§6.15ιεʹ.
15.
Τούτου προτεθεωρημένου ἔστω παράλληλος ἡ ΑΒ τῇ Γ∠, καὶ εἰς αὐτὰς ἐμπιπτέτωσαν εὐθεῖαι αἱ ΑΖ, ΖΒ, ΓΕ, Ε∠, καὶ ἐπεζεύχθωσαν αἱ ΒΓ, ΗΚ ὅτι εὐθεῖά ἐστιν ἡ διὰ τῶν Α, Μ, ∠.
이것이 예비적으로 증명되었다고 하고, ΑΒ가 Γ∠에 평행하며, 이것들에 직선 ΑΖ, ΖΒ, ΓΕ, Ε∠가 만나고, ΒΓ, ΗΚ가 이어진다고 하자. Α, Μ, ∠를 지나는 선은 직선임을 (보여야 한다).
Ἐπεζεύχθω ἡ ∠Μ καὶ ἐκβεβλήσθω ἐπὶ τὸ Θ.
ἐπεὶ οὖν τριγώνου τοῦ ΒΓΖ ἐκτὸς ἀπὸ τῆς κορυφῆς τοῦ Β σημείου τῇ Γ∠ παράλληλος ἦκται ἡ ΒΕ, καὶ διῆκται ἡ ∠ Ε, γίνεται, ὡς ἡ Γ Ζ πρὸς Ζ∠, οὕτως τὸ ὑπὸ ∠Ε, ΚΛ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΛ, Κ∠.
∠Μ을 잇고 Θ까지 연장하라. 그러므로 삼각형 ΒΓΖ의 바깥에, 꼭짓점 점 Β로부터 Γ∠에 평행한 직선 ΒΕ가 그어졌고, ∠Ε가 그어졌으므로, ΓΖ의 Ζ∠에 대한 비는 ∠Ε와 ΚΛ이 만드는 직사각형의, ΕΛ과 Κ∠가 만드는 직사각형에 대한 비와 같게 된다.
ὡς δὲ τὸ ὑπὸ ∠Ε, ΚΛ πρὸς τὸ ὑπὸ ∠ Κ, ΛΕ, οὕτως ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΓΗ, ΘΕ πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΕ, ΗΘ, ἐπεὶ εἰς τρεῖς εὐθείας τὰς ΓΛ, ∠Θ, ΗΚ δύο εἰσὶν διηγμέναι ἀπὸ τοῦ αὐτοῦ σημείου τοῦ Ε α ΕΓ, Ε∠ καὶ ὡς ἄρα ἡ ∠Ζ πρὸς ΖΓ οὕτως ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΓΕ, ΗΘ πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΗ ΘΕ. διὰ τὸ προγεγραμμένον ἄρα ἡ διὰ τῶν Α, Μ, ∠ ἐστιν εὐθεῖα.
그런데 ∠Ε와 ΚΛ이 만드는 직사각형의, ∠Κ와 ΛΕ가 만드는 직사각형에 대한 비는 ΓΗ와 ΘΕ가 만드는 직사각형의, ΓΕ와 ΗΘ가 만드는 직사각형에 대한 비와 같은데, 왜냐하면 세 직선 ΓΛ, ∠Θ, ΗΚ에 대하여 동일한 점 Ε로부터 두 직선 ΕΓ, Ε∠가 그어졌기 때문이다. 그러므로 또한 ∠Ζ의 ΖΓ에 대한 비는 ΓΕ와 ΗΘ가 만드는 직사각형의, ΓΗ와 ΘΕ가 만드는 직사각형에 대한 비와 같다. 그러므로 전에 기록된 것에 의해, Α, Μ, ∠를 지나는 선은 직선이다.
§6.16ιϚ΄.
16.
Εἰς δύο εὐθείας τὰς ΑΒ, ΑΓ ἀπὸ τοῦ αὐτοῦ σημείου τοῦ ∠ δύο διήχθωσαν αἱ ∠Β, ∠Ε, καὶ ἐπʼ αὐτῶν εἰλήφθω σημεῖα τὰ Η, Θ, ἔστω δέ, ὡς τὸ ὑπὸ ΕΗ, Ζ∠ πρὸς τὸ ὑπὸ ∠Ε, ΗΖ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΒΘ, Γ∠ πρὸς τὸ ὑπὸ Β∠, ΓΘ ὅτι εὐθεῖά ἐστιν ἡ διὰ τῶν Α, Η, Θ.
ἤχθω διὰ τοῦ Η τῇ Β∠ παράλληλος ἡ ΚΛ.
ἐπεὶ οὖν ἐστιν, ὡς τὸ ὑπὸ ΕΗ, Ζ∠ πρὸς τὸ ὑπὸ ∠Ε, ΖΗ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΒΘ, Γ∠ πρὸς τὸ ὑπὸ Β∠, ΓΘ, ἀλλὰ ὁ τοῦ ὑπὸ ΕΗ, Ζ∠ πρὸς τὸ ὑπὸ ∠Ε, ΗΖ συνῆπται λόγος ἔκ τε τοῦ ὃν ἔχει ἡ ΗΕ πρὸς Ε∠, τουτέστιν ἡ ΚΗ πρὸς Β∠, καὶ ἐξ οὗ ὃν ἔχει ἡ ∠Ζ πρὸς ΖΗ, τουτέστιν ἡ Γ∠ πρὸς τὴν ΗΛ, ὁ δὲ τοῦ ὑπὸ ΒΘ, Γ∠ πρὸς τὸ ὑπὸ Β∠, ΓΘ συνῆπται λόγος ἔκ τε τοῦ ὃν ἔχει ἡ ΘΒ πρὸς Β∠ καὶ ἐξ οὗ ὃν ἔχει ἡ ∠Γ πρὸς ΓΘ, καὶ ὁ ἔκ τε τοῦ τῆς Κ ἄρα πρὸς Β∠ καὶ τοῦ τῆς ∠Γ πρὸς ΗΛ ὁ αὐτός ἐστιν τῷ συνημμένῳ ἔκ τε τοῦ τῆς ΒΘ πρὸς Β∠ καὶ τοῦ τῆς ∠Γ πρὸς ΓΘ. ὁ δὲ τῆς ΚΗ πρὸς Β∠ συνῆπται ἔκ τε τοῦ τῆς ΚΗ πρὸς ΒΘ καὶ τοῦ τῆς ΒΘ πρὸς Β∠·
두 직선 ΑΒ, ΑΓ에 대하여, 동일한 점 ∠로부터 두 직선 ∠Β, ∠Ε가 그어지고, 그것들 위에 점 Η, Θ가 잡힌다고 하고, ΕΗ와 Ζ∠가 만드는 직사각형의, ∠Ε와 ΗΖ가 만드는 직사각형에 대한 비가, ΒΘ와 Γ∠가 만드는 직사각형의, Β∠와 ΓΘ가 만드는 직사각형에 대한 비와 같다고 하자. Α, Η, Θ를 지나는 선은 직선임을 (보여야 한다). Η를 지나며 Β∠에 평행한 직선 ΚΛ을 긋고. 그러므로 ΕΗ와 Ζ∠가 만드는 직사각형의, ∠Ε와 ΖΗ가 만드는 직사각형에 대한 비는, ΒΘ와 Γ∠가 만드는 직사각형의, Β∠와 ΓΘ가 만드는 직사각형에 대한 비와 같은데, 그런데 ΕΗ와 Ζ∠가 만드는 직사각형의, ∠Ε와 ΗΖ가 만드는 직사각형에 대한 비는 ΗΕ의 Ε∠에 대한 비, 즉 ΚΗ의 Β∠에 대한 비와, ∠Ζ의 ΖΗ에 대한 비, 즉 Γ∠의 ΗΛ에 대한 비로부터 합성되어 있으며, 한편 ΒΘ와 Γ∠가 만드는 직사각형의, Β∠와 ΓΘ가 만드는 직사각형에 대한 비는 ΘΒ의 Β∠에 대한 비와, ∠Γ의 ΓΘ에 대한 비로부터 합성되어 있다. 그러므로 ΚΗ의 Β∠에 대한 비와, ∠Γ의 ΗΛ에 대한 비로부터 합성된 비는, ΒΘ의 Β∠에 대한 비와, ∠Γ의 ΓΘ에 대한 비로부터 합성된 비와 같다. 그런데 ΚΗ의 Β∠에 대한 비는, ΚΗ의 ΒΘ에 대한 비와 ΒΘ의 Β∠에 대한 비로부터 합성된다.
ὁ ἄρα συνημμένος ἔκ τε τοῦ τῆς ΚΗ πρὸς ΒΘ καὶ τοῦ τῆς ΒΘ πρὸς Β∠ καὶ ἔτι τοῦ τῆς ∠Γ πρὸς ΗΛ ὁ αὐτός ἐστιν τῷ συνημμένῳ ἔκ τε τοῦ τῆς ΒΘ πρὸς Β∠ καὶ τοῦ τῆς ∠Γ πρὸς ΓΘ. κοινὸς ἐκκεκρούσθω ὁ τῆς Θ Β πρὸς Β∠ λόγος·
그러므로 ΚΗ의 ΒΘ에 대한 비와, ΒΘ의 Β∠에 대한 비와, 게다가 ∠Γ의 ΗΛ에 대한 비로부터 합성된 비는, ΒΘ의 Β∠에 대한 비와, ∠Γ의 ΓΘ에 대한 비로부터 합성된 비와 같다. 공통된 비인 ΘΒ의 Β∠에 대한 비를 떼어 버려라.
λοιπὸς ἄρα ὁ συνημμένος ἔκ τε τοῦ τῆς ΚΗ πρὸς ΒΘ καὶ τοῦ τῆς ∠Γ πρὸς ΚΛ ὁ αὐτός ἐστιν τῷ τῆς ∠Γ πρὸς τὴν ΓΘ, τουτέστιν τῷ συνημμένῳ ἔκ τε τοῦ τῆς ∠Γ πρὸς τὴν ΗΛ καὶ τοῦ τῆς ΗΛ πρὸς τὴν ΘΓ. καὶ πάλιν κοινὸς ἐκκεκρούσθω ὁ τῆς ∠Γ πρὸς τὴν ΗΛ λόγος·
그러므로 남은 ΚΗ의 ΒΘ에 대한 비와, ∠Γ의 ΗΛ에 대한 비로부터 합성된 비는, ∠Γ의 ΓΘ에 대한 비와 같고, 즉 ∠Γ의 ΗΛ에 대한 비와, ΗΛ의 ΘΓ에 대한 비로부터 합성된 비와 같다. 그리고 다시 공통된 비인 ∠Γ의 ΗΛ에 대한 비를 떼어 버려라.
λοιπὸς ἄρα ὁ τῆς ΚΗ πρὸς τὴν ΒΘ λόγος ὁ αὐτός ἐστιν τῷ τῆς ΗΛ πρὸς τὴν ΘΓ. καὶ ἐναλλάξ ἐστιν, ὡς ἡ ΚΗ πρὸς τὴν ΗΛ, οὕτως ἡ ΒΘ πρὸς τὴν ΘΓ. καί εἴσιν αἱ ΚΛ, ΒΓ παράλληλοι·
그러므로 남은 ΚΗ의 ΒΘ에 대한 비는, ΗΛ의 ΘΓ에 대한 비와 같다. 그리고 교대비에 의해, ΚΗ의 ΗΛ에 대한 비는, ΒΘ의 ΘΓ에 대한 비와 같다. 그리고 ΚΛ, ΒΓ는 평행하다.
εὐθεῖα ἄρα ἐστὶν ἡ διὰ τῶν Α, Η, Θ σημείων.
그러므로 점 Α, Η, Θ를 지나는 선은 직선이다.