§6.12ιβ΄. Ἀποδεδειγμένων οὖν τούτων ἔσται δεῖξαι, ὅτι, ἐὰν παράλληλοι ὦσιν αἱ ΑΒ, Γ∠, καὶ εἰς αὐτὰς ἐμπίπτωσιν εὐθεῖαί τινες αἱ Α∠, Α Ζ, ΒΓ ΒΖ, καὶ ἐπιζευχθῶσιν αἱ Ε∠, ΕΓ, γίνεται εὐθεῖα ἡ διὰ τῶν Η, Μ, Κ.
ἐπεὶ γὰρ τρίγωνον τὸ ∠ΑΖ, καὶ τῇ ∠ Ζ παράλληλος ἡ ΑΕ, καὶ διῆκται ἡ ΕΓ συμπίπτουσα τῇ ∠ κατὰ τὸ Γ, διὰ τὸ προγεγραμμένον γίνεται, ὡς ἡ ∠ Ζ πρὸς τὴν ΖΓ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΓΕ, ΗΘ πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΗ, ΘΕ πάλιν, ἐπεὶ τρίγωνόν ἐστιν τὸ Γ ΒΖ, καὶ τῇ Γ∠ παράλληλος ἦκται ἡ ΒΕ, καὶ διῆκται ἡ ∠Ε συμπίπτουσα τῇ ΓΖ∠ κατὰ τὸ ∠, γίνεται, ὡς ἡ ΓΖ πρὸς τὴν Ζ∠, οὕτως τὸ ὑπὸ ∠Ε, ΛΚ πρὸς τὸ ὑπὸ ∠Κ, ΛΕ·
12. 于是，在这些已被证明之后，将可以证明：如果 ΑΒ、Γ∠ 平行，且有一些直线 Α∠、ΑΖ、ΒΓ、ΒΖ 交于其上，并连接 Ε∠、ΕΓ，则过 Η、Μ、Κ 的线是直线。 因为 ∠ΑΖ 是三角形，且平行于 ∠Ζ 的直线 ΑΕ 被引出，且 ΕΓ 被引出并与 ∠Ζ 相交于点 Γ，由于前文所述，∠Ζ 对 ΖΓ 的比，等于 ΓΕ 与 ΗΘ 所包长方形对 ΓΗ 与 ΘΕ 所包长方形的比。 再次，因为 ΓΒΖ 是三角形，且平行于 Γ∠ 的直线 ΒΕ 被引出，且 ∠Ε 被引出并与 ΓΖ 相交于点 ∠，所以 ΓΖ 对 Ζ∠ 的比，等于 ∠Ε 与 ΛΚ 所包长方形对 ∠Κ 与 ΛΕ 所包长方形的比。
ἀνάπαλιν ἄρα γίνεται, ὡς ἡ ∠ Ζ πρὸς τὴν ΖΓ, οὕτως τὸ ὑπὸ ∠Κ, ΛΕ πρὸς τὸ ὑπὸ ∠Ε, ΛΚ. ἦν δὲ καί, ὡς ἡ ∠Ζ πρὸς τὴν Ζ οὕτως τὸ ὑπὸ ΓΕ, ΗΘ πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΗ, ΘΕ·
因此，反比例得，∠Ζ 对 ΖΓ 的比，等于 ∠Κ 与 ΛΕ 所包长方形对 ∠Ε 与 ΛΚ 所包长方形的比。 但此前亦有，∠Ζ 对 ΖΓ 的比等于 ΓΕ 与 ΗΘ 所包长方形对 ΓΗ 与 ΘΕ 所包长方形的比。
καὶ ὡς ἄρα τὸ ὑπὸ ΓΕ, ΗΘ πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΗ, ΘΕ ὕτως ἐστὶν τὸ ὑπὸ ∠Κ, ΛΕ πρὸς τὸ ὑπὸ ∠Ε, ΚΛ. πεὶ οὖν εἰς δύο εὐθείας τὰς Γ ΜΛ, ΘΜ∠ δύο εὐθεῖαι διηγμέναι εἰσὶν αἱ ΕΓ, Ε∠, καί ἐστιν, ὡς τὸ ὑπὸ ΓΕ, ΗΘ πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΗ, ΘΕ, οὕτωσ τὸ ὑπὸ ∠Κ, ΕΛ πρὸς τὸ ὑπὸ ∠Ε, ΛΚ, εὐθεῖα ἄρα ἐστὶν ἡ διὰ τῶν Η, Μ, Κ τοῦτο γὰρ προδέδεικται.
因此，ΓΕ 与 ΗΘ 所包长方形对 ΓΗ 与 ΘΕ 所包长方形的比，等于 ∠Κ 与 ΛΕ 所包长方形对 ∠Ε 与 ΚΛ 所包长方形的比。 于是，因为向两直线 ΓΜΛ、ΘΜ∠ 引出了两直线 ΕΓ、Ε∠，且 ΓΕ 与 ΗΘ 所包长方形对 ΓΗ 与 ΘΕ 所包长方形的比，等于 ∠Κ 与 ΕΛ 所包长方形对 ∠Ε 与 ΛΚ 所包长方形的比，所以过 Η、Μ、Κ 的线是直线；因为这在前面已被证明。
§6.13ιγ΄. Ἀλλὰ δὴ μὴ ἔστωσαν αἱ ΑΒ, Γ∠ παράλληλοι, ἀλλὰ συμπιπτέτωσαν κατὰ τὸ Ν·
13. 但现在设 ΑΒ、Γ∠ 不平行，而是相交于点 Ν；求证过 Η、Μ、Κ 的线同样是直线。
ὅτι πάλιν εὐθεῖά ἐστιν ἡ διὰ τῶν Η, Μ, Κ.
ἐπεὶ εἰς τρεῖς εὐθείας τὰς ΑΝ, ΑΖ, Α∠ ἀπὸ τοῦ αὐτοῦ σημείου τοῦ Γ δύο διηγμέναι εἰσὶν αἱ ΓΕ Γ∠, γίνεται, ὡς τὸ ὑπὸ ΓΕ, ΗΘ πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΗ, ΘΕ, οὕτως τὸ ὑπὸ τῶν ΓΝ, Ζ∠ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν Ν∠, Γ Ζ. πάλιν ἐπεὶ ἀπὸ τοῦ αὐτοῦ σημείου τοῦ ∠ εἰς τρεῖς εὐθείας τὰς ΒΝ, ΒΓ, ΒΖ δύο εἰσὶν διηγμέναι αἱ ∠Ε, ∠Ν, ἔστιν, ὡς τὸ ὑπὸ ΝΓ, Ζ∠ πρὸς τὸ ὑπὸ Ν∠, ΖΓ οὕτως τὸ ὑπὸ ∠Κ, ΕΛ πρὸς τὸ ὑπὸ ∠Ε, ΚΛ. ἀλλʼ ὡς τὸ ὑπὸ ΝΓ, Ζ∠ πρὸς τὸ ὑπὸ Ν∠, Γ Ζ, οὕτως ἐδείχθη τὸ ὑπὸ ΓΕ, πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΗ, ΘΕ καὶ ὡς ἄρα τὸ ὑπὸ ΓΕ ΘΗ πρὸς τὸ ὑπὸ ΓΗ, ΘΕ, οὕτως ἐστὶν τὸ ὑπὸ ∠Κ, ΕΛ πρὸς τὸ ὑπὸ ∠Ε, ΚΛ. διὰ δὴ τὸ προγεγραμμένον εὐθεῖά ἐστιν ἡ διὰ τῶν Η, Μ, Κ.
因为自同一点 Γ 向三直线 ΑΝ、ΑΖ、Α∠ 引出了两直线 ΓΕ、Γ∠，所以 ΓΕ 与 ΗΘ 所包长方形对 ΓΗ 与 ΘΕ 所包长方形的比，等于 ΓΝ 与 Ζ∠ 所包长方形对 Ν∠ 与 ΓΖ 所包长方形的比。 再次，因为自同一点 ∠ 向三直线 ΒΝ、ΒΓ、ΒΖ 引出了两直线 ∠Ε、∠Ν，所以 ΝΓ 与 Ζ∠ 所包长方形对 Ν∠ 与 ΖΓ 所包长方形的比，等于 ∠Κ 与 ΕΛ 所包长方形对 ∠Ε 与 ΚΛ 所包长方形的比。 但 ΝΓ 与 Ζ∠ 所包长方形对 Ν∠ 与 ΓΖ 所包长方形的比，已被证明等于 ΓΕ 与 ΗΘ 所包长方形对 ΓΗ 与 ΘΕ 所包长方形的比。 因此，ΓΕ 与 ΘΗ 所包长方形对 ΓΗ 与 ΘΕ 所包长方形的比，等于 ∠Κ 与 ΕΛ 所包长方形对 ∠Ε 与 ΚΛ 所包长方形的比。 于是，正是由于前文所述，过 Η、Μ、Κ 的线是直线。
§6.14ιδʹ. Ἔστω παράλληλος ἡ ΑΒ τῇ Γ∠, καὶ διήχθωσαν αἱ ΑΕ, ΓΒ, καὶ σημεῖον ἐπὶ τῆς ΒΗ τὸ Ζ, ὥστε εἶναι, ὡς τὴν ∠Ε πρὸς τὴν ΕΓ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΓΒ, ΗΖ πρὸς τὸ ὑπὸ ΖΒ, ΓΗ ὅτι εὐθεῖά ἐστιν ἡ διὰ τῶν Α, Ζ, ∠.
14. 设 ΑΒ 平行于 Γ∠，并引出 ΑΕ、ΓΒ，且在 ΒΗ 上有一点 Ζ，使得 ∠Ε 对 ΕΓ 的比，等于 ΓΒ 与 ΗΖ 所包长方形对 ΖΒ 与 ΓΗ 所包长方形的比；求证过 Α、Ζ、∠ 的线是直线。
ἤχθω διὰ μὲν τοῦ ∠ τῇ ΒΓ παράλληλος ἡ ∠Θ, καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ ΑΕ ἐπὶ τὸ Θ, διὰ δὲ τοῦ Θ τῇ Γ∠ παράλληλος ἡ Θ Κ, καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ Β ἐπὶ τὸ Κ.
ἐπεὶ οὖν ἐστιν, ὡς ἡ ∠Ε πρὸς τὴν ΕΓ. οὕτως τὸ ὑπὸ ΓΒ, Ζ πρὸς τὸ ὑπὸ ΒΖ, ΓΗ, ὡς δὲ ἡ ∠Ε πρὸς τὴν ΕΓ, οὕτως ἐστὶν ἥ τε ∠Θ πρὸς τὴν Γ καὶ τὸ ὑπὸ ∠Θ, ΒΖ πρὸς τὸ ὑπὸ τῶν ΓΗ, ἴσον ἄρα ἐστὶν τὸ ὑπὸ τῶν ΒΓ ΖΗ τῷ ὑπὸ ∠Θ, ΒΖ ἀνάλογον ἄρα ἐστίν, ὡς ἡ ΓΒ πρὸς τήν ΒΖ, οὕτως ἡ ∠Θ, τουτέστιν ἡ Γ Κ, πρὸς τὴν ΗΖ καὶ ὅλη ἄρα ἡ ΚΒ πρὸς ὅλην τὴν Β ἐστιν, ὡς ἡ ΚΓ πρὸς ΖΗ τουτέστιν ὡς ἡ ∠Θ πρὸς ΖΗ. ἀλλʼ ὡς ἡ ΚΒ πρὸς Β ἐν παραλλήλῳ, οὕτως ἐστὶν ἡ ΘΑ πρὸς ΑΗ καὶ ἡ ∠Θ πρὸς ΖΗ. καί εἰσιν παράλληλοι αἱ ∠Θ, ΖΗ· εὐθεῖα ἄρα ἐστὶν ἡ διὰ τῶν Α, Ζ, ∠ σημείων.
过 ∠ 作平行于 ΒΓ 的直线 ∠Θ，并延长 ΑΕ 至 Θ，又过 Θ 作平行于 Γ∠ 的直线 ΘΚ，并延长 ΒΓ 至 Κ。 于是，因为 ∠Ε 对 ΕΓ 的比等于 ΓΒ 与 ΗΖ 所包长方形对 ΒΖ 与 ΓΗ 所包长方形的比，而 ∠Ε 对 ΕΓ 的比，等于 ∠Θ 对 ΓΗ 的比，亦等于 ∠Θ 与 ΒΖ 所包长方形对 ΓΗ 与 ΒΖ 所包长方形的比，因此，ΒΓ 与 ΖΗ 所包长方形等于 ∠Θ 与 ΒΖ 所包长方形。 因此，成比例地，ΓΒ 对 ΒΖ 的比，等于 ∠Θ（即 ΓΚ）对 ΗΖ 的比；因此，整体 ΚΒ 对整体 ΒΖ 的比，等于 ΚΓ 对 ΖΗ 的比，即 ∠Θ 对 ΖΗ 的比。 但在平行线之间，ΚΒ 对 ΒΖ 的比等于 ΘΑ 对 ΑΗ 的比，因此 ΘΑ 对 ΑΗ 的比等于 ∠Θ 对 ΖΗ 的比。 且 ∠Θ、ΖΗ 平行；所以过点 Α、Ζ、∠ 的线是直线。