§6.12ιβ΄.
12.
Ἀποδεδειγμένων οὖν τούτων ἔσται δεῖξαι, ὅτι, ἐὰν παράλληλοι ὦσιν αἱ ΑΒ, Γ∠, καὶ εἰς αὐτὰς ἐμπίπτωσιν εὐθεῖαί τινες αἱ Α∠, Α Ζ, ΒΓ ΒΖ, καὶ ἐπιζευχθῶσιν αἱ Ε∠, ΕΓ, γίνεται εὐθεῖα ἡ διὰ τῶν Η, Μ, Κ.
ἐπεὶ γὰρ τρίγωνον τὸ ∠ΑΖ, καὶ τῇ ∠ Ζ παράλληλος ἡ ΑΕ, καὶ διῆκται ἡ ΕΓ συμπίπτουσα τῇ ∠ κατὰ τὸ Γ, διὰ τὸ προγεγραμμένον γίνεται, ὡς ἡ ∠ Ζ πρὸς τὴν ΖΓ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΓΕ, ΗΘ πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΗ, ΘΕ πάλιν, ἐπεὶ τρίγωνόν ἐστιν τὸ Γ ΒΖ, καὶ τῇ Γ∠ παράλληλος ἦκται ἡ ΒΕ, καὶ διῆκται ἡ ∠Ε συμπίπτουσα τῇ ΓΖ∠ κατὰ τὸ ∠, γίνεται, ὡς ἡ ΓΖ πρὸς τὴν Ζ∠, οὕτως τὸ ὑπὸ ∠Ε, ΛΚ πρὸς τὸ ὑπὸ ∠Κ, ΛΕ·
그러므로 이것들이 증명되었으므로, 만일 ΑΒ, Γ∠가 평행하고, 이것들에 어떤 직선들 Α∠, ΑΖ, ΒΓ, ΒΖ가 만나며, Ε∠, ΕΓ가 이어진다면, Η, Μ, Κ를 지나는 선은 직선이 됨을 보일 수 있을 것이다. 왜냐하면 ∠ΑΖ는 삼각형이고, ∠Ζ에 평행한 직선 ΑΕ가 그어졌으며, ΕΓ가 그어져 ∠Ζ와 점 Γ에서 만나기 때문에, 이전에 기록된 것에 의해, ∠Ζ의 ΖΓ에 대한 비는 ΓΕ와 ΗΘ가 만드는 직사각형의, ΓΗ와 ΘΕ가 만드는 직사각형에 대한 비와 같게 된다. 다시, ΓΒΖ는 삼각형이고, Γ∠에 평행한 직선 ΒΕ가 그어졌으며, ∠Ε가 그어져 ΓΖ와 점 ∠에서 만나기 때문에, ΓΖ의 Ζ∠에 대한 비는 ∠Ε와 ΛΚ가 만드는 직사각형의, ∠Κ와 ΛΕ가 만드는 직사각형에 대한 비와 같게 된다.
ἀνάπαλιν ἄρα γίνεται, ὡς ἡ ∠ Ζ πρὸς τὴν ΖΓ, οὕτως τὸ ὑπὸ ∠Κ, ΛΕ πρὸς τὸ ὑπὸ ∠Ε, ΛΚ. ἦν δὲ καί, ὡς ἡ ∠Ζ πρὸς τὴν Ζ οὕτως τὸ ὑπὸ ΓΕ, ΗΘ πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΗ, ΘΕ·
그러므로 역비례에 의해, ∠Ζ의 ΖΓ에 대한 비는 ∠Κ와 ΛΕ가 만드는 직사각형의, ∠Ε와 ΛΚ가 만드는 직사각형에 대한 비와 같게 된다. 그런데 또한, ∠Ζ의 ΖΓ에 대한 비는 ΓΕ와 ΗΘ가 만드는 직사각형의, ΓΗ와 ΘΕ가 만드는 직사각형에 대한 비와 같았다.
καὶ ὡς ἄρα τὸ ὑπὸ ΓΕ, ΗΘ πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΗ, ΘΕ ὕτως ἐστὶν τὸ ὑπὸ ∠Κ, ΛΕ πρὸς τὸ ὑπὸ ∠Ε, ΚΛ. πεὶ οὖν εἰς δύο εὐθείας τὰς Γ ΜΛ, ΘΜ∠ δύο εὐθεῖαι διηγμέναι εἰσὶν αἱ ΕΓ, Ε∠, καί ἐστιν, ὡς τὸ ὑπὸ ΓΕ, ΗΘ πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΗ, ΘΕ, οὕτωσ τὸ ὑπὸ ∠Κ, ΕΛ πρὸς τὸ ὑπὸ ∠Ε, ΛΚ, εὐθεῖα ἄρα ἐστὶν ἡ διὰ τῶν Η, Μ, Κ τοῦτο γὰρ προδέδεικται.
그러므로 또한, ΓΕ와 ΗΘ가 만드는 직사각형의, ΓΗ와 ΘΕ가 만드는 직사각형에 대한 비는, ∠Κ와 ΛΕ가 만드는 직사각형의, ∠Ε와 ΚΛ이 만드는 직사각형에 대한 비와 같다. 이제 두 직선 ΓΜΛ, ΘΜ∠에 대하여 두 직선 ΕΓ, Ε∠가 그어져 있고, ΓΕ와 ΗΘ가 만드는 직사각형의, ΓΗ와 ΘΕ가 만드는 직사각형에 대한 비가, ∠Κ와 ΕΛ이 만드는 직사각형의, ∠Ε와 ΛΚ가 만드는 직사각형에 대한 비와 같으므로, 그러므로 Η, Μ, Κ를 지나는 선은 직선이다. 왜냐하면 이것은 전에 증명되었기 때문이다.
§6.13ιγ΄.
13.
Ἀλλὰ δὴ μὴ ἔστωσαν αἱ ΑΒ, Γ∠ παράλληλοι, ἀλλὰ συμπιπτέτωσαν κατὰ τὸ Ν·
그러나 이제 ΑΒ, Γ∠가 평행하지 않고 점 Ν에서 만난다고 하자.
ὅτι πάλιν εὐθεῖά ἐστιν ἡ διὰ τῶν Η, Μ, Κ.
ἐπεὶ εἰς τρεῖς εὐθείας τὰς ΑΝ, ΑΖ, Α∠ ἀπὸ τοῦ αὐτοῦ σημείου τοῦ Γ δύο διηγμέναι εἰσὶν αἱ ΓΕ Γ∠, γίνεται, ὡς τὸ ὑπὸ ΓΕ, ΗΘ πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΗ, ΘΕ, οὕτως τὸ ὑπὸ τῶν ΓΝ, Ζ∠ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν Ν∠, Γ Ζ. πάλιν ἐπεὶ ἀπὸ τοῦ αὐτοῦ σημείου τοῦ ∠ εἰς τρεῖς εὐθείας τὰς ΒΝ, ΒΓ, ΒΖ δύο εἰσὶν διηγμέναι αἱ ∠Ε, ∠Ν, ἔστιν, ὡς τὸ ὑπὸ ΝΓ, Ζ∠ πρὸς τὸ ὑπὸ Ν∠, ΖΓ οὕτως τὸ ὑπὸ ∠Κ, ΕΛ πρὸς τὸ ὑπὸ ∠Ε, ΚΛ. ἀλλʼ ὡς τὸ ὑπὸ ΝΓ, Ζ∠ πρὸς τὸ ὑπὸ Ν∠, Γ Ζ, οὕτως ἐδείχθη τὸ ὑπὸ ΓΕ, πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΗ, ΘΕ καὶ ὡς ἄρα τὸ ὑπὸ ΓΕ ΘΗ πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΗ, ΘΕ, οὕτως ἐστὶν τὸ ὑπὸ ∠Κ, ΕΛ πρὸς τὸ ὑπὸ ∠Ε, ΚΛ. διὰ δὴ τὸ προγεγραμμένον εὐθεῖά ἐστιν ἡ διὰ τῶν Η, Μ, Κ.
이 경우에도 다시 Η, Μ, Κ를 지나는 선은 직선임을 (보여야 한다). 왜냐하면 동일한 점 Γ로부터 세 직선 ΑΝ, ΑΖ, Α∠에 대하여 두 직선 ΓΕ, Γ∠가 그어져 있으므로, ΓΕ와 ΗΘ가 만드는 직사각형의, ΓΗ와 ΘΕ가 만드는 직사각형에 대한 비는, ΓΝ과 Ζ∠가 만드는 직사각형의, Ν∠와 ΓΖ가 만드는 직사각형에 대한 비와 같게 된다. 다시, 동일한 점 ∠로부터 세 직선 ΒΝ, ΒΓ, ΒΖ에 대하여 두 직선 ∠Ε, ∠Ν이 그어져 있으므로, ΝΓ와 Ζ∠가 만드는 직사각형의, Ν∠와 ΖΓ가 만드는 직사각형에 대한 비는, ∠Κ와 ΕΛ이 만드는 직사각형의, ∠Ε와 ΚΛ이 만드는 직사각형에 대한 비와 같다. 그런데 ΝΓ와 Ζ∠가 만드는 직사각형의, Ν∠와 ΓΖ가 만드는 직사각형에 대한 비는, ΓΕ와 ΗΘ가 만드는 직사각형의, ΓΗ와 ΘΕ가 만드는 직사각형에 대한 비와 같음이 증명되었다. 그러므로 또한, ΓΕ와 ΘΗ가 만드는 직사각형의, ΓΗ와 ΘΕ가 만드는 직사각형에 대한 비는, ∠Κ와 ΕΛ이 만드는 직사각형의, ∠Ε와 ΚΛ이 만드는 직사각형에 대한 비와 같다. 그러므로 참으로 전에 기록된 것에 의해, Η, Μ, Κ를 지나는 선은 직선이다.
§6.14ιδʹ.
14.
Ἔστω παράλληλος ἡ ΑΒ τῇ Γ∠, καὶ διήχθωσαν αἱ ΑΕ, ΓΒ, καὶ σημεῖον ἐπὶ τῆς ΒΗ τὸ Ζ, ὥστε εἶναι, ὡς τὴν ∠Ε πρὸς τὴν ΕΓ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΓΒ, ΗΖ πρὸς τὸ ὑπὸ ΖΒ, ΓΗ ὅτι εὐθεῖά ἐστιν ἡ διὰ τῶν Α, Ζ, ∠.
ΑΒ가 Γ∠에 평행하다고 하고, ΑΕ, ΓΒ가 그어졌으며, ΒΗ 위에 점 Ζ가 있어, ∠Ε의 ΕΓ에 대한 비가, ΓΒ와 ΗΖ가 만드는 직사각형의, ΖΒ와 ΓΗ가 만드는 직사각형에 대한 비와 같다고 하자. Α, Ζ, ∠를 지나는 선은 직선임을 (보여야 한다).
ἤχθω διὰ μὲν τοῦ ∠ τῇ ΒΓ παράλληλος ἡ ∠Θ, καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ ΑΕ ἐπὶ τὸ Θ, διὰ δὲ τοῦ Θ τῇ Γ∠ παράλληλος ἡ Θ Κ, καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ Β ἐπὶ τὸ Κ.
ἐπεὶ οὖν ἐστιν, ὡς ἡ ∠Ε πρὸς τὴν ΕΓ. οὕτως τὸ ὑπὸ ΓΒ, Ζ πρὸς τὸ ὑπὸ ΒΖ, ΓΗ, ὡς δὲ ἡ ∠Ε πρὸς τὴν ΕΓ, οὕτως ἐστὶν ἥ τε ∠Θ πρὸς τὴν Γ καὶ τὸ ὑπὸ ∠Θ, ΒΖ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΓΗ, ἴσον ἄρα ἐστὶν τὸ ὑπὸ τῶν ΒΓ ΖΗ τῷ ὑπὸ ∠Θ, ΒΖ ἀνάλογον ἄρα ἐστίν, ὡς ἡ ΓΒ πρὸς τήν ΒΖ, οὕτως ἡ ∠Θ, τουτέστιν ἡ Γ Κ, πρὸς τὴν ΗΖ καὶ ὅλη ἄρα ἡ ΚΒ πρὸς ὅλην τὴν Β ἐστιν, ὡς ἡ ΚΓ πρὸς ΖΗ τουτέστιν ὡς ἡ ∠Θ πρὸς ΖΗ. ἀλλʼ ὡς ἡ ΚΒ πρὸς Β ἐν παραλλήλῳ, οὕτως ἐστὶν ἡ ΘΑ πρὸς ΑΗ καὶ ἡ ∠Θ πρὸς ΖΗ. καί εἰσιν παράλληλοι αἱ ∠Θ, ΖΗ·
∠를 지나며 ΒΓ에 평행한 직선 ∠Θ를 긋고, ΑΕ를 Θ까지 연장하라. 그리고 Θ를 지나며 Γ∠에 평행한 직선 ΘΚ를 긋고, ΒΓ를 Κ까지 연장하라. 이제 ∠Ε의 ΕΓ에 대한 비는, ΓΒ와 ΗΖ가 만드는 직사각형의, ΒΖ와 ΓΗ가 만드는 직사각형에 대한 비와 같고, 한편 ∠Ε의 ΕΓ에 대한 비는 ∠Θ의 ΓΗ에 대한 비와 같고, 또한 ∠Θ와 ΒΖ가 만드는 직사각형의, ΓΗ와 ΒΖ가 만드는 직사각형에 대한 비와도 같으므로, 그러므로 ΒΓ와 ΖΗ가 만드는 직사각형은 ∠Θ와 ΒΖ가 만드는 직사각형과 같다. 그러므로 비례에 의해, ΓΒ의 ΒΖ에 대한 비는 ∠Θ, 즉 ΓΚ의, ΗΖ에 대한 비와 같다. 그러므로 또한 전체 ΚΒ의 전체 ΒΖ에 대한 비는, ΚΓ의 ΖΗ에 대한 비와 같고, 즉 ∠Θ의 ΖΗ에 대한 비와 같다. 그런데 평행선 사이에서, ΚΒ의 ΒΖ에 대한 비는 ΘΑ의 ΑΗ에 대한 비와 같고, 따라서 ΘΑ의 ΑΗ에 대한 비는 ∠Θ의 ΖΗ에 대한 비와 같다. 그리고 ∠Θ와 ΖΗ는 평행하다.
εὐθεῖα ἄρα ἐστὶν ἡ διὰ τῶν Α, Ζ, ∠ σημείων.
그러므로 점 Α, Ζ, ∠를 지나는 선은 직선이다.