§6.10ι΄. Εἰς δύο εὐθείας τὰς ΒΑΕ, ∠ΑΗ ἀπὸ τοῦ Θ σημείου δύο διήχθωσαν εὐθεῖαι αἱ ∠Θ, ΘΕ, ἔστω δέ, ὡς τὸ ὑπὸ τῶν ∠Θ, ΒΓ πρὸς τὸ ὑπὸ ∠Γ, ΒΘ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΘΗ, ΖΕ πρὸς τὸ ὑπὸ ΘΕ, ΖΗ ὅτι εὐθεῖά ἔστιν ἡ διὰ τῶν Α, Ζ.
ἤχθω διὰ τοῦ Θ τῇ ΓΑ παράλληλος ἡ ΚΛ καὶ συμπιπτέτω ταῖς ΑΒ, Α∠ κατὰ τὰ Κ, Λ σημεῖα, καὶ διὰ τοῦ Λ τῇ Α∠ παράλληλος ἤχθω ἡ ΛΜ, καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ ΕΘ ἐπὶ τὸ Μ, διὰ δὲ τοῦ Κ τῇ ΑΒ παράλληλος ἤχθω ἡ ΚΝ, καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ ∠Θ ἐπὶ τὸ Ν.
ἐπεὶ οὖν διὰ τὰς παραλλήλους γίνεται, ὡς ἡ ∠Θ πρὸς τὴν ΘΝ, οὕτως ἡ ∠Γ πρὸς τὴν ΓΒ, τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ∠Θ, ΓΒ ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ τῶν ∠Γ, ΘΝ. ἄλλο δέ τι τυχὸν τὸ ὑπὸ ∠Γ ΒΘ· ἔστιν ἄρα, ὡς τὸ ὑπὸ ∠Θ, ΒΓ πρὸς τὸ ὑπὸ ∠Γ ΒΘ, οὕτως τὸ ὑπὸ Γ∠, ΘΝ πρὸς τὸ ὑπὸ ∠Γ ΒΘ, τουτέστιν ἡ ΘΝ πρὸς ΘΒ. ἀλλ᾿ ὡς μὲν τὸ ὑπὸ Θ∠, ΒΓ πρὸς τὸ ὑπὸ ∠Γ. ΒΘ, ὑπόκειται τὸ ὑπὸ ΘΗ, ΖΕ πρὸς τὸ ὑπὸ ΘΕ, ΖΗ, ὡς δὲ ἡ ΘΝ πρὸς ΘΒ, οὕτως ἡ ΚΘ πρὸς ΘΛ, τουτέστιν ἐν παραλλήλῳ ἡ ΗΘ πρὸς τὴν ΘΜ, τουτέστιν τὸ ὑπὸ ΘΗ, ΖΕ πρὸς τὸ ὑπὸ ΘΜ, ΖΕ καὶ ὡς ἄρα τὸ ὑπὸ ΘΗ, ΖΕ πρὸς τὸ ὑπὸ ΘΕ, ΖΗ, οὕτως ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΘΗ, ΖΕ πρὸς τὸ ὑπὸ ΘΜ, ΖΕ ἴσον ἄρα ἐστὶν τὸ ὑπὸ ΘΕ, ΖΗ τῷ ὑπὸ ΘΜ, ΖΕ. καὶ ἐπεί ἐστιν, ὡς ἡ ΘΜ πρὸς τὴν ΘΕ, οὕτως ἡ ΗΖ πρὸς τὴν ΖΕ, συνθέντι καὶ ἐναλλάξ ἐστιν, ὡς ἡ ΜΕ πρὸς τὴν ΕΗ, οὕτως ἡ ΘΕ πρὸς τὴν ΕΖ. ἀλλʼ ὡς ἡ ΜΕ πρὸς τὴν ΕΗ, οὕτως ἐστὶν ἡ ΛΕ πρὸς τὴν ΕΑ· καὶ ὡς ἄρα ἡ ΛΕ πρὸς τὴν ΕΑ, οὕτως ἡ ΘΕ πρὸς τὴν ΕΖ·
10. 设自点 Θ 向两直线 ΒΑΕ、∠ΑΗ 引出两直线 ∠Θ、ΘΕ，并设 ∠Θ 与 ΒΓ 所包长方形对 ∠Γ 与 ΒΘ 所包长方形的比，等于 ΘΗ 与 ΖΕ 所包长方形对 ΘΕ 与 ΖΗ 所包长方形的比；求证过 Α、Ζ 的线是直线。 过 Θ 作平行于 ΓΑ 的直线 ΚΛ，并使其与 ΑΒ、Α∠ 分别相交于点 Κ、Λ，且过 Λ 作平行于 Α∠ 的直线 ΛΜ，并延长 ΕΘ 至 Μ，又过 Κ 作平行于 ΑΒ 的直线 ΚΝ，并延长 ∠Θ 至 Ν。 于是，由于平行线，∠Θ 对 ΘΝ 的比等于 ∠Γ 对 ΓΒ 的比，因此，∠Θ 与 ΓΒ 所包长方形等于 ∠Γ 与 ΘΝ 所包长方形。 而 ∠Γ 与 ΒΘ 所包长方形为另一任意量；故 ∠Θ 与 ΒΓ 所包长方形对 ∠Γ 与 ΒΘ 所包长方形的比，等于 Γ∠ 与 ΘΝ 所包长方形对 ∠Γ 与 ΒΘ 所包长方形的比，即 ΘΝ 对 ΘΒ。 但一方面，Θ∠ 与 ΒΓ 所包长方形对 ∠Γ 与 ΒΘ 所包长方形的比，按假设等于 ΘΗ 与 ΖΕ 所包长方形对 ΘΕ 与 ΖΗ 所包长方形的比，另一方面，ΘΝ 对 ΘΒ 的比等于 ΚΘ 对 ΘΛ 的比，即在平行线之间，ΗΘ 对 ΘΜ，即 ΘΗ 与 ΖΕ 所包长方形对 ΘΜ 与 ΖΕ 所包长方形；因此，ΘΗ 与 ΖΕ 所包长方形对 ΘΕ 与 ΖΗ 所包长方形的比，等于 ΘΗ 与 ΖΕ 所包长方形对 ΘΜ 与 ΖΕ 所包长方形的比；所以，ΘΕ 与 ΖΗ 所包长方形等于 ΘΜ 与 ΖΕ 所包长方形。 且因为，ΘΜ 对 ΘΕ 的比等于 ΗΖ 对 ΖΕ 的比，合理及更比，得 ΜΕ 对 ΕΗ 的比等于 ΘΕ 对 ΕΖ 的比。 但 ΜΕ 对 ΕΗ 的比等于 ΛΕ 对 ΕΑ 的比；因此，ΛΕ 对 ΕΑ 的比等于 ΘΕ 对 ΕΖ 的比；所以 ΑΖ 平行于 ΚΛ。
παράλληλος ἄρα ἐστὶν ἡ ΑΖ τῇ ΚΛ. ἀλλὰ καὶ ἡ ΓΑ εὐθεῖα ἄρα ἐστὶν ἡ ΓΑΖ· ὅπερ ἔδει δεῖξαι.
但 ΚΛ 也平行于 ΓΑ；因此 ΓΑΖ 是直线；此即所求证。
τὰ δὲ πτωτικὰ αὐτοῦ ὁμοίως τοῖς προγεγραμμένοις, ὧν ἐστιν ἀναστρόφιον.
而其各种情形与前文所述相似，且为它们的逆命题。
§6.11ια΄. Τρίγωνον τὸ ΑΒΓ. καὶ τῇ ΒΓ παράλληλος ἡ Α∠, καὶ διαχθεῖσα ἡ ∠Ε τῇ ΒΓ συμπιπτέτω κατὰ τὸ Ε σημεῖον· ὅτι ἐστίν, ὡς τὸ ὑπὸ ∠Ε, ΖΗ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΖ, Η∠, οὕτως ἡ ΓΒ πρὸς τὴν ΒΕ.
ἤχθω διὰ τοῦ Γ τῇ ∠Ε παράλληλος ἡ ΓΘ, καὶ ἐκβεβλήσθω ἡ ΑΒ ἐπὶ τὸ Θ.
ἐπεὶ οὖν ἐστιν, ὡς ἡ Γ πρὸς τὴν ΑΗ, οὕτως ἡ ΓΘ πρὸς τὴν ΖΗ, ὡς δὲ ἠ Γ πρὸς τὴν ΑΗ, οὕτως ἐστὶν ἡ Ε∠ πρὸς τὴν ∠Η. καὶ ὡς ἄρα ἡ Ε∠ πρὸς τὴν ∠Η, οὕτως ἐστὶν ἡ ΘΓ πρὸς τὴν ΖΗ τὸ ἄρα ὑπὸ τῶν ΓΘ, ∠Η ἴσον ἐστὶν τῷ ὑπὸ τῶν Ε∠, ΖΗ. ἄλλο δέ τι τυχὸν τὸ ὑπὸ ΕΖ, Η∠ ἔστιν ἄρα, ὡς τὸ ὑπὸ ∠Ε, ΖΗ πρὸς τὸ ὑπὸ ∠Η, ΕΖ, οὕτως τὸ ὑπὸ ΓΘ, ∠Η πρὸς τὸ ὑπὸ ∠Η, ΕΖ, τουτέστιν ἡ ΓΘ πρὸς ΕΖ, τσυτέστιν ἡ ΓΒ πρὸς ΒΕ. ἔστιν οὖν, ὡς τὸ ὑπὸ ∠Ε, ΖΗ πρὸς τὸ ὑπὸ ΕΖ, Η∠, οὕτως ἡ ΓΒ πρὸς ΒΕ.
τὰ δʼ αὐτά, κἂν ἐπὶ τὰ ἕτερα μέρη ἀχθῇ ἡ Α∠ παράλληλος, καὶ ἀπὸ τοῦ ∠ ἐκτὸς ὡς ἐπὶ τὸ Γ διαχθῇ ἡ εὐθεῖα.
11. 设有一三角形 ΑΒΓ。 且设平行于 ΒΓ 的直线 Α∠ 被引出，且引出的直线 ∠Ε 与 ΒΓ 相交于点 Ε；求证 ∠Ε 与 ΖΗ 所包长方形对 ΕΖ 与 Η∠ 所包长方形的比，等于 ΓΒ 对 ΒΕ 的比。 过 Γ 作平行于 ∠Ε 的直线 ΓΘ，并延长 ΑΒ 至 Θ。 于是，因为 Γ 对 ΑΗ 的比等于 ΓΘ 对 ΖΗ 的比，而 Γ 对 ΑΗ 的比等于 Ε∠ 对 ∠Η 的比，故 Ε∠ 对 ∠Η 的比等于 ΘΓ 对 ΖΗ 的比；故 ΓΘ 与 ∠Η 所包长方形等于 Ε∠ 与 ΖΗ 所包长方形。 而 ΕΖ 与 Η∠ 所包长方形为另一任意量；故 ∠Ε 与 ΖΗ 所包长方形对 ∠Η 与 ΕΖ 所包长方形的比，等于 ΓΘ 与 ∠Η 所包长方形对 ∠Η 与 ΕΖ 所包长方形的比，即 ΓΘ 对 ΕΖ，即 ΓΒ 对 ΒΕ。 于是，∠Ε 与 ΖΗ 所包长方形对 ΕΖ 与 Η∠ 所包长方形的比，等于 ΓΒ 对 ΒΕ 的比。 且同样地，即使 Α∠ 被平行引向另一侧，且直线从 ∠ 向外朝着 Γ 引出。