι αἱ ∠Θ, ΖΗ·
∠ を通り ΒΓ に平行な直線 ∠Θ を引き、ΑΕ を Θ まで延長せよ。 また Θ を通り Γ∠ に平行な直線 ΘΚ を引き、ΒΓ を Κ まで延長せよ。 さて、∠Ε の ΕΓ に対する比は、ΓΒ と ΗΖ の包む長方形の、ΒΖ と ΓΗ の包む長方形に対する比に等しく、一方、∠Ε の ΕΓ に対する比は、∠Θ の ΓΗ に対する比に等しく、また ∠Θ と ΒΖ の包む長方形の、ΓΗ と ΒΖ の包む長方形に対する比にも等しいので、したがって、ΒΓ と ΖΗ の包む長方形は、∠Θ と ΒΖ の包む長方形に等しい。 したがって、比例により、ΓΒ の ΒΖ に対する比は、∠Θ、すなわち ΓΚ の、ΗΖ に対する比に等しい。 したがってまた、全体の ΚΒ の全体の ΒΖ に対する比は、ΚΓ の ΖΗ に対する比に等しく、すなわち ∠Θ の ΖΗ に対する比に等しい。 しかし、平行線の間において、ΚΒ の ΒΖ に対する比は、ΘΑ の ΑΗ に対する比に等しく、それゆえ、ΘΑ の ΑΗ に対する比は ∠Θ の ΖΗ に対する比に等しい。 そして、∠Θ と ΖΗ は平行である。
εὐθεῖα ἄρα ἐστὶν ἡ διὰ τῶν Α, Ζ, ∠ σημείων.
したがって、点 Α, Ζ, ∠ を通る線は直線である。